110 公務人員升官等薦任 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題考查分層隨機抽樣的最佳配置，以及在精度限制或調查預算下決定總樣本數。

設早班為第 1 層、晚班為第 2 層。分層估計全體平均數的變異數為

$$V(\bar y_{st}) =\sum_{h=1}^{2}W_h^2\left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)\frac{S_h^2}{n_h}, \qquad W_h=\frac{N_h}{N}.$$

各層調查成本相同時，Neyman 最佳配置為

$$n_h=n\frac{N_hS_h}{\sum_hN_hS_h}, \qquad \frac{n_h}{n}=\frac{N_hS_h}{\sum_hN_hS_h}.$$

題目給定「標準差約為全距的 $\frac14$」，故以全距估計各層標準差。

（一）早、晚班最佳樣本配置率

早班與晚班的全距及估計標準差分別為

$$R_1=19-4=15,\qquad S_1\approx\frac{15}{4}=3.75,$$ $$R_2=20-10=10,\qquad S_2\approx\frac{10}{4}=2.5.$$

依 Neyman 配置，兩層的配置權重為 $N_hS_h$：

$$N_1S_1=450(3.75)=1687.5,\qquad N_2S_2=300(2.5)=750.$$

因此

$$\frac{n_1}{n} =\frac{1687.5}{1687.5+750} =\frac{11}{16}=0.6875,$$ $$\frac{n_2}{n} =\frac{750}{1687.5+750} =\frac{5}{16}=0.3125.$$

早班配置率為 $68.75\%$，晚班配置率為 $31.25\%$。

（二）信賴度 $95\%$、誤差界限 $1$ 秒的樣本數

解題方法

以 Neyman 配置下的分層平均數估計全體平均數，並納入有限母體修正。令

$$A=\sum_hW_hS_h,\qquad B=\sum_hW_h^2S_h^2.$$

由 $n_h=n\frac{N_hS_h}{\sum_jN_jS_j}$，分層估計量的變異數可寫成

$$V(\bar y_{st})=\frac{A^2}{n}-\frac{B}{N}.$$

其中第二項是有限母體修正帶來的減項。以信賴度 $95\%$ 的雙尾常態臨界值 $z_{0.025}=1.96$，誤差界限 $E=1$，令 $E=1.96\sqrt{V(\bar y_{st})}$，解得

核心觀念

本題考查抽樣方法的判別，以及參數、抽樣單位、母體大小與樣本大小的定義。

由於學務處先從全校的 $120$ 個班級中隨機抽出 $15$ 個班級，再測量被抽中班級內的所有學生，這是集束抽樣（cluster sampling）：先抽取群集，再調查抽中群集中的所有個體。

解題方法

判斷抽樣設計時，先分清楚「抽取的單位」與「實際測量的對象」：

• 抽取單位：被抽出的班級。
• 觀察單位：實際測量體重的學生。

題目要了解「學生的平均體重」，因此目標參數是全校學生體重的母體平均數，記為 $\mu$：

$$\mu=\frac{1}{7{,}450}\sum_{i=1}^{7{,}450} y_i$$

其中 $y_i$ 表示第 $i$ 位學生的體重。

各項定義與數值如下：

• 抽樣方法：集束抽樣。抽出班級後，對被抽中的班級內所有學生測量。

核心觀念

本題考查抽樣框排列方式對抽樣設計的影響，以及資格比例的估計。令第 $i$ 位考生的資格指標為

$$y_i= \begin{cases} 1, & \text{分數大於 }50\text{ 分},\\ 0, & \text{分數小於或等於 }50\text{ 分}. \end{cases}$$

全體取得資格的比例為

$$P=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y_i.$$

抽樣名冊依准考證號排列時，適合以簡單隨機抽樣取得代表全體的樣本；若名冊依成績高低排序，則須考量名冊的順序與資格指標有直接關聯，宜採系統抽樣以涵蓋整份名冊。

解題方法

（一）依准考證號列示：簡單隨機抽樣

准考證號是識別考生的編號，題目未指出其與考生成績或資格狀態有關。因此，可由 $N$ 位考生中以簡單隨機抽樣抽取 $n$ 位，使每位考生都有相同的入樣機會。

令樣本中取得資格的人數為

$$x=\sum_{i\in s}y_i.$$

資格比例以樣本比例估計：

$$\hat P=\frac{x}{n} =\frac{1}{n}\sum_{i\in s}y_i.$$

在簡單隨機抽樣下，$\hat P$ 是母體資格比例 $P$ 的不偏估計量。

（二）依成績高低依序列示：系統抽樣

資格指標由分數是否大於 $50$ 分決定。名冊依成績排序，資格狀態因此會隨名冊位置呈現明顯的區段結構：高分端為取得資格者，低分端為未取得資格者。若只集中抽取名冊某一段，樣本容易偏向特定分數區域。

核心觀念

令第 $i$ 個據點的員工人數為 $x_i$，員工一天使用自家設備的總時數為 $y_i$。全體據點數為 $N=100$，抽出 $n=10$ 個據點。

• **簡單隨機抽樣（SRS）**下，據點平均時數的估計量為 $\bar y/\bar x$，即樣本總使用時數除以樣本總員工人數。
• 全體員工平均使用時數是「員工加權」平均，不是據點使用時數的簡單平均。
• 全體使用總時數可用樣本據點平均總時數估計；SRS 下其變異數估計需納入有限母體修正 $1-n/N$。
• **與大小成比例抽樣（PPS）**若以員工人數 $x_i$ 為規模變數，據點被抽中的機率與員工人數成比例，則每位員工平均使用時數以比率估計量 $\sum y_i/\sum x_i$ 估計。

（一）估計每位員工一天使用自家設備的平均時數

樣本員工總數與使用總時數分別為

$$\sum_{i=1}^{10}x_i=325,\qquad \sum_{i=1}^{10}y_i=637.$$

因此，每位員工一天使用時數的估計值為

$$\hat R=\frac{\sum y_i}{\sum x_i} =\frac{637}{325} =1.96\text{ 小時}.$$

這是以員工人數加權的平均；不能直接把 $10$ 個據點的使用總時數取平均，因為各據點員工人數不同。

（二）估計全體總時數及其 $95\%$ 信賴區間

SRS 下，以樣本據點總時數平均數估計 $100$ 個據點的總時數：

$$\hat T=N\bar y =100\left(\frac{637}{10}\right) =6{,}370\text{ 小時}.$$

計算樣本總時數的變異數：

$$\sum_{i=1}^{10}y_i^2=43{,}221,$$ $$s_y^2=\frac{\sum y_i^2-(\sum y_i)^2/n}{n-1} =\frac{43{,}221-637^2/10}{9} =357.4333.$$

總時數估計量的標準誤為