110 年公務人員升官等薦任機械工程考古題與詳解

Question 1

TL/TK 公司擬設計在絕熱狀態下，各種同類或異類氣體於不同混合速度時，其過程的淨熵變化量之實驗，而所有測試數據將被傳輸至資料庫，以便進行大數據分析。

目前系列實驗中使用之氣體為空氣，室溫為 $20^\circ\mathrm{C}$ 。室溫氣體經 $10\ \mathrm{MPa}$ 的管線，流入原已有 $100\ \mathrm{kPa}$ 室溫氣體之 $250$ 公升剛性槽。

整個混合過程非常迅速即完成，且過程基本上處於絕熱狀態。當槽內壓力到達 $P_2$ 時，節流閥將關閉。此槽最終將冷卻至室溫，而此時槽內壓力為 $5\ \mathrm{MPa}$ 。

請問整個過程的淨熵變化量為何？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查剛性槽的非穩態充填，以及絕熱條件下的質量、能量平衡。空氣視為理想氣體，忽略動能與位能變化；槽內氣體在快速充填期間可視為均勻狀態。 「淨熵變化量」指空氣由最初在管線與槽內的狀態，變成最後槽內室溫氣體的總熵變。先用快速絕熱充填過程求出閥門關閉瞬間的槽內溫度，再將它冷卻至室溫，計算初末狀態的熵差。 解題方法 令初始槽內空氣質量為 $m1$，充填後、閥門關閉時為 $m2$；槽體積 $V$ 固定。初始槽內與進入管線的空氣溫度皆為 $T0=293.15\ \mathrm{K}$。 剛性槽內部能為 $U=mu$。快速充填期間槽體絕熱，且只有入口流動功，因此非穩態能量平衡為 $$ m2u2-m1u1=(m2-m1)h{\mathrm{in}}. $$ 對定比熱理想氣體，$u=cvT$、$h{\mathrm{in}}=cpT0$，且 $u1=cvT0$。整理得 $$ m2cvT2-m1cvT0=(m2-m1)cpT0, $$ $$ \frac{T2}{T0} =\frac{m1}{m2}+\gamma\left(1-\frac{m1}{m2}\right), \qquad \gamma=\frac{cp}{cv}. $$ 閥門關閉時，槽內壓力為 $P2$。由理想氣體方程式，因槽體積固定， $$ \frac{m1}{m2} =\frac{P1/T0}{P2/T2} =\frac{P1T2}{P2T0}. $$ 代入前式並解出充填後溫度： $$ \frac{T2}{T0} =\frac{\gamma P2}{P2+(\gamma-1)P1}. $$ 初始槽壓 $P1=100\ \mathrm{kPa}$，閥門關閉壓力為 $P2=10\ \mathrm{MPa}=10{,}000\ \mathrm{kPa}$，空氣取 $\gamma=1.4$，因此 $$ T2 =293.15 \left(\frac{1.4(10{,}000)} {10{,}000+0.4(100)}\right) =407.4\ \mathrm{K}. $$ 槽內氣體之後在剛性槽中冷卻至室溫，壓力降為 $5\ \mathrm{MPa}$。冷卻前後質量與體積不變，故

Question 2

T&T 實驗室擬統計各種氣體於不同狀態下相互摻混後的最終溫度與壓力數據。

實驗設計為使用一個被硬板隔成 A、B 兩個空間的堅固絕熱槽。當實驗開始時，抽離硬板，氣體隨即相互混合。

空間 A 體積為 $0.3\ \mathrm{m^3}$ ，裝有壓力 $300\ \mathrm{kPa}$ 、溫度 $300\ \mathrm{K}$ 的理想氣體；空間 B 體積為 $1.2\ \mathrm{m^3}$ ，裝有壓力 $600\ \mathrm{kPa}$ 、溫度 $1000\ \mathrm{K}$ 的相同氣體。該氣體的特性如下表所示：

$T\ (\mathrm{K})$	$u\ (\mathrm{kJ/kg})$	$h\ (\mathrm{kJ/kg})$	$T\ (\mathrm{K})$	$u\ (\mathrm{kJ/kg})$	$h\ (\mathrm{kJ/kg})$
300	215	301	700	513	714
400	287	401	800	593	822
500	360	504	900	675	933
600	435	607	1000	760	1046

試求此絕熱槽之最終壓力。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查堅固、絕熱、封閉系統的非穩流能量平衡。抽離隔板後，兩份相同理想氣體在剛性絕熱槽內混合，沒有熱量與功的交換，因此總內能守恆。終態達到共同溫度後，再以理想氣體狀態方程式求總壓力。 解題方法 剛性槽總體積不變，且絕熱、無軸功；忽略動能與位能變化，能量平衡為 $$ U1+U2=Uf $$ 由理想氣體方程式 $PV=mRT$，兩槽內氣體質量分別為 $$ mA=\frac{PAVA}{RTA},\qquad mB=\frac{PBVB}{RTB} $$ 兩者是相同氣體，氣體常數 $R$ 相同，故質量比為 $$ mA:mB= \frac{300(0.3)}{300}:\frac{600(1.2)}{1000} =0.3:0.72=5:12 $$ 利用表列內能，初始總內能可寫成 $$ U1+U2=mA(215)+mB(760) $$ 以總質量 $mA+mB$ 除之，終態比內能為 $$ uf= \frac{5(215)+12(760)}{5+12} =\frac{10195}{17} =599.71\ \mathrm{kJ/kg} $$ 由表中 $u=593\ \mathrm{kJ/kg}$ 對應 $800\ \mathrm{K}$，$u=675\ \mathrm{kJ/kg}$ 對應 $900\ \mathrm{K}$，在線性內插：

Question 3

TSK 設計工作室擬開發一系列新款熱泵，期望其效率可以幾乎達到理想運作狀態，亦即卡諾熱泵（Carnot heat pump）。

假設該系列熱泵擬將 $8\ \mathrm{MW}$ 的熱，自 $70^\circ\mathrm{C}$ 的原始環境傳送至 $140^\circ\mathrm{C}$ 的操作環境中。

請問欲達到此效果，最少須輸入多少功率（ $\mathrm{MW}$ ）？

Accepted Answer

核心觀念 卡諾熱泵在兩個熱源間循環運轉時，性能係數只與兩側的絕對溫度有關。熱泵性能係數定義為： $$ \mathrm{COP}{HP}=\frac{QH}{W{\mathrm{in}}} $$ 其中 $QH$ 為熱泵送至高溫端的熱量，$W{\mathrm{in}}$ 為輸入功。對卡諾熱泵： $$ \mathrm{COP}{HP}=\frac{TH}{TH-TL} $$ 解題方法 題目表示熱泵要將 $8\ \mathrm{MW}$ 的熱自 $70^\circ\mathrm{C}$ 的低溫端移至 $140^\circ\mathrm{C}$ 的高溫端，因此 $QH=8\ \mathrm{MW}$。先將兩端溫度換算為絕對溫度： $$ TL=70+273.15=343.15\ \mathrm{K} $$ $$ TH=140+273.15=413.15\ \mathrm{K} $$ 代入卡諾熱泵性能係數，求得所需輸入功率：

Question 4

YRK 封裝廠於關鍵製程中需使用某特殊氣體，且此氣體除了不能作呼吸用之外，其氣體特性與空氣完全一樣。

廠內用以儲存此氣體之容器為一具容量為 $2.0\ \mathrm{m^3}$ 、質量為 $100\ \mathrm{kg}$ 的剛性不鏽鋼儲槽。目前儲存壓力為 $500\ \mathrm{kPa}$ ，且不鏽鋼槽與其內氣體溫度均為 $15^\circ\mathrm{C}$ 。

當此不鏽鋼槽與壓力和溫度分別為 $2.5\ \mathrm{MPa}$ 和 $15^\circ\mathrm{C}$ 的氣體打氣管連接後，閥門開啟，氣體即開始注入不鏽鋼槽中，直到槽內壓力達 $2.0\ \mathrm{MPa}$ 時，便將閥門關閉。

假設空氣與槽的溫度一直都相同，而其最終溫度為 $35^\circ\mathrm{C}$ 。已知熱傳遞量為 $1150\ \mathrm{kJ}$ ，且不鏽鋼的比熱值小於空氣的比熱值，請試求該不鏽鋼儲槽之比熱值。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查非定常流動控制體的質量與能量平衡，並將儲槽內氣體視為理想氣體。儲槽是剛性容器，因此體積不變、沒有邊界功；注氣期間無氣體流出，且題目未指定軸功。 能量平衡採「控制體能量增加＝流入能量－流出能量＋熱傳入」的符號慣例。流入氣體帶入的能量是焓 $h{\mathrm{in}}=cpT{\mathrm{in}}$；儲槽內氣體的內能變化則為 $\Delta Ug=\Delta(mcvT)$。槽體本身也升溫，需計入其內能增加。 解題方法 取儲槽及槽內氣體為控制體。令熱傳入量 $Q=+1150\ \mathrm{kJ}$，初、終狀態分別以 1、2 表示。空氣性質取 $$ R=0.287\ \mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot K}},\qquad cp=1.004\ \mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot K}},\qquad cv=cp-R=0.717\ \mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot K}}. $$ 溫度換算為 $$ T1=T{\mathrm{in}}=15+273.15=288.15\ \mathrm{K},\qquad T2=35+273.15=308.15\ \mathrm{K}. $$ 一、計算槽內氣體初、終質量 由理想氣體方程式 $m=PV/(RT)$，儲槽體積固定為 $2.0\ \mathrm{m^3}$： $$ m1=\frac{(500\ \mathrm{kPa})(2.0\ \mathrm{m^3})} {(0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)})(288.15\ \mathrm{K})} =12.11\ \mathrm{kg}, $$ $$ m2=\frac{(2000\ \mathrm{kPa})(2.0\ \mathrm{m^3})} {(0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)})(308.15\ \mathrm{K})} =45.20\ \mathrm{kg}. $$ 因此注入質量為

Question 5

KSY 公司擬使用一款可輸入 $3\ \mathrm{kW}$ 的熱泵，作為特種孢菌類養殖場控溫之用，此設備可使培養室維持等溫在 $35^\circ\mathrm{C}$ 。

已知菇類養殖場會流失 $15\ \mathrm{kW}$ 至室外溫度為 $15^\circ\mathrm{C}$ 的周圍環境中。

請問熱泵的熵產生率是熱能流失過程的熵產生率的幾倍？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查熱力學第二定律中的熵平衡與熵產生率。對穩定運轉的熱泵，控制體內沒有熵累積，因此熵平衡為 $$ \dot S{\mathrm{gen}} =\sumj \frac{\dot Qj}{Tj} $$ 其中熱量流入控制體取正，流出取負；溫度須使用絕對溫度（K）。 解題方法 培養室維持定溫 $35^\circ\mathrm C$，向外流失 $15\ \mathrm{kW}$。為維持室溫，熱泵須補入相同熱量，因此熱泵供熱量為 $15\ \mathrm{kW}$。題目並給定熱泵輸入功率 $3\ \mathrm{kW}$，故其從室外吸取的熱量為 $$ \dot Q{\mathrm{cold}} =\dot Q{\mathrm{hot}}-\dot W{\mathrm{in}} =15-3=12\ \mathrm{kW} $$ 令室內、室外絕對溫度分別為 $$ TH=35+273.15=308.15\ \mathrm K,\qquad TC=15+273.15=288.15\ \mathrm K $$ 熱泵的熵產生率由兩個熱量交換端的熵流率求得：

110 公務人員升官等薦任機械工程熱工學考古題詳解

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解題方法

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