110 公務人員升官等薦任 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

110 年・公務人員升官等・薦任・機械工程
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一 題25 分

如圖一所示，桁架由 5 根桿件構成，桿件長度 AC=BC=BD=aAC=BC=BD=a，∠ACB=∠CBD=90∘\angle ACB=\angle CBD=90^\circ。頂點 AA 及 DD 處分別以鉸支承（hinge support）及滾支承（roller support）支撐桁架，頂點 BB 承受一鉛垂集中力 FF 負載。

請回答下列問題：

(一) 5 根桿件分別承受的軸力（正值表示張力，負值表示壓力）。（15 分）

(二) 已知長度為 LL 的簡支撐柱（simply supported column）承受壓力達臨界值 PCR=π2EIL2P_{CR}=\frac{\pi^2EI}{L^2} 會發生挫屈（buckling）。持續增加 BB 點集中力 FF 至何值、哪一根桿件先發生挫屈？（10 分）

【圖一】桁架含頂點 AA、BB、CC、DD，BB 點受鉛垂向下集中力 FF；AA、DD 分別為鉸支承與滾支承。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查平面桁架的節點法與壓桿的歐拉挫屈。

桁架桿件視為兩力構件，桿力沿桿件軸線作用。計算時先假設桿件受拉，若算得軸力為負值，代表該桿受壓。全桁架與各節點均須符合平衡方程：

∑Fx=0,∑Fy=0,∑M=0\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0

壓桿的臨界挫屈載重為：

PCR=π2EIL2P_{CR}=\frac{\pi^2 EI}{L^2}

解題方法

一、先求支承反力

由 AC=BC=aAC=BC=a 且 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，三角形 ABCABC 為等腰直角三角形，因此 AB=a2AB=a\sqrt{2}。同理，BC=BD=aBC=BD=a 且 ∠CBD=90∘\angle CBD=90^\circ，故 CD=a2CD=a\sqrt{2}。

依圖中支承配置，AA 為鉸支承，DD 為滾支承，故 DD 僅有鉛直反力。取 AA 點為力矩中心：

∑MA=0:Dy(3a/2)−F(a2)=0\sum M_A=0: \quad D_y(3a/\sqrt{2})-F(a\sqrt{2})=0

因此：

Dy=2F3D_y=\frac{2F}{3}

再由鉛直力平衡：

Ay+Dy−F=0⇒Ay=F3A_y+D_y-F=0 \quad\Rightarrow\quad A_y=\frac{F}{3}

水平力平衡得 Ax=0A_x=0。

二、以節點法求五根桿件軸力

先分析節點 AA。令 NABN_{AB}、NACN_{AC} 以拉力為正，依桿件方向分解：

∑Fy=0:F3−NAC2=0⇒NAC=23F\sum F_y=0: \quad \frac{F}{3}-\frac{N_{AC}}{\sqrt{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{AC}=\frac{\sqrt{2}}{3}F ∑Fx=0:NAB+NAC2=0⇒NAB=−F3\sum F_x=0: \quad N_{AB}+\frac{N_{AC}}{\sqrt{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{AB}=-\frac{F}{3}

接著分析節點 DD：

∑Fy=0:2F3+NBD2=0⇒NBD=−223F\sum F_y=0: \quad \frac{2F}{3}+\frac{N_{BD}}{\sqrt{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{BD}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}F ∑Fx=0:−NCD−NBD2=0⇒NCD=2F3\sum F_x=0: \quad -N_{CD}-\frac{N_{BD}}{\sqrt{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{CD}=\frac{2F}{3}

最後分析節點 CC，水平方向平衡：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

如圖二所示，一個自由旋轉機構的兩端連接兩個質量 2 kg2\ \mathrm{kg} 之球體，繞著鉛垂軸旋轉。機構的所有桿件及滑套的質量都可忽略不計。機構尺寸為 a=0.1 ma=0.1\ \mathrm{m}、b=0.2 mb=0.2\ \mathrm{m}。當桿件間的夾角 θ=45∘\theta=45^\circ 時，角速度 ω=60 rpm\omega=60\ \mathrm{rpm}。施力 FF 向上推動滑套至 θ=15∘\theta=15^\circ 時，請回答下列問題：

(一) 機構的旋轉角速度是多少？（12 分）

(二) 施力 FF 所做的功是多少？（13 分）

【圖二】自由旋轉機構兩端連接兩個質量 mm 的球體，機構中央設有滑套，相關尺寸包括 aa、bb、1.5b1.5b，並以角度 θ\theta 及角速度 ω\omega 表示其運動狀態。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查角動量守恆與功與能原理。機構繞鉛垂軸旋轉時，外力 FF 沿鉛垂方向施加，對鉛垂軸的力矩為零，因此角動量守恆。求外力所做的功時，則須同時考慮轉動動能與重力位能的變化。

解題方法

依圖示，球體到旋轉軸的水平距離為

r=a+bcos⁡θ+1.5bcos⁡θ=a+2.5bcos⁡θr=a+b\cos\theta+1.5b\cos\theta =a+2.5b\cos\theta

每個球體質量為 m=2 kgm=2\ \mathrm{kg}，兩球的轉動慣量為 I=2mr2I=2mr^2。

（一）機構的旋轉角速度

初態與末態的角動量守恆：

I1ω1=I2ω2I_1\omega_1=I_2\omega_2

因兩球質量相同，

ω2=ω1(r1r2)2\omega_2=\omega_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2

初態 θ1=45∘\theta_1=45^\circ，末態 θ2=15∘\theta_2=15^\circ：

r1=0.1+2.5(0.2)cos⁡45∘=0.4536 mr_1=0.1+2.5(0.2)\cos45^\circ =0.4536\ \mathrm{m} r2=0.1+2.5(0.2)cos⁡15∘=0.5830 mr_2=0.1+2.5(0.2)\cos15^\circ =0.5830\ \mathrm{m}

初始角速度為 60 rpm60\ \mathrm{rpm}，故

ω2=60(0.45360.5830)2=36.3 rpm\omega_2 =60\left(\frac{0.4536}{0.5830}\right)^2 =36.3\ \mathrm{rpm}

亦即 ω2≈3.80 rad/s\omega_2\approx3.80\ \mathrm{rad/s}。

（二）施力 FF 所做的功

使用功與能原理：

WF=ΔT+ΔVgW_F=\Delta T+\Delta V_g
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題25 分

如圖三所示，一根長度為 LL 的均質梁 ABAB，AA 端固定支承於剛性牆面，BB 端固接於一個剛性滑座，僅能平行另一剛性牆面上下平移。梁的撓曲剛度（flexural rigidity）為 EIEI，滑座承受集中力 PP 負載。已知圖三(A)及圖三(B)之懸臂梁撓度曲線公式，請回答下列問題：

(一) 剛性牆面 AA、BB 提供的反力及反力矩 MBM_B、RAR_A、MAM_A。（15 分）

(二) 繪製梁 ABAB 的剪力分布圖及彎矩分布圖。（10 分）

圖三(A)之懸臂梁撓度曲線公式： v(x)=Px26EI(3L−x),0≤x≤Lv(x)=\frac{Px^2}{6EI}(3L-x),\qquad 0\leq x\leq L

圖三(B)之懸臂梁撓度曲線公式： v(x)=M0x22EI,0≤x≤Lv(x)=\frac{M_0x^2}{2EI},\qquad 0\leq x\leq L

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

BB 端的滑座只能上下平移，因此梁端 BB 可以有垂直位移，但不能轉動，故相容條件為 θB=0\theta_B=0。滑座提供反力矩 MBM_B，用來抵銷集中力 PP 所造成的端部轉角。

解題採向上力與逆時針力矩為正；剪力圖取 V=dM/dxV=dM/dx，彎矩圖以正彎矩表示下緣受拉的彎曲狀態。

解題方法

以懸臂梁撓度公式疊加「BB 端向下集中力 PP」與「BB 端反力矩 MBM_B」的效應。

向下集中力造成的端部轉角為

θB,P=−dvdx∣x=L=−PL22EI.\theta_{B,P} =-\left.\frac{dv}{dx}\right|_{x=L} =-\frac{PL^2}{2EI}.

端部反力矩造成的端部轉角為

θB,M=ddx(MBx22EI)∣x=L=MBLEI.\theta_{B,M} =\left.\frac{d}{dx}\left(\frac{M_Bx^2}{2EI}\right)\right|_{x=L} =\frac{M_BL}{EI}.

因為滑座限制梁端轉動，令合成轉角為零：

−PL22EI+MBLEI=0,MB=PL2.-\frac{PL^2}{2EI}+\frac{M_BL}{EI}=0, \qquad \boxed{M_B=\frac{PL}{2}}.

依向上為正作垂直力平衡：

RA−P=0⟹RA=P，方向向上.R_A-P=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{R_A=P\text{，方向向上}}.

以 AA 點取矩，逆時針為正：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

如圖四所示，一個半徑為 RR、質量為 mm 的薄壁圓管，內接一個質量為 mm 的薄壁方管，受重力作用，從傾角為 θ\theta 的斜坡滾下而不滑動，重力加速度以符號 gg 表示。請回答下列問題：

(一) 圓管與方管的質量轉動慣量（mass moment of inertia）IGI_G。（5 分）

(二) 圓管與方管的角加速度 α\alpha。（10 分）

(三) 圓管表面與斜坡之間的最小靜摩擦係數。（10 分）

【圖四】半徑為 RR、質量為 mm 的薄壁圓管內，內接一個質量為 mm 的薄壁方管；整體位於傾角為 θ\theta 的斜坡上。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查薄壁圓環與薄壁方框的質量轉動慣量，以及剛體沿斜面純滾動時的平動、轉動與無滑動條件。圓管與方管同心且固定成一個整體，總質量為 2m2m，共同質心為 GG；方管四個頂點內接於半徑 RR 的圓管，因此方管對角線為 2R2R。

純滾動時，質心沿斜面向下的加速度大小 aGa_G 與角加速度大小 α\alpha 滿足

aG=Rα.a_G=R\alpha.

解題方法

令斜面向下為平動正方向，整體沿斜面向下滾動；靜摩擦力方向沿斜面向上。

（一）圓管與方管的質量轉動慣量

薄壁圓管為薄環，質量集中於半徑 RR 處，因此

IG,圓管=mR2.I_{G,\text{圓管}}=mR^2.

設方管邊長為 ss。其對角線為 2R2R，故

s2=2R⟹s=2R.s\sqrt{2}=2R \quad\Longrightarrow\quad s=\sqrt{2}R.

方管每一邊可視為長度 ss、質量 m/4m/4 的細桿。以通過 GG 且垂直圖面的軸為轉軸，一邊對 GG 的轉動慣量為

m4(s212+s24)=ms212.\frac{m}{4}\left(\frac{s^2}{12}+\frac{s^2}{4}\right) =\frac{ms^2}{12}.

四邊合計為

IG,方管=4(ms212)=ms23=23mR2.I_{G,\text{方管}} =4\left(\frac{ms^2}{12}\right) =\frac{ms^2}{3} =\frac{2}{3}mR^2.

因此整體轉動慣量為

IG=IG,圓管+IG,方管=53mR2.I_G=I_{G,\text{圓管}}+I_{G,\text{方管}} =\frac{5}{3}mR^2.

（二）角加速度

整體沿斜面方向套用平動方程式。令 ff 為斜面對整體的靜摩擦力大小：

2maG=2mgsin⁡θ−f.2ma_G=2mg\sin\theta-f.

以 GG 點取矩，重力與正向力不產生力矩，只有摩擦力產生力矩：

fR=IGα.fR=I_G\alpha.

由 aG=Rαa_G=R\alpha，可得

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

機械工程《工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）》其他年度

114112108

110 年公務人員升官等薦任・其他類科的《工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）》

土木工程結構工程