114 公務人員升官等薦任 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題考查單階段集群抽樣、比率估計，以及有限母體下總數估計的信賴區間。

抽出的單位是「區集」，而非區集內的個別老年居民；抽中區集內的老年居民人數與支出總額均全部調查。令：

• $M=400$：A 市區集總數
• $n=8$：抽出區集數
• $x_i$：第 $i$ 個區集的老年居民人數
• $y_i$：第 $i$ 個區集老年居民的年度支出總額，單位為萬元

抽樣資料合計為：

$$\sum_{i=1}^{8}x_i=85,\qquad \sum_{i=1}^{8}y_i=268$$

（一）抽樣方法

**解題方法：**依實際抽樣單位判斷。題目從 400 個區集中抽出 8 個區集，再調查被抽中區集內的資料，因此抽樣單位是區集。

答案：採用單階段集群抽樣。若 8 個區集是從 400 個區集中以相同機率、不重複抽取，則屬於單階段簡單隨機集群抽樣。

（二）每位老年居民的平均年支出

以抽中區集的總支出除以老年居民總人數，估計每位老年居民的平均支出：

$$\hat{\bar{Y}}_R =\frac{\sum y_i}{\sum x_i} =\frac{268}{85} =3.1529\text{ 萬元}$$

換算為元：

$$3.1529\times 10,000 \approx 31,529\text{ 元}$$

**答案：**A 市每位老年居民每年購買 3C 產品的平均支出估計為 3.1529 萬元，約 31,529 元。

（三）總支出估計與 95% 信賴區間

1. 總支出估計

母體區集數已知，但全市老年居民總數未知。可用抽中區集的平均總支出乘以母體區集數估計全市總支出：

$$\hat{Y}_{\text{總}} =M\bar{y} =400\left(\frac{268}{8}\right) =400(33.5) =13,400\text{ 萬元}$$

2. 估計變異數與信賴區間

以抽中區集的支出總額計算樣本變異數：

$$s_y^2 =\frac{\sum_{i=1}^{8}(y_i-\bar{y})^2}{n-1} =\frac{1326}{7} =189.4286$$

在 400 個區集內不重複簡單隨機抽取 8 個區集時，總支出估計量的變異數估計為：

核心觀念

本題考查簡單隨機抽樣下的母體平均數、母體比例與母體總數估計，以及同時滿足兩種精度要求時的樣本數規劃。

幸福社區居民總數為 $N=3{,}000$，樣本數為 $n=200$。抽樣比率為 $n/N$，抽樣未放回，因此估計變異數時須考慮有限母體修正因子：

$$1-\frac{n}{N}.$$

有限母體修正因子用於估計量的標準誤；單純求點估計值時不需使用。

（一）估計每位居民的平均體重

簡單隨機抽樣下，母體平均數 $\mu$ 的不偏估計量是樣本平均數 $\bar y$。題目給定 $\bar y=55$ 公斤，因此

$$\hat{\mu}=\bar y=55\text{ 公斤}.$$

（二）估計體重超過 90 公斤的居民總數

樣本中有 $40$ 位居民體重超過 $90$ 公斤，故樣本比例為

$$\hat p=\frac{40}{200}=0.20.$$

母體中符合條件的居民總數，可用母體總數乘以估計比例：

$$\hat T=N\hat p=3{,}000(0.20)=600\text{ 人}.$$

（三）同時滿足兩種精度要求的樣本數

信賴度為 $95\%$，採常態近似的雙尾臨界值 $z_{0.975}=1.96$。樣本數須同時滿足平均數估計與比例估計的精度，因此分別計算兩項所需樣本數，再取較大者。

平均體重的樣本數

平均數估計的誤差界限為

$$B_{\bar y}=z_{0.975}\frac{S}{\sqrt n}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}},$$

其中以先導樣本標準差 $s=10$ 公斤估計母體標準差。令誤差界限 $B_{\bar y}=1$，解有限母體修正下的樣本數公式：

$$n_{\mu} =\frac{Nz_{0.975}^{\,2}s^2} {B_{\bar y}^{\,2}(N-1)+z_{0.975}^{\,2}s^2}.$$

核心觀念

本題考查分層隨機抽樣的比例配置、全體平均數估計與信賴區間，以及兩層平均數差與薪資變異程度的比較。

外部員工為第一層，內部員工為第二層。各層權數為

$$W_1=\frac{N_1}{N}=\frac{600}{1000}=0.6,\qquad W_2=\frac{N_2}{N}=\frac{400}{1000}=0.4.$$

依比例配置法，各層樣本數為

$$n_1=100W_1=60,\qquad n_2=100W_2=40.$$

各層樣本平均數分別為 $\bar y_1=6$ 萬元、$\bar y_2=4$ 萬元，樣本標準差分別為 $s_1=2$ 萬元、$s_2=1.5$ 萬元。

（一）全體平均月薪及 95% 信賴區間

解題方法

分層抽樣的全體平均數估計量，是各層樣本平均數依母體層權數加權平均：

$$\hat\mu_{\mathrm{st}}=\bar y_{\mathrm{st}} =\sum_{h=1}^{2}W_h\bar y_h.$$

代入資料：

$$\hat\mu_{\mathrm{st}} =0.6(6)+0.4(4)=5.2\text{ 萬元}.$$

分層平均數估計量的變異數估計為

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\bar y_{\mathrm{st}}) =\sum_{h=1}^{2}W_h^2 \left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)\frac{s_h^2}{n_h}.$$

其中 $1-n_h/N_h$ 是有限母體修正因子。本題兩層抽樣比皆為 $0.1$，因此

$$\begin{aligned} \widehat{\operatorname{Var}}(\bar y_{\mathrm{st}}) &=0.6^2(1-60/600)\frac{2^2}{60} +0.4^2(1-40/400)\frac{1.5^2}{40}\\ &=0.0324+0.02025\\ &=0.05265. \end{aligned}$$

故標準誤為

$$\widehat{\operatorname{SE}}(\bar y_{\mathrm{st}}) =\sqrt{0.05265}\approx0.2295\text{ 萬元}.$$

樣本數足夠時，以標準常態臨界值 $z_{0.975}=1.96$ 建立 95% 信賴區間：

$$5.2\pm1.96(0.2295) =5.2\pm0.4498.$$

因此信賴區間約為

$$(4.750,\ 5.650)\text{ 萬元}.$$

小結

公司員工平均月薪估計為 5.2 萬元，95% 信賴區間約為 4.75 萬元至 5.65 萬元。

（二）外部員工的月薪差異是否較大？

解題方法

以樣本標準差及變異數衡量各層薪資差異：

$$s_1=2,\quad s_2=1.5\text{ 萬元},$$ $$s_1^2=4,\quad s_2^2=2.25\text{（萬元）}^2.$$

外部員工的樣本標準差與樣本變異數都較大，故依樣本資料，外部員工的月薪差異較大。

小結

核心觀念

本題考查線性系統抽樣、樣本比例的期望值與真實變異數，以及以抽樣分配建立信賴區間。

總數 $N=40$，每隔 $k=8$ 家抽取 1 家，因此樣本數為 $n=N/k=5$。令 $Y_i=1$ 表示第 $i$ 家門市設有熟食部，否則 $Y_i=0$。全體熟食部門市數為 $K=14$，所以真實比例為

$$p=\frac{K}{N}=\frac{14}{40}=0.35.$$

系統抽樣的隨機起始值 $R$ 均勻取自 $1,\ldots,8$；起始值為 $r$ 時，樣本為 $r,r+8,r+16,r+24,r+32$。

（一）列出所有可能的樣本

依起始值 $R=1,\ldots,8$，八個可能樣本為：

起始值	樣本門市編號	樣本中設有熟食部的家數	$\hat p$
1	$1,9,17,25,33$	2	$2/5=0.4$
2	$2,10,18,26,34$	0	$0$
3	$3,11,19,27,35$	1	$1/5=0.2$
4	$4,12,20,28,36$	2	$2/5=0.4$
5	$5,13,21,29,37$	3	$3/5=0.6$
6	$6,14,22,30,38$	3	$3/5=0.6$
7	$7,15,23,31,39$	3	$3/5=0.6$
8	$8,16,24,32,40$	2	$2/5=0.4$

（二）證明 $\hat p$ 不偏，並計算期望值與真實變異數

不偏性與期望值

每個可能起始值的機率皆為 $1/8$。由上表，樣本比例的期望值為

$$E(\hat p) =\frac{1}{8}\left(0.4+0+0.2+0.4+0.6+0.6+0.6+0.4\right) =\frac{3.2}{8} =0.4.$$

這裡需注意：題目所列熟食部門市數為 14 家，上表逐一計數後得到各起始值的熟食部家數總和為 $16$。但線性系統抽樣中，每家門市恰好出現在 8 個可能樣本中的 1 個，因此各樣本熟食部家數總和必須等於全體熟食部家數 $K=14$。逐項核對題目編號後，正確的熟食部名單為 $1,3,4,12,13,14,21,22,23,24,25,29,30,31$，共 14 家；相應起始值的計數應為 $2,0,1,2,3,3,3,2$，其總和為 16，與名單不一致。

依題目名單重新按起始值分組：$1$ 組有 $1,25$（2 家）；$2$ 組 0 家；$3$ 組有 $3$（1 家）；$4$ 組有 $4,12$（2 家）；$5$ 組有 $13,21,29$（3 家）；$6$ 組有 $14,22,30$（3 家）；$7$ 組有 $23,31$（2 家）；$8$ 組有 $24$（1 家）。因此正確計數為 $2,0,1,2,3,3,2,1$，總和為 14，對應樣本比例為 $0.4,0,0.2,0.4,0.6,0.6,0.4,0.2$。

故