110 年公務人員升官等薦任土木工程考古題與詳解

Question 1

有一重量 $W$ 的方盒在與水平夾 $\alpha$ 角之粗糙斜面（動摩擦係數為 $\mu$ ）上，以初速度 $v_0$ 向下滑動。請問方盒沿斜面移動多少距離後可以停下來，且其條件為何？（考慮重力加速度 $g$ ）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 方盒沿斜面向下滑動時，重力沿斜面的分力為 $W\sin\alpha$，方向向下；動摩擦力大小為 $\mu N$，方向沿斜面向上。由垂直斜面的受力平衡， $$ N=W\cos\alpha $$ 因此動摩擦力為 $\mu W\cos\alpha$。方盒能否停下來，取決於沿斜面的合力是否指向上方，也就是摩擦力是否大於重力沿斜面的分力。 解題方法 令方盒向下滑動的方向為正方向。沿斜面的合力為 $$ F{	ext{合}}=W\sin\alpha-\mu W\cos\alpha $$ 方盒質量為 $m=W/g$，故加速度為 $$ a=\frac{F{	ext{合}}}{m} =g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha) $$ 若方盒經過距離 $s$ 後速度降為零，使用等加速度運動公式 $v^2=v0^2+2as$： $$ 0=v0^2+2g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)s $$ 解得停止距離 $$ s=\frac{v0^2}{2g(\mu\cos\alpha-\sin\alpha)} $$

Question 2

圖二為一桁架結構，其中任一桿件的斷面性質皆為 $EA$。請以能量法計算施力 $F$ 處之節點垂直位移。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考桁架的應變能法。桁架各桿僅承受軸力，桿件的軸向應變能為 $$ Ui=\frac{Ni^2Li}{2EA} $$ 其中 $Ni$ 為桿件軸力、$Li$ 為桿長。由於結構為線彈性，施力點沿 $F$ 方向的位移可由卡氏定理求得： $$ \deltaF=\frac{\partial U}{\partial F} $$ 解題方法 依圖將下弦節點由左至右標為 $1、2、3、4$，上弦兩節點標為 $5、6$。各節點座標依序為 $(0,0)、(a,0)、(2a,0)、(3a,0)、(a,a)、(2a,a)$；外力 $F$ 作用於節點 3，方向向下。 先由整體平衡求支承反力： $$ R1+R4=F,\qquad 3aR4-2aF=0 $$ 因此 $$ R1=\frac{F}{3},\qquad R4=\frac{2F}{3} $$ 再以節點法求桿件軸力，以下以拉力為正、壓力為負： | 桿件 | 軸力 $Ni$ | 桿長 $Li$ | |---|---:|---:| | $1\!-\!2$ | $\frac{F}{3}$ | $a$ | | $2\!-\!3$ | $\frac{2F}{3}$ | $a$ | | $3\!-\!4$ | $\frac{2F}{3}$ | $a$ | | $2\!-\!5$ | $\frac{F}{3}$ | $a$ | | $3\!-\!6$ | $F$ | $a$ | | $5\!-\!6$ | $-\frac{F}{3}$ | $a$ |

Question 3

繪出圖三之鉸接梁（$G$ 點為鉸接點）受分布線載重作用之剪力圖與彎矩圖。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

本題考查帶內鉸的靜定梁剪力圖與彎矩圖。內鉸可傳遞剪力，但不能傳遞彎矩，因此 $M_G=0$ 。先以內鉸將梁分成兩段，利用靜力平衡求支承反力，再由分布載重與剪力、彎矩的關係畫圖。

依圖取 $G$ 位於跨距中點，令 $x$ 自固定端 $A$ 起算，則 $G$ 的位置為 $x=l/2$ ，分布載重為

q(x)=\frac{q_0}{l}x \qquad (0\le x\le l)

方向向下。

解題方法與支承反力

先分析右段 $GB$ 。該段長 $l/2$ ，載重由 $q_0/2$ 線性增加至 $q_0$ ，其合力為

W_{GB}=\frac{q_0/2+q_0}{2}\cdot\frac{l}{2} =\frac{3q_0l}{8}

對 $G$ 取矩，右支承反力為

R_B\frac{l}{2} =\int_0^{l/2} y\left(\frac{q_0}{2}+\frac{q_0}{l}y\right)\,dy =\frac{5q_0l^2}{48}

因此

R_B=\frac{5q_0l}{24}

由右段垂直力平衡，鉸點對右段的作用力向上，大小為

V_G=W_{GB}-R_B =\frac{3q_0l}{8}-\frac{5q_0l}{24} =\frac{q_0l}{6}

故鉸點對左段的作用力方向向下，大小同為 $q_0l/6$ 。

左段 $AG$ 的三角形載重合力為

W_{AG}=\frac{1}{2}\cdot\frac{l}{2}\cdot\frac{q_0}{2} =\frac{q_0l}{8}

其作用點距 $A$ 為 $l/3$ 。左段垂直力平衡得

R_A=\frac{q_0l}{8}+\frac{q_0l}{6} =\frac{7q_0l}{24}

對 $A$ 取矩，固定端反力矩為逆時針：

M_A=\frac{q_0l}{8}\cdot\frac{l}{3} +\frac{q_0l}{6}\cdot\frac{l}{2} =\frac{q_0l^2}{8}

剪力圖與彎矩圖

Question 4

長為 $L$ 之懸臂梁，其斷面如圖四所示。若於自由端①處受集中力 $F$ 作用，求位於固定端②處之正向應力。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查偏心軸力造成的軸向正應力與彎曲正應力疊加。以拉應力為正，截面上的正應力為 $$ \sigma=-\frac{F}{A}+\frac{M c}{I} $$ 其中 $F$ 為軸向壓力，$A$ 為截面面積，$M$ 為偏心力矩，$c$ 為計算點到中性軸的距離，$I$ 為截面對中性軸的二次面積矩。採一般材料力學梁理論，忽略固定端局部應力集中。 解題方法 由圖四可知，截面外形為 $4a	imes4a$ 的矩形，扣除上方中央 $2a	imes2a$ 的空缺，因此 $$ A=4a(4a)-2a(2a)=12a^2 $$ 以截面底部為 $y=0$，形心位置為 $$ \bar y =\frac{(16a^2)(2a)-(4a^2)(3a)}{12a^2} =\frac{5a}{3} $$ 集中力作用於底部中央的①點，其作用線距形心的偏心距為 $$ e=\frac{5a}{3} $$ 故偏心力矩大小為 $$ M=Fe=\frac{5Fa}{3} $$ 截面對形心水平軸的二次面積矩，可由外矩形扣除空缺矩形並使用平行軸定理求得：

Question 5

一長方體水箱被載運，以等加速度 $A$ 沿水平方向行進，此時水體自由表面與水平夾角為 $\theta$ ，如圖五所示。假設水密度為 $\rho$ ，若視水體為不可壓縮且不考慮其黏滯性，求 $\theta$ 與 $A$ 之關係（考慮重力加速度 $g$ ）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 水箱向右以加速度 $A$ 運動時，在水箱參考系中，水體受向左的慣性力作用。水體達到相對靜止後，壓力沿「向右」與「向上」的變化率分別為 $-\rho A$ 與 $-\rho g$。自由表面是等壓面，因此其傾斜方向垂直於水體所受的合成有效重力方向。 解題方法 令 $x$ 軸向右、$z$ 軸向上。在水箱參考系中，水體平衡方程為 $$ \frac{\partial p}{\partial x}=-\rho A, \qquad \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g. $$ 沿自由表面移動時，壓力不變，故 $dp=0$： $$ dp=\frac{\partial p}{\partial x}dx+ \frac{\partial p}{\partial z}dz=0. $$ 代入壓力梯度：

110 公務人員升官等薦任土木工程工程力學（包括流體力學與材料力學）考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

核心觀念

解題方法

第三題20 分

核心觀念

解題方法與支承反力

剪力圖與彎矩圖

第四題20 分

第五題20 分

其他考古題

110 年土木工程的其他科目

土木工程《工程力學（包括流體力學與材料力學）》其他年度

110 年公務人員升官等薦任・其他類科的《工程力學（包括流體力學與材料力學）》

110 公務人員升官等薦任 土木工程 工程力學（包括流體力學與材料力學） 考古題詳解

第 一 題20 分

第 二 題20 分

核心觀念

解題方法

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法與支承反力

剪力圖與彎矩圖

第 四 題20 分

第 五 題20 分

其他考古題

110 年土木工程的其他科目

土木工程《工程力學（包括流體力學與材料力學）》其他年度

110 年公務人員升官等薦任・其他類科的《工程力學（包括流體力學與材料力學）》

110 公務人員升官等薦任土木工程工程力學（包括流體力學與材料力學）考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

第三題20 分

第四題20 分

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