110 公務人員升官等薦任 土木工程 結構學 考古題詳解

核心觀念

本題考簡支梁的剪力與彎矩影響線。影響線縱座標表示「單位移動載重位於該位置時，指定截面內力的數值」。

由圖（一）可讀得梁長 $AB=10\,\text{m}$，$C$ 點距 $A$ 點 $4\,\text{m}$，距 $B$ 點 $6\,\text{m}$。令單位載重位於距 $A$ 點 $z$ 處，向下為正載重，反力為

解題方法

以整根梁平衡求支承反力，再在 $C$ 點截開，由截面左側自由體求剪力；彎矩則由截面左側外力對 $C$ 點取矩。

一、$C$ 點左側剪力影響線

採用左段自由體的剪力正號：當單位載重位於截面左側時，左段剪力為 $R_A-1$；載重位於截面右側時，左段剪力為 $R_A$。因此

載重恰位於 $C$ 點時，取緊鄰截面左側的剪力，故影響線在 $C$ 點取右側分支值 $+0.6$。主要縱座標為：$A$ 點 $0$、$C$ 點左極限 $-0.4$、$C$ 點取值 $+0.6$、$B$ 點 $0$。

二、$C$ 點右側剪力影響線

載重恰位於 $C$ 點時，取緊鄰截面右側的剪力，故其影響線在 $C$ 點取左側分支值 $-0.4$。除 $C$ 點的取值外，兩側剪力影響線在載重不位於截面時相同：

核心觀念

圖（二）為兩端簡支梁，跨長 $L=12\,\text{m}$，承受由 A 點零值線性增加至 B 點 $6\,\text{kN/m}$ 的三角形分布載重。梁的 $EI$ 為常數，可先由靜力平衡求支承反力，再由彎矩與曲率關係 $EI v''=-M(x)$ 求撓度及斜率；最大撓度位置滿足 $v'(x)=0$。

解題方法

取 A 點為座標原點，令向下撓度為正。三角形載重總合及其作用位置為

由靜力平衡得

在距 A 點 $x$ 處，載重強度為 $w(x)=\frac{6}{12}x=\frac{x}{2}$。截面彎矩為

依向下撓度為正的符號慣例，

積分兩次：

核心觀念

此梁為 A 端固定、B 端滾支承的懸臂梁加支承，屬一次靜不定梁。除使用力平衡方程外，還須滿足 B 點的垂直位移為零：

選 B 點反力 $R_B$ 為多餘未知力，先將 B 點支承移除，視為 A 端固定、自由端位於 B 的懸臂梁，再以變形相容條件求 $R_B$。

解題方法與計算

取向上為反力正方向，向下位移為正。對長度 $L=6\ \mathrm{m}$ 的懸臂梁，均佈載重 $w$ 作用全跨時，自由端撓度為

跨中集中力 $P$ 作用於距固定端 $a=3\ \mathrm{m}$ 處時，B 點位於載重作用點右側，其撓度為

因此，移除 B 支承後，兩種向下載重在 B 點造成的總撓度為

再於 B 點施加向上的冗餘反力 $R_B$。懸臂梁自由端受集中力時的撓度為

由 B 點垂直位移為零：

核心觀念

本題考查剛架的位移法與支承反力計算。$B、C$ 為剛接點，構件的彎曲剛度 $EI$ 相同；$A、D$ 為鉸支承，因此兩處支承彎矩皆為零。

依原圖，梁由 $B$ 延伸至右側柱頂，總長為 $8\ \mathrm{m}$；均佈載重只作用於左側 $6\ \mathrm{m}$。柱高為 $6\ \mathrm{m}$。以下依此圖形計算，並採一般剛架分析假設，忽略桿件軸向變形。

解題方法

取梁柱接點共同的水平側移 $\Delta$，以及接點轉角 $\theta_B、\theta_C$ 為未知位移。忽略軸向變形時，梁兩端的水平位移相同，故只需保留一個水平側移自由度。

將鉸支承柱底的轉角自由度消去後，兩根柱對頂端水平位移與轉角的勁度貢獻，合併梁的轉動勁度，可得：

矩陣中的勁度係數以柱高 $6\ \mathrm{m}$、梁長 $8\ \mathrm{m}$ 計算。右側向量的第一項是 $B$ 點向右的 $50\ \mathrm{kN}$ 水平力；後兩項為梁上前 $6\ \mathrm{m}$ 均佈載重的等效節點力矩。以逆時針為正，均佈載重 $w=10\ \mathrm{kN/m}$ 的力矩項為：

令 $x=EI\Delta$、$y=EI\theta_B$、$z=EI\theta_C$，聯立方程可得：