108 公務人員升官等薦任 土木工程 工程力學（包括流體力學與材料力學） 考古題詳解

108 年・公務人員升官等・薦任・土木工程
試題代碼 工程力學（包括流體力學與材料力學）

第 一 題25 分

一軸力構件受到軸力作用，如圖（一）所示。假設構件材料的楊氏係數 E=200 GPaE=200\ \mathrm{GPa}，其斷面積為 40 mm240\ \mathrm{mm^2}。請求出 DD 點位移量。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖（一）資料：AB=1 mAB=1\ \mathrm{m}、BC=1.5 mBC=1.5\ \mathrm{m}、CD=1.25 mCD=1.25\ \mathrm{m}；BB 點受向左 9 kN9\ \mathrm{kN} 作用力，CC 點受向右 4 kN4\ \mathrm{kN} 作用力，DD 點受向右 2 kN2\ \mathrm{kN} 作用力。

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核心觀念

本題考查軸力桿件的軸向變形。各段桿件的變形量依胡克定律計算：

δi=NiLiEA\delta_i=\frac{N_iL_i}{EA}

其中拉力取正、壓力取負。EE 與 AA 沿全桿相同，因此 DD 點相對固定端 AA 的位移，等於各段軸向變形的代數和。

解題方法

先由整體平衡求支承 AA 的反力。向右為正：

∑Fx=0:RA−9+4+2=0\sum F_x=0:\qquad R_A-9+4+2=0 RA=3 kN（向右）R_A=3\ \mathrm{kN}\quad（向右）

再分別切開 ABAB、BCBC、CDCD 各段，以左側自由體判定軸力：

  • ABAB 段：RA=3 kNR_A=3\ \mathrm{kN}，故 NAB=−3 kNN_{AB}=-3\ \mathrm{kN}，為壓力。
  • BCBC 段：左側合力為 3−9=−6 kN3-9=-6\ \mathrm{kN}，故 NBC=+6 kNN_{BC}=+6\ \mathrm{kN}，為拉力。
  • CDCD 段：左側合力為 3−9+4=−2 kN3-9+4=-2\ \mathrm{kN}，故 NCD=+2 kNN_{CD}=+2\ \mathrm{kN}，為拉力。
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第 二 題25 分

如圖（二）所示，有一由桿件所組成的桁架系統。節點都是由插銷連結各桿件，EE 點是滾支承，FF 點為鉸支承。請回答下列問題：

（一）試求出每根桿件的軸力大小，並且標示為壓力（−-）或是張力（++）。【10 分】

（二）如果桿件材料的破壞軸向應力為 σfail=2000 Pa\sigma_{fail}=2000\ \mathrm{Pa}，結構設計上的安全因子為 22。已知桿件為圓柱桿，請問圓柱桿的最小半徑（以公分表示，取到整數位）？【15 分】

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖（二）資料：AB=BD=DF=3 mAB=BD=DF=3\ \mathrm{m}，BC=DE=4 mBC=DE=4\ \mathrm{m}，CE=3 mCE=3\ \mathrm{m}；AA 點受 130 N130\ \mathrm{N} 斜向下左作用力，方向比例為 55-1212-1313。

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核心觀念

本題考查平面桁架的節點法。桿件兩端以插銷連接，且外力作用於節點，因此每根桿件只承受軸力。計算時先假設桿件均受拉，算出的軸力若為正值代表張力，負值代表壓力。

斜桿方向依圖中的 33-44-55 幾何關係分解。桿件應力與截面積的關係為

σ=∣N∣A,A=πr2\sigma=\frac{|N|}{A},\qquad A=\pi r^2

其中 NN 為桿件軸力，rr 為圓柱桿半徑。

解題方法

1. 分解 A 點外力

130 N130\ \mathrm{N} 的方向比例為 55-1212-1313，圖示方向為向左、向下，因此

FAx=−130513=−50 N,FAy=−1301213=−120 NF_{Ax}=-130\frac{5}{13}=-50\ \mathrm{N},\qquad F_{Ay}=-130\frac{12}{13}=-120\ \mathrm{N}

以下以張力為正，逐節點列平衡方程。

2. 由 A 點求 ABAB、ACAC

假設 ABAB、ACAC 受拉。ACAC 的方向分量為 (3/5,−4/5)(3/5,-4/5)。

∑Fy=0:−45NAC−120=0⇒NAC=−150 N\sum F_y=0:\quad -\frac45N_{AC}-120=0 \quad\Rightarrow\quad N_{AC}=-150\ \mathrm{N} ∑Fx=0:NAB+35NAC−50=0⇒NAB=140 N\sum F_x=0:\quad N_{AB}+\frac35N_{AC}-50=0 \quad\Rightarrow\quad N_{AB}=140\ \mathrm{N}

因此 ACAC 受壓 150 N150\ \mathrm{N}，ABAB 受拉 140 N140\ \mathrm{N}。

3. 由 B 點求 BDBD、BCBC

在 B 點，ABAB 對節點的作用力向左 140 N140\ \mathrm{N}。由平衡得

∑Fx=0:−140+NBD=0⇒NBD=140 N\sum F_x=0:\quad -140+N_{BD}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{BD}=140\ \mathrm{N} ∑Fy=0:−NBC=0⇒NBC=0\sum F_y=0:\quad -N_{BC}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{BC}=0

4. 由 C 點求 CDCD、CECE

ACAC 在 C 點的作用力為壓力，分量為向右 90 N90\ \mathrm{N}、向下 120 N120\ \mathrm{N}。CDCD 的方向分量為 (3/5,4/5)(3/5,4/5)。

∑Fy=0:−120+45NCD=0⇒NCD=150 N\sum F_y=0:\quad -120+\frac45N_{CD}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{CD}=150\ \mathrm{N} ∑Fx=0:90+NCE+35(150)=0⇒NCE=−180 N\sum F_x=0:\quad 90+N_{CE}+\frac35(150)=0 \quad\Rightarrow\quad N_{CE}=-180\ \mathrm{N}

因此 CDCD 受拉 150 N150\ \mathrm{N}，CECE 受壓 180 N180\ \mathrm{N}。

5. 由 D 點求 DFDF、DEDE

BDBD 對 D 點的作用力向左 140 N140\ \mathrm{N}，CDCD 對 D 點的作用力分量為向左 90 N90\ \mathrm{N}、向下 120 N120\ \mathrm{N}。

∑Fx=0:−140−90+NDF=0⇒NDF=230 N\sum F_x=0:\quad -140-90+N_{DF}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{DF}=230\ \mathrm{N} ∑Fy=0:−120−NDE=0⇒NDE=−120 N\sum F_y=0:\quad -120-N_{DE}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{DE}=-120\ \mathrm{N}
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第 三 題25 分

如圖（三）所示，如果梁內的彎曲應力（σ\sigma）不超過 120 MPa120\ \mathrm{MPa}，請問最大彎矩 MM 之值為何？

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核心觀念

斜向彎矩可分解為繞 yy 軸與 zz 軸的彎矩分量。兩分量分別造成截面上的正應力，合成彎曲應力為

σx=MzyIz−MyzIy\sigma_x=\frac{M_z y}{I_z}-\frac{M_y z}{I_y}

其中 IyI_y、IzI_z 是截面對應軸的截面二次矩。圖示為中空矩形截面，外尺寸為 250 mm×400 mm250\ \mathrm{mm}\times400\ \mathrm{mm}，內孔尺寸為 200 mm×350 mm200\ \mathrm{mm}\times350\ \mathrm{mm}。

解題方法

彎矩方向與座標軸成 45∘45^\circ，因此

∣My∣=∣Mz∣=M2|M_y|=|M_z|=\frac{M}{\sqrt{2}}

先計算中空矩形截面的截面二次矩。yy 軸為垂直軸，zz 軸為水平軸：

Iz=250(400)3−200(350)312=618.75×106 mm4I_z=\frac{250(400)^3-200(350)^3}{12} =618.75\times10^6\ \mathrm{mm^4} Iy=400(250)3−350(200)312=287.5×106 mm4I_y=\frac{400(250)^3-350(200)^3}{12} =287.5\times10^6\ \mathrm{mm^4}
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第 四 題25 分

如圖（四）所示，水（假設為無黏性且不可壓縮）以 3 m/s3\ \mathrm{m/s} 的速率穩定地從大型水槽流出。在水槽下半部裝有水，上半部則為輕質流體（比重量 =7.85 kN/m3=7.85\ \mathrm{kN/m^3}），試求 HH 為何？

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圖（四）資料：輕質流體比重量為 7.85 kN/m37.85\ \mathrm{kN/m^3}，出口流速為 3 m/s3\ \mathrm{m/s}；水與輕質流體界面距槽底 1.2 m1.2\ \mathrm{m}，出口位置距槽底 1.5 m1.5\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題結合分層流體的靜水壓與伯努力方程。大型水槽內液面流速可視為零；水與輕質流體的界面壓力，則由上方輕質流體液柱的靜水壓決定。

解題方法

取槽底為基準面。水與輕質流體界面的高度為 1.2 m1.2\ \mathrm{m}，出口高度為 1.5 m1.5\ \mathrm{m}。槽頂與出口均為大氣壓，因此以水為同一流體，從界面套用伯努力方程至出口。

界面處的表壓為輕質流體液柱造成的壓力：

p1−patm=γℓHp_1-p_{\mathrm{atm}}=\gamma_{\ell}H

其中 γℓ=7.85 kN/m3\gamma_{\ell}=7.85\ \mathrm{kN/m^3}。界面處水的流速近似為零，出口壓力為大氣壓，出口流速為 3 m/s3\ \mathrm{m/s}。伯努力方程以壓力水頭表示為

γℓHγw+1.2=322g+1.5\frac{\gamma_{\ell}H}{\gamma_w}+1.2 = \frac{3^2}{2g}+1.5
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