114 公務人員升官等薦任 土木工程 工程力學（包括流體力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

平面內任一方向的正應變與工程剪應變，可由應變轉換式求得：

其中，$\theta$ 是 $x'$ 軸由 $x$ 軸逆時針轉過的角度。主應變方向上剪應變為零；最大、最小面內剪應變則出現在與主應變方向相差 $45^\circ$ 的方向。

解題方法

先求平均應變及莫爾圓半徑：

因此兩個面內主應變為：

主軸方向由 $\gamma_{x'y'}=0$ 求得：

所以，$x'$ 軸逆時針轉 $20.18^\circ$ 時，沿該方向的正應變為 $\varepsilon_1$；與其垂直的方向正應變為 $\varepsilon_2$。主應變元素示意如下：

 y'
 ↑
 ε₂ │
 ┌───┼───┐
 │ │ │
 └───┼───┘ → x'
 ε₁

 x' 軸相對 x 軸逆時針轉 20.18°
 主應變元素各面剪應變為 0

面內工程剪應變的最大、最小值為：

核心觀念

垂直平面閘門所受靜水壓力沿深度線性增加。閘門兩側均受液體壓力，應先求同一位置的壓力差，再沿閘門面積積分，得到淨合力與作用點。兩側的大氣壓相同，計算表壓時會互相抵消。

解題方法

令 $s$ 為自 $d$ 點向下的距離，則 $0\le s\le 2\ \mathrm{m}$。依圖，液體 A 的自由液面在 $b$，液體 B 的自由液面在 $c$，因此閘門上深度 $s$ 處的壓力為

取液體 A 側壓力減液體 B 側壓力，得到淨壓力：

在 $d$ 點，$\Delta p(0)=17{,}560.71\ \mathrm{Pa}$；在 $e$ 點，$\Delta p(2)=13{,}732.41\ \mathrm{Pa}$。淨壓力全程為正，故合力方向由液體 A 側指向液體 B 側。

閘門突出紙面寬度為 $1\ \mathrm{m}$，淨合力大小為

核心觀念

纜索各段自重可忽略，因此每段在相鄰鉸接點間為直線，且各段的水平張力分量 $H$ 相同。若一段的斜率為 $s=\Delta y/\Delta x$，其垂直張力分量為 $Hs$。

在承受向下集中力 $P$ 的鉸接點，鉸接點垂直方向平衡給出斜率變化：

取 $y$ 軸向上，令 $A$ 點高程為 $y_A=0$。

解題方法

由圖可讀得水平距離為 $AB=6\,\mathrm m$、$BC=3\,\mathrm m$、$CD=4.5\,\mathrm m$、$DE=4.5\,\mathrm m$；$B,C,D$ 點的向下載重分別為 $25,65,20\,\mathrm{kN}$。

令 $AB$ 段斜率為 $s_1=q$，依序得到：

已知 $C$ 點低於 $A$ 點 $1.5\,\mathrm m$，以及 $E$ 點高於 $A$ 點 $6\,\mathrm m$，分別列高程差：

化簡為：

解得：

因此各段斜率為：

核心觀念

AE、DF 是等長且平行的剛體桿，支承點 E、F 與板上 A、D 構成平行四邊形連桿，因此薄板運動時只平移、不轉動，故角加速度 $\alpha=0$。

纜索 BH 剛切斷時，薄板由靜止開始運動，桿件角速度為零。此瞬間，薄板加速度沿桿件的法線方向；桿件的軸力則沿桿件方向。以薄板質心 $G$ 為基準，使用平動方程與力矩方程求解。

解題方法

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上。令 $c=\cos20^\circ$、$s=\sin20^\circ$。由圖中桿件方向，從板上連接點指向支承點的單位向量為 $(-c,s)$。薄板加速度垂直於桿件，且重力在此方向的分量為 $g c$，所以

加速度大小為

方向為向左下方，與鉛直向下夾角 $20^\circ$。

令 $N_{AE}$、$N_{DF}$ 以拉力為正。薄板質量 $m=9\ \mathrm{kg}$，平動方程為

因此

核心觀念

本題考查懸臂外伸梁的支承反力，以及由彎矩求梁的撓度與傾角。使用的關係為：

• 靜力平衡：$\sum F_y=0$、$\sum M=0$
• 彎矩與曲率關係：採用傳統「上凹彎矩為正」的彎矩 $M$，且題圖的 $y$ 軸向下為正，因此 $EI\,y''=-M$
• 傾角與撓度：$\theta(x)=dy/dx$、$y''(x)=d^2y/dx^2$

解題方法

令 $x$ 自 A 點向右量，單位為 m；撓度 $y$ 向下為正。截面深度為 $0.30$ m、寬度為 $0.20$ m，因此

1. 支承反力

以向上為正，取 A 點力矩：

再由鉛直力平衡：

負號表示 A 點反力向下。沒有水平外力，故 $A_x=0$。

2. 分段彎矩與撓度

梁上彎矩需在 B 點分段。以傳統上凹彎矩為正：

由 $EI\,y''=-M$，在 A 至 B 段：

積分並使用 $y(0)=0$、$y(4)=0$，得

在 B 至 C 段：