112 公務人員升官等薦任 土木工程 結構學 考古題詳解

核心觀念

本題用單位力法計算自由端 $C$ 點的垂直位移，需納入兩種變形來源：

1. 彎矩造成的彎曲變形： $\delta_M=\int\frac{Mm}{EI}\,dx$
2. 溫度梯度造成的初始曲率： $\delta_T=\int m\kappa_T\,dx$

其中 $M$ 是實際荷載下的彎矩，$m$ 是在 $C$ 點施加單位垂直力所產生的彎矩；$EI$ 為常數。依圖，$AB=L$，外伸段 $BC=L/2$。

解題方法

取向上為正，在 $C$ 點施加一單位向上力。

實際荷載只有 $C$ 點的逆時針力矩 $M_0$。由整體平衡：

$R_A+R_B=0,\qquad R_BL+M_0=0$

所以 $R_A=M_0/L$、$R_B=-M_0/L$。採用正彎矩表示式，實際彎矩為

在 $C$ 點施加單位向上力，平衡式為

$R_A+R_B+1=0,\qquad R_BL+\frac{3L}{2}=0$

因此 $R_A=1/2$、$R_B=-3/2$，單位力所產生的彎矩為

先計算力矩造成的位移：

核心觀念

此題考查簡支梁與軸向連桿組成的複合結構。連桿可視為彈簧，其軸向剛度換算為垂直支承剛度；梁在均布載重下的撓度，則與連桿反力造成的撓度以疊加原理合併。

解題方法

先將連桿換算成彈簧。連桿長度為 $L/2$，其垂直剛度為

題給

因此

若沒有連桿支承，簡支梁受全跨均布載重 $w$ 時，中點 $C$ 的向下撓度為

令實際撓度為 $\delta$，則連桿產生向上的支承力

簡支梁中點受集中力時的撓度柔度係數為 $L^3/(48EI)$，所以連桿反力造成的向上撓度為

核心觀念

本題考查平面桁架的節點法：桁架各節點皆可列出水平與垂直方向的力平衡方程式，且桿件只承受軸力。圖中 $F、H$ 為靠垂直牆面的水平反力支承，因此兩點沒有垂直反力。

雖題目提供各桿件 $EA$ 相同，但求 $CD$ 軸力只需利用靜力平衡，無須使用桿件變形或 $EA$ 值。

解題方法

令 $CD$ 桿軸力為 $N_{CD}$，以拉力為正。圖中斜桿的水平、垂直投影分別為 $8\,\mathrm m$、$6\,\mathrm m$，故桿長為 $10\,\mathrm m$，方向餘弦為

1. 由 $D$ 點求 $DG$ 與 $DE$

在 $D$ 點，$CD$ 若受拉，會對節點施加向下的力。列垂直平衡：

因此

列水平平衡：

故

2. 由 $E$ 點求 $EG$

$DE、EF$ 為水平桿，$EG$ 為垂直桿。$E$ 點受向下荷重 $P$，因此

3. 由 $G、F、H$ 點聯立求 $DG$

在 $F$ 點沒有垂直支承反力，故

核心觀念

本題考傾角變位法中，梁端轉角與垂直位移對端力的影響。兩端 $A、C$ 固接，因此其垂直位移與轉角均為零；$B$ 點有垂直位移 $v_B$ 與轉角 $\theta_B$ 兩個未知數。圖示外加力矩為順時針，以下取向上位移與逆時針轉角為正。

解題方法

以 $B$ 點的垂直力平衡與力矩平衡建立方程。對等長梁段，端點的彎曲剛度矩陣子項如下：

• $AB$ 段的 $B$ 端在右端，撓曲剛度為 $3EI$：

• $BC$ 段的 $B$ 端在左端，撓曲剛度為 $EI$：

相加後，$B$ 點的平衡方程為