114 公務人員升官等薦任 土木工程 土壤力學（包括基礎工程） 考古題詳解

114 年・公務人員升官等・薦任・土木工程
試題代碼 土壤力學（包括基礎工程）

第 一 題30 分

請分別說明含水量試驗、直剪試驗、比重計分析、變水頭試驗及壓密不排水試驗之試驗目的、原理及數據處理。

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核心觀念

本題考查五種土壤試驗如何由量測值推得工程參數，重點是分清楚各試驗的量測對象、控制條件、基本原理與計算流程。

  • 含水量試驗：測定土中水的質量相對於乾土質量的比值。
  • 直剪試驗：測定土體在指定剪切面上的抗剪強度。
  • 比重計分析：依土粒在水中的沉降速度，推算細粒土的粒徑分布。
  • 變水頭試驗：由水頭隨時間下降的速率，求細粒土的滲透係數。
  • 壓密不排水試驗（CU 試驗）：先使試體完成壓密，再於不排水條件下剪切，以求抗剪強度及孔隙水壓反應。

一、含水量試驗

試驗目的

測定土樣含水量 ww，供土壤分類、乾密度換算、夯實控制及應力狀態判讀使用。

試驗原理

將濕土烘乾至恆重，濕土與乾土的質量差即為水的質量。含水量定義為水的質量除以乾土質量：

w=MwMs×100%=M濕土−M乾土M乾土×100%w=\frac{M_w}{M_s}\times 100\% =\frac{M_{\text{濕土}}-M_{\text{乾土}}}{M_{\text{乾土}}}\times 100\%

式中 MwM_w 為水的質量，MsM_s 為乾土固體質量。含水量的分母是乾土質量，不是濕土質量。

試驗步驟與數據處理

  1. 秤空容器質量 McM_c。
  2. 放入濕土，秤容器與濕土總質量 M1M_1。
  3. 依試驗規範烘乾至恆重，冷卻後秤容器與乾土總質量 M2M_2。
  4. 計算：
M濕土=M1−Mc,M乾土=M2−McM_{\text{濕土}}=M_1-M_c,\qquad M_{\text{乾土}}=M_2-M_c Mw=M1−M2,w=M1−M2M2−Mc×100%M_w=M_1-M_2,\qquad w=\frac{M_1-M_2}{M_2-M_c}\times100\%

一般礦物土常以約 105∼110∘C105\sim110^\circ\mathrm{C} 烘乾；含有機質土、石膏或其他受熱易變質土樣，須依規範採用適當乾燥條件，避免烘乾過程改變土樣成分。

二、直剪試驗

試驗目的

測定土體在預定剪切面上的抗剪強度，並由不同法向應力下的破壞結果求得莫耳－庫侖強度參數：黏聚力 cc 與摩擦角 ϕ\phi。

試驗原理

將土樣置於剪力盒中，施加法向力 NN，再沿水平面施加剪力，直到土樣破壞。剪切面面積為 AA 時，破壞剪應力為：

τf=TfA\tau_f=\frac{T_f}{A}

其中 TfT_f 為破壞時的剪力。以有效應力表示的莫耳－庫侖破壞準則為：

τf=c′+σn′tan⁡ϕ′\tau_f=c'+\sigma_n'\tan\phi'

直剪試驗的剪切面由剪力盒預先固定；剪切過程中剪切面上的應力分布並非完全均勻，且通常不易量測孔隙水壓，因此結果須配合試驗排水條件及土壤性質解讀。

試驗步驟與數據處理

  1. 將試體放入剪力盒，施加指定法向應力 σn=N/A\sigma_n=N/A。
  2. 依規定排水及固結時間進行剪切，以固定速率推動剪力盒。
  3. 連續記錄剪力、水平位移及垂直位移；剪切過程中的有效面積會隨位移改變，必要時應採用修正後面積 AcA_c。
  4. 以修正面積計算剪應力：
τ=TAc\tau=\frac{T}{A_c}

取破壞時或規定位移時的 τf\tau_f。對至少數組不同法向應力試驗結果作圖，以 σn′\sigma_n' 為橫軸、τf\tau_f 為縱軸，依破壞包絡線斜率與截距求得：

斜率=tan⁡ϕ′,縱截距=c′\text{斜率}=\tan\phi', \qquad \text{縱截距}=c'

若採不排水、短期總應力分析，則以總法向應力繪製強度包絡線，所得參數為總應力參數，不可與有效應力參數混用。

三、比重計分析

試驗目的

測定細粒土的粒徑分布，尤其是一般篩分析難以分辨的粉土與黏土粒徑範圍。常與篩分析合併，建立完整粒徑分布曲線。

試驗原理

比重計依懸浮液在不同時間、不同深度的密度變化，估計仍懸浮於量測深度以上的土粒含量。粒徑較大的土粒沉降較快，細粒則沉降較慢。沉降粒徑以史托克斯定律估算：

v=Lt=(ρs−ρw)gD218μv=\frac{L}{t} =\frac{(\rho_s-\rho_w)gD^2}{18\mu}

因此：

D=18μL(ρs−ρw)gtD=\sqrt{\frac{18\mu L}{(\rho_s-\rho_w)gt}}

式中 DD 為等效土粒直徑，LL 為比重計有效沉降距離，tt 為沉降時間，ρs\rho_s、ρw\rho_w 分別為土粒與水的密度，μ\mu 為水的動力黏滯係數。計算時須依水溫修正黏滯係數，並使用相應的有效沉降距離。此原理以土粒近似球形、稀懸浮且在層流條件下沉降為基礎。

試驗步驟與數據處理

  1. 取已知質量的細粒土，加入分散劑並充分分散，避免土粒團聚。
  2. 將土水混合物置於沉降筒中，均勻攪拌後開始計時。
  3. 在規定時間讀取比重計讀值，並記錄懸浮液溫度；另以空白液或校正方式處理分散劑、彎月面及儀器校正影響。
  4. 依讀值及校正量求得量測深度處懸浮液的土粒濃度，換算粒徑 DD 與該粒徑以下的百分率 PP。若懸浮液濃度以 CC 表示、試驗乾土總質量為 MsM_s，則細料通過百分率的基本概念為：
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第 二 題30 分

請說明下列名詞之定義：

  1. 泊松比
  2. 有效應力
  3. 土壤液化
  4. 夯實
  5. 主動土壓力係數
  6. 應力路徑
  7. SPT-NN 值
  8. 臨界水力坡降
  9. A-line
  10. 等勢能線

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核心觀念

本題考查土壤力學的基本名詞，涵蓋土體變形、土中應力、地震反應、施工控制、土壓力、應力分析、現地試驗、滲流及土壤分類。作答時宜先寫出名詞的物理意義，再補上常用公式或判讀方式。

解題方法與名詞定義

1. 泊松比（Poisson’s ratio）

材料受單軸應力時，橫向應變與縱向應變絕對值之比，表示材料沿受力方向變形時，側向收縮或膨脹的程度：

ν=−ε橫向ε縱向\nu=-\frac{\varepsilon_{\text{橫向}}}{\varepsilon_{\text{縱向}}}

負號用來表示一般材料的縱向伸長與橫向收縮方向相反。土壤的泊松比會隨土類、應力狀態、排水條件及應變大小而變化。

2. 有效應力（Effective stress）

土壤中由土骨架承受、並控制土體強度與變形的應力。依 Terzaghi 有效應力原理，飽和土的總應力扣除孔隙水壓，即為有效應力：

σ′=σ−u\sigma'=\sigma-u

其中 σ′\sigma' 為有效應力、σ\sigma 為總應力、uu 為孔隙水壓。若土中含有氣體，或涉及非飽和土，須依適用的有效應力模型處理，不能直接套用上述簡式。

3. 土壤液化（Soil liquefaction）

飽和鬆散砂土在地震等反覆剪力作用下，因排水不及而累積孔隙水壓，使有效應力大幅降低，土體剪力強度與承載能力隨之下降，呈現類似液體的行為，稱為土壤液化。當孔隙水壓上升至接近原有總應力時，有效應力可降至接近零。液化可能造成地盤沉陷、側向擴展及基礎失穩。

4. 夯實（Compaction）

以機械能量使土體中的空氣排出、降低孔隙比及增加乾密度的施工過程。夯實主要是非飽和土的密度控制，並非將孔隙水排出。含水量與夯實效果的關係通常以夯實曲線表示；在指定夯實能量下，可由曲線求得最佳含水量及最大乾單位重。

γd=γ1+w\gamma_d=\frac{\gamma}{1+w}

其中 γd\gamma_d 為乾單位重、γ\gamma 為濕單位重、ww 為含水量。

5. 主動土壓力係數（Active earth pressure coefficient）

擋土牆向外移動，土體達到主動極限平衡時，水平有效應力與垂直有效應力的比值：

Ka=σh,a′σv′K_a=\frac{\sigma'_{h,a}}{\sigma'_v}

對水平地表、無黏性土且採 Rankine 理論時：

Ka=tan⁡2(45∘−ϕ′2)=1−sin⁡ϕ′1+sin⁡ϕ′K_a=\tan^2\left(45^\circ-\frac{\phi'}{2}\right) =\frac{1-\sin\phi'}{1+\sin\phi'}

其中 ϕ′\phi' 為土壤有效內摩擦角。此公式的適用條件包括垂直光滑牆面及水平地表；牆背摩擦、坡面或黏性等條件不同時，須改採相應分析方法。

6. 應力路徑（Stress path）

土壤在受力或載重歷程中，應力狀態於應力空間內的變化軌跡。常以平均有效應力 p′p' 與偏差應力 qq 表示：

p′=σ1′+σ2′+σ3′3,q=σ1′−σ3′p'=\frac{\sigma'_1+\sigma'_2+\sigma'_3}{3}, \qquad q=\sigma'_1-\sigma'_3

其中 σ1′\sigma'_1、σ3′\sigma'_3 分別為最大及最小主有效應力。應力路徑可用來表示加載、卸載、排水或不排水試驗中，土體由初始狀態至破壞的應力演變。

7. SPT-NN 值

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第 三 題20 分

繪製飽和黏土壓密的「彈簧－圓筒模型（spring-cylinder model for consolidation in saturated soil）」，並完整說明孔隙水壓（pore-pressure）與有效應力（effective stress）隨時間之變化。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查飽和黏土受外加荷重後的主壓密機制：荷重先由孔隙水承擔，孔隙水逐漸排出後，荷重轉由土骨架承擔。分析依據為有效應力原理：

σ=σ′+u\sigma=\sigma'+u

其中 σ\sigma 為總應力、σ′\sigma' 為有效應力、uu 為孔隙水壓。若總應力增加量為 Δσ\Delta\sigma，則：

Δσ=Δσ′+Δu\Delta\sigma=\Delta\sigma'+\Delta u

彈簧－圓筒模型

圓筒內裝滿水，底部設排水閥；活塞代表土體受荷，彈簧代表土骨架的可壓縮性，水代表孔隙水。

 外加荷重 Δσ
 ↓
 ┌────────────┐
 │ 活塞 │
 ├────────────┤
 │ 飽和孔隙水 │──→ 排水閥
 │ │
 │ 彈簧 │
 └────────────┘

荷重施加後，排水閥控制水能否排出。閥關閉時，水無法排出；閥開啟後，水逐漸排出，活塞下移並壓縮彈簧。

孔隙水壓與有效應力的時間變化

一、荷重剛施加，t=0t=0

飽和黏土中的水近似不可壓縮，短時間內尚未排水，新增荷重幾乎全由孔隙水承擔：

Δu=Δσ,Δσ′=0\Delta u=\Delta\sigma,\qquad \Delta\sigma'=0

此時超額孔隙水壓最大，土骨架尚未承擔新增荷重。

二、壓密進行中，0<t<∞0<t<\infty

孔隙水逐漸排出，超額孔隙水壓消散；同時活塞下移、彈簧壓縮，土骨架承受的有效應力增加。若外加總應力維持不變，任一時刻均有：

Δσ=Δu(t)+Δσ′(t)\Delta\sigma=\Delta u(t)+\Delta\sigma'(t)

以平均壓密度 U(t)U(t) 表示，則：

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第 四 題20 分

說明 Terzaghi 極限承載力（Ultimate Bearing Capacity）條形基礎公式與參數，以及其假設條件（三個即可）。

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核心觀念

本題考查 Terzaghi 極限承載力理論，亦即條形基礎在地盤發生剪力破壞時，地基可承受的極限壓力。分析時將基礎底面下方的土體視為破壞區，並把基礎兩側覆土的重量以覆土壓力表示。

對寬度為 BB、埋置深度為 DfD_f 的條形基礎，Terzaghi 一般剪力破壞的極限承載力為：

qu=cNc+qNq+12γBNγq_u=cN_c+qN_q+\frac{1}{2}\gamma B N_\gamma

其中 q=γDfq=\gamma D_f 為基礎底面處的覆土壓力。代入後亦可寫成：

qu=cNc+γDfNq+12γBNγq_u=cN_c+\gamma D_fN_q+\frac{1}{2}\gamma B N_\gamma

公式參數與意義

  • quq_u：極限承載力，指基礎底面處、發生剪力破壞時的極限壓力。
  • cc：土壤凝聚力。
  • ϕ\phi：土壤內摩擦角；承載力因數 NcN_c、NqN_q、NγN_\gamma 均為 ϕ\phi 的函數。
  • γ\gamma：基礎底面下方土壤的單位重。
  • BB：條形基礎寬度。
  • DfD_f：基礎埋置深度。
  • q=γDfq=\gamma D_f：基礎底面上方的覆土壓力；若覆土分層或地下水影響單位重，應以適當的有效覆土壓力計算。
  • Nc,Nq,NγN_c,N_q,N_\gamma：承載力因數，分別對應凝聚力、覆土壓力及基礎底面下方土重的貢獻。

式中三項分別是凝聚力項 cNccN_c、覆土項 qNqqN_q，以及土重項 12γBNγ\frac{1}{2}\gamma BN_\gamma。若題目所稱的是淨極限承載力，則須扣除原有覆土壓力：

qnu=qu−qq_{nu}=q_u-q

解題方法

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