108 公務人員升官等薦任 機械工程 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

108 年・公務人員升官等・薦任・機械工程
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一 題7 分

如圖一所示，一均質矩形板 ABCDABCD 承受雙軸荷重，σx=100 MPa\sigma_x=100\ \mathrm{MPa}，σy=200 MPa\sigma_y=200\ \mathrm{MPa}。已知此板材料為鋁（楊氏係數 E=70 GPaE=70\ \mathrm{GPa}，波松比 ν=0.3\nu=0.3），請計算此矩形板於下列各方向之變形量。

矩形板尺寸：AB=40 mmAB=40\ \mathrm{mm}，BC=30 mmBC=30\ \mathrm{mm}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）ABAB 邊（7 分）

（二）BCBC 邊（7 分）

（三）ACAC 對角線（11 分）

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核心觀念

本題考平面應力下的雙軸正向應力與線應變，以及斜向線段的變形量。圖中 ABAB 邊平行 yy 軸，BCBC 邊平行 xx 軸；兩軸為互相垂直的主應力方向，因此沒有剪應變。

平面應力下的胡克定律為

εx=σx−νσyE,εy=σy−νσxE.\varepsilon_x=\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{E}, \qquad \varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}.

某一方向線段的伸長量為 ΔL=εL\Delta L=\varepsilon L。斜向線段則須依其方向在兩軸上的投影，計算方向應變。

解題方法

先由應力求出 xx、yy 方向應變，再依圖示邊長與座標方向對應計算 ABAB、BCBC 的伸長量。最後將對角線 ACAC 分解為兩軸方向的分量，求其方向應變。

已知

E=70 GPa=70,000 MPa,ν=0.3.E=70\ \mathrm{GPa}=70{,}000\ \mathrm{MPa},\qquad \nu=0.3.

故

εx=100−0.3(200)70,000=5.7143×10−4,\varepsilon_x =\frac{100-0.3(200)}{70{,}000} =5.7143\times10^{-4}, εy=200−0.3(100)70,000=2.4286×10−3.\varepsilon_y =\frac{200-0.3(100)}{70{,}000} =2.4286\times10^{-3}.

兩方向應變皆為正，表示均為伸長。

（一）ABAB 邊

ABAB 平行 yy 軸，長度為 40 mm40\ \mathrm{mm}，因此

ΔAB=εy(40)=(2.4286×10−3)(40)=0.09714 mm.\Delta AB=\varepsilon_y(40) =(2.4286\times10^{-3})(40) =0.09714\ \mathrm{mm}.

（二）BCBC 邊

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第 二 題15 分

連桿機構如圖二所示，每根桿件長度為 LL，彈簧常數為 kk。彈簧尚未伸長時，長度為 aa，且 a<2La<2L。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）當水平力 PP 作用於兩端時，請推導施力 PP 與角度 θ\theta 之平衡關係式（將 PP 用 LL、角度 θ\theta、kk、aa 等來表示）。（15 分）

（二）當角度 θ\theta 為多少時，PP 會有最大值？（10 分）

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核心觀念

這題考連桿幾何、線性彈簧的胡克定律，以及用虛功原理建立機構的平衡關係。令 θ\theta 為上方彈簧軸線與任一上側桿件的夾角；利用對稱性，四根桿件長度皆為 LL，彈簧長度與兩側受力點的水平距離分別為

s=2Lcos⁡θ,x=2Lsin⁡θ.s=2L\cos\theta,\qquad x=2L\sin\theta.

彈簧伸長量為 s−a=2Lcos⁡θ−as-a=2L\cos\theta-a，其軸力為

T=k(s−a)=k(2Lcos⁡θ−a).T=k(s-a)=k(2L\cos\theta-a).

解題方法與推導

兩端的水平力各為 PP，且方向向內。機構微小轉動 dθd\theta 時，兩側受力點的水平距離變化為

dx=2Lcos⁡θ dθ.dx=2L\cos\theta\,d\theta.

彈簧長度變化為

ds=−2Lsin⁡θ dθ.ds=-2L\sin\theta\,d\theta.

彈簧力所作的虛功為 −T ds-T\,ds，兩端水平力所作的虛功為 −P dx-P\,dx。平衡時總虛功為零：

−T ds−P dx=0.-T\,ds-P\,dx=0.

代入幾何關係：

2LTsin⁡θ dθ−2LPcos⁡θ dθ=0.2LT\sin\theta\,d\theta-2LP\cos\theta\,d\theta=0.

因此，彈簧伸長時的平衡關係為

P=Ttan⁡θ=k(2Lcos⁡θ−a)tan⁡θ.P=T\tan\theta =k(2L\cos\theta-a)\tan\theta.

求 PP 最大時的角度

將平衡式改寫為

P=k(2Lsin⁡θ−atan⁡θ).P=k\left(2L\sin\theta-a\tan\theta\right).
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第 三 題15 分

如圖三所示，物塊 AA 質量為 10 kg10\ \mathrm{kg}，物塊 BB 質量為 40 kg40\ \mathrm{kg}。物塊 AA 與物塊 BB 由繩子連接，此繩子經過一固定滑輪（假設滑輪沒有摩擦力）。所有物體接觸面動摩擦係數均為 0.10.1，斜坡的角度為 25∘25^\circ。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請計算物塊 BB 的加速度。（15 分）

（二）請計算繩子張力。（10 分）

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核心觀念

本題使用牛頓第二運動定律、動摩擦力公式 fk=μkNf_k=\mu_k N，以及理想繩的長度不變條件。物塊 A、B 分別位於滑輪兩側的繩端，因此沿斜坡的加速度大小相同、方向相反。

依圖中繩子的連接方式，取 B 沿斜坡向下、A 沿斜坡向上為正方向。兩物塊相對滑動，故 A、B 間以及 B、斜面間均有動摩擦力。

解題方法

設 B 沿斜坡向下的加速度大小為 aa，則 A 沿斜坡向上的加速度大小也為 aa。令斜坡角 θ=25∘\theta=25^\circ。

A 與 B 間的正向力為

NAB=mAgcos⁡θN_{AB}=m_Ag\cos\theta

斜面對 B 的正向力為

N斜面=(mA+mB)gcos⁡θN_{\text{斜面}}=(m_A+m_B)g\cos\theta

A 沿斜坡向上運動，其重力分量與 A、B 間摩擦力皆沿斜坡向下，因此

T−mAgsin⁡θ−μkmAgcos⁡θ=mAaT-m_Ag\sin\theta-\mu_km_Ag\cos\theta=m_Aa

B 沿斜坡向下運動，重力分量向下；繩張力、地面摩擦力及 A 對 B 的摩擦力向上，因此

mBgsin⁡θ−T−μk(mA+mB)gcos⁡θ−μkmAgcos⁡θ=mBam_Bg\sin\theta-T -\mu_k(m_A+m_B)g\cos\theta -\mu_km_Ag\cos\theta =m_Ba

兩式相加消去張力：

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第 四 題25 分

一懸臂樑 ACAC（慣性矩 I=500×106 mm4I=500\times10^6\ \mathrm{mm}^4）一端固定，另一端連接一桿件 CDCD（截面積 A=20 mm2A=20\ \mathrm{mm}^2）。假設樑與桿件具有相同楊氏係數 E=70 GPaE=70\ \mathrm{GPa}。一集中載重 p=25 kNp=25\ \mathrm{kN} 施加在懸臂樑 BB 點，如圖四所示，請計算桿件 CDCD 的應力。假設施加載重前，桿件 CDCD 沒有應力。

幾何尺寸：AB=4 mAB=4\ \mathrm{m}，BC=2 mBC=2\ \mathrm{m}，CD=3 mCD=3\ \mathrm{m}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（25 分）

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核心觀念

本題考查懸臂樑與軸向桿件連接後的變形相容。集中載重使樑端 CC 向下位移，桿件 CDCD 受拉伸長；桿件的伸長量必須等於樑端 CC 的向下位移。

計算時使用懸臂樑的撓度公式與軸向變形公式：

δC=Pa2(3L−a)6EI,δ端力=QL33EI,δ桿=QLCDAE\delta_C=\frac{P a^2(3L-a)}{6EI}, \qquad \delta_{\text{端力}}=\frac{Q L^3}{3EI}, \qquad \delta_{\text{桿}}=\frac{Q L_{CD}}{AE}

其中 QQ 是桿件的拉力，亦即桿件對樑端 CC 的向上作用力。

解題方法

取樑長 L=AC=6 m=6000 mmL=AC=6\,\mathrm{m}=6000\,\mathrm{mm}，載重位置距固定端 a=AB=4 m=4000 mma=AB=4\,\mathrm{m}=4000\,\mathrm{mm}；桿長則為 LCD=3000 mmL_{CD}=3000\,\mathrm{mm}。材料參數換算為

E=70 GPa=70,000 N/mm2,I=500×106 mm4,A=20 mm2E=70\,\mathrm{GPa}=70{,}000\,\mathrm{N/mm^2}, \qquad I=500\times10^6\,\mathrm{mm^4}, \qquad A=20\,\mathrm{mm^2}

先計算載重 P=25,000 NP=25{,}000\,\mathrm{N} 單獨作用時，樑端 CC 的向下撓度：

δP=Pa2(3L−a)6EI=25,000(4000)2[3(6000)−4000]6(70,000)(500×106)=26.667 mm\delta_P =\frac{P a^2(3L-a)}{6EI} =\frac{25{,}000(4000)^2[3(6000)-4000]} {6(70{,}000)(500\times10^6)} =26.667\,\mathrm{mm}

桿件拉力 QQ 對樑端產生向上的撓度，其大小為

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