112 公務人員升官等薦任 土木工程 工程力學（包括流體力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

本題考水靜力學的平面閘門合力，以及剛體的力矩平衡。

• 平面受靜水壓的合力大小：$F=\gamma h_c A$，其中 $h_c$ 是閘門形心距自由液面的垂直深度。
• 圓形閘門受壓面積：$A=\pi r^2$。
• 以鉸鏈點取力矩時，均勻分布的閘門重量也要計入力矩；開啟力 $R$ 的力臂則依圖示為鉸鏈 $C$ 到施力點 $D$ 的直徑。

解題方法

依圖，閘門半徑為

圓心距自由液面的垂直深度為 $30\ \mathrm{m}$，因此閘門所受靜水壓合力為

圓形閘門的壓力分布對稱，合力作用線通過圓心。以鉸鏈 $C$ 取力矩，水壓合力的力臂為半徑 $2.5\ \mathrm{m}$，故其關閉力矩為

核心觀念

本題考查圓柱在固定水平面上**純滾動（無滑動）**的運動學關係。純滾動時，圓柱中心的平移速度與角速度滿足

切向加速度與角加速度滿足

其中兩式的方向須依圖示轉動方向判斷。

解題方法

圖示圓柱為順時針轉動，接觸點無滑動，因此圓柱向右滾動。半徑 $R=1\ \mathrm{m}$，角速度 $\omega=10\ \mathrm{rad/s}$，故中心速度大小為

核心觀念

本題考外伸簡支梁的支承反力，以及集中力作用下的剪力圖與彎矩圖。依序使用整體平衡方程式：

$\sum F_y=0,\qquad \sum M=0$

剪力圖遇到向下集中力時向下跳，遇到向上支承反力時向上跳；彎矩圖的斜率等於剪力，因此各段呈直線變化。

解題方法

取左端為 $x=0$，支承反力 $R_A、R_B$ 向上為正。各位置為：左端載重 $x=0$、$A$ 點 $x=8$ m、$20$ ton 載重 $x=15$ m、$B$ 點 $x=22$ m、右端載重 $x=30$ m。

由垂直力平衡：

$R_A+R_B-10-20-10=0$

以 $A$ 點取矩，逆時針為正：

$10(8)-20(7)-10(22)+R_B(14)=0$

解得：

$R_B=20\ \text{ton},\qquad R_A=20\ \text{ton}$

剪力圖

由左端向右逐段累加垂直力，剪力值如下：

剪力圖可按下列階梯形狀繪製：

V (ton)
 +10 ┌───────────────┐ ┌────────────────┐
 0 ─────────┼───────────────┼─────────────────┼────────────────┼──
 -10 ┌────────┘ └─────────────────┘ └──
 x=0 A(8) 15 B(22) 30

其中 $x=0$ 的 $10$ ton 向下載重使剪力由 $0$ 降至 $-10$；$A$ 點反力使剪力升至 $+10$；

核心觀念

主應力是應力矩陣的特徵值，亦即在某些特定方向上，該點的剪應力分量為零時所對應的正應力。對稱應力矩陣的三個特徵值即為三個主應力，通常依大小記為 $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$。

三維狀態下，最大剪應力為最大與最小主應力差的一半：

解題方法

主應力為應力矩陣的特徵值，令

其中 $\lambda$ 為特徵值。代入題目矩陣：

展開可得特徵方程：

整理並因式分解：