114 公務人員升官等薦任 土木工程 結構學 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面桁架的節點平衡與桿件容許軸力。以拉力為正、壓力為負，先由整體平衡求支承反力，再用各節點的 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$ 求桿力，最後逐一比較容許拉力與容許壓力。

依圖一的尺寸，各斜桿為 $45^\circ$。支承 A 為鉸支承，B 為滾支承；桿件包含 $AB、AC、AD、BD、CD、CE、DE、DF、EF$。

解題方法與推導

以 A 點取矩。E 點載重的作用線通過 A 的鉛直位置，因此對 A 點力矩為零；F 點載重距 A 為 $4\ \mathrm{m}$，B 點反力距 A 也為 $4\ \mathrm{m}$：

由整體鉛直力平衡：

水平外力為零，因此 $A_x=0$。

在 B 節點，$BD$ 為 $45^\circ$ 斜桿：

故 $AB$ 受壓，壓力為 $P$。

在 A 節點：

代入 $N_{AB}=-P$，解得：

在 C 節點，因 $AC=0$，且無外力：

在 E 節點，$CE=0$，並有向下外力 $P$：

核心觀念

本題考平面剛架的彎曲位移分析。梁 $A$-$B$ 在 $C$ 點與柱 $C$-$E$ 鉸接，因此梁與柱在 $C$ 點的平移相容，但柱端不傳遞彎矩；$E$ 點則是柱與梁 $D$-$E$ 的剛接點。

題目只給撓曲剛度 $EI$，依一般結構學分析假設，忽略桿件軸向變形，採用剛度法建立彎曲變形方程。取向上位移及逆時針轉角為正。

解題方法

令未知位移向量為

其中 $v_C$ 是柱端 $C$ 的垂直位移；忽略柱的軸向變形後，$v_C=v_E$。$\theta_C$ 是梁在 $C$ 點的轉角；柱在 $C$ 點的轉角因鉸接而獨立，消去該自由度時採用端部彎矩為零的鉸接條件。

各桿件長度均為 $5\ \mathrm m$。以梁、柱的標準彎曲剛度矩陣組合，並消去柱端 $C$ 的鉸接轉角，可得

核心觀念

本題考查柔度法（力法）搭配吊索的軸向變形相容條件。將吊索拉力 $T$ 視為冗餘力，先分析移除吊索後的梁，再以梁在 $B$ 點的向下位移等於吊索伸長量建立相容式。

取向下位移為正、梁的正彎矩為下凹（正彎矩）。$C$ 點容許垂直位移，因此不提供垂直反力；但其轉角受束制，故 $\theta_C=0$。

解題方法

1. 吊索的軸向剛度

吊索長度為 $8\,\mathrm{m}$，故其等效軸向彈簧剛度為

吊索伸長量等於 $B$ 點向下位移，因此相容條件為

2. 梁在 $B$ 點的位移

令均佈載重 $q=100\,\mathrm{kN/m}$，梁長 $L=15\,\mathrm{m}$。對梁取 $B$ 點吊索力為向上的 $T$，由垂直力平衡得

梁的彎矩函數為

由曲率關係 $EIy''=-M(x)$，並採用 $y_A=0$、$\theta_C=0$，可得 $B$ 點位移

將彎矩分成均佈載重與吊索力的貢獻，代入 $EI=2\times10^7\,\mathrm{kN\cdot m^2}$，得到

其中第一項是只有均佈載重時 $B$ 點的向下位移；第二項是吊索力造成的向上位移。

3. 求吊索拉力

代入吊索相容式：

解得

核心觀念

本題以**勁度法（位移法）**分析剛架，重點是把支承位移列為已知位移，與梁上的均布載重共同納入節點平衡。各桿件均取 $EI=1\times10^5\ \mathrm{kN\cdot m^2}$，梁、柱長均為 $5\ \mathrm m$。

依剛架變形相容條件，忽略桿件軸向變形時，梁 $BC$ 兩端水平位移相同；柱頂沒有垂直位移。因此未知自由度為共同水平位移 $u$，以及節點轉角 $\theta_B,\theta_C$。支承條件為

解題方法

採用平面剛架勁度矩陣。每根桿件的彎曲勁度係數為

對柱 $AB$、$CD$ 與梁 $BC$ 組裝勁度方程，並以節點水平力平衡及 $B、C$ 節點力矩平衡求解。梁上的均布載重為 $w=60\ \mathrm{kN/m}$，其固定端力矩大小為

代入已知支承位移及載重後，可寫成下列三式：

解得

也就是梁頂共同向左位移 $2.5\ \mathrm{mm}$，且 $B、C$ 轉角大小相同、方向相反。

彎矩圖與最大彎矩

以下梁的正彎矩採下凹（撓曲）為正；柱端彎矩則以桿件端彎矩標示。節點平衡所得端彎矩大小如下：