112 公務人員升官等薦任 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題考查分層隨機抽樣與集群抽樣的辨識、成本與精確度取捨，以及抽樣設計是否能配合調查目的。題目沒有涉及法條。

本年度先按農家經營類別分成五層，再於各層內以簡單隨機不放回抽樣，屬於分層隨機抽樣。會議建議先抽村里，再訪問樣本村里內所有農戶，屬於集群抽樣；村里是集群，農戶是觀察單位。

（一）本年度抽樣設計的主要注意事項

本年度設計依經營類別分層，主要注意事項如下：

1. 分層依據須與調查目的相關：調查需要掌握不同經營類別農家的所得，因此以稻作、蔬菜、水果、其他農作物及畜牧戶分層，能確保各類別均有樣本。
2. 各層須互斥且涵蓋母體：每一農牧戶應且只能歸入一個經營類別，五類合起來須涵蓋抽樣母體。
3. 各層分別抽樣，並注意樣本數配置：各層內以簡單隨機不放回方式抽樣。若各層樣本數不是按層內戶數比例配置，估計全體平均所得時須依各層母體規模加權，不能直接將所有樣本所得取未加權平均。
4. 估計全體平均與各類別平均的精確度需求不同：樣本配置應同時考量各層變異、規模及成本；若要精確估計個別類別平均，須確保各層樣本數足夠，不能只以全體估計為考量。
5. 抽樣框須完整且分類正確：農林漁牧普查資料中的農牧戶名冊，須能代表本年度調查母體，並確認經營類別資訊正確，以避免涵蓋不足或錯分造成偏差。
6. 調查執行仍須控制非抽樣誤差：家戶面訪需注意訪員訓練、問卷一致性、無應答追蹤及所得資料查核。分層抽樣改善的是抽樣設計，不會自動消除訪問與測量誤差。

（二）下年度建議的抽樣設計及其優缺點

設計辨識：集群抽樣。先從村里中抽取樣本村里，再調查樣本村里內所有農戶，屬於單階段集群抽樣，也可稱為整群抽樣。若抽中的村里內只再抽部分農戶，才是二階段集群抽樣；題目所述是調查村里內所有農戶。

主要優點：

• 樣本集中在少數村里，訪員可在同一地區完成較多訪查，通常能減少往返交通、時間與差旅成本。
• 現場組織與管理較方便，適合家戶分散、逐戶訪問成本高的調查情境。

主要缺點：

核心觀念

本題是有限母體下的簡單隨機不放回抽樣，並以樣本中「有養犬的家戶」估計養犬家戶的平均每月花費與全里總花費。抽樣戶數 $n=50$、全里戶數 $N=500$，因此抽樣比率為 $f=n/N=0.1$；估計量的變異數須納入有限母體修正係數 $1-f$。

本題沒有提供全里養犬戶數，因此總花費以「全里總戶數 × 養犬比例 × 養犬戶平均花費」估計。以下假設養犬戶平均花費的樣本變異數 $1{,}000{,}000$ 是以那 12 戶養犬戶計算。

（一）養犬戶每月平均花費的變異數估計

在 12 戶養犬戶中，平均花費估計值為 $\bar y_d=2{,}000$ 元，樣本變異數為 $s_d^2=1{,}000{,}000$ 平方元。以 12 戶估計養犬戶平均花費，其變異數估計為

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\bar y_d) =\left(1-\frac{12}{50}\right)\frac{s_d^2}{12} =\frac{38}{50}\times\frac{1{,}000{,}000}{12} =63{,}333.33\ \text{平方元}.$$

因此，平均每月養犬花費估計值的標準誤約為 $\sqrt{63{,}333.33}=251.66$ 元。有限母體修正係數採養犬戶子樣本占原始樣本的比率 $12/50$；不能直接把原始抽樣比率 $50/500$ 套用在這個條件平均數上。

（二）成功里每月養犬總花費估計

先估計全里養犬戶比例：

$$\hat p=\frac{12}{50}=0.24.$$

因此，全里養犬戶數估計為

$$\hat M=N\hat p=500\times0.24=120\ \text{戶}.$$

以養犬戶平均每月花費 $2{,}000$ 元估計，成功里每月養犬總花費為

$$\hat T=\hat M\bar y_d =120\times2{,}000 =240{,}000\ \text{元}.$$

（三）總花費 95% 信賴區間所需標準誤估計

令每戶每月養犬花費為 $z_i$：養犬戶的 $z_i$ 為其花費，未養犬戶的 $z_i=0$。全里總花費可用總和估計量 $\hat T=N\bar z$ 估計；

核心觀念

本題考查分層隨機抽樣的母體比例估計、估計量標準誤，以及有限母體下的最適樣本配置。

依學制分成大學部、碩士班、博士班三層，各層內以簡單隨機抽樣抽取樣本。令第 $h$ 層母體數為 $N_h$、樣本數為 $n_h$、樣本滿意比例為 $\hat p_h$，則母體比例估計量為

$$\hat p_{\mathrm{st}}=\sum_{h=1}^{L}W_h\hat p_h,\qquad W_h=\frac{N_h}{N},$$

其中 $N=\sum_hN_h$。各層抽樣率不同，因此不能直接將三層樣本比例取算術平均。

估計量變異數估計式為

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_{\mathrm{st}}) =\sum_{h=1}^{L}W_h^2(1-f_h)\frac{\hat p_h(1-\hat p_h)}{n_h}, \qquad f_h=\frac{n_h}{N_h},$$

標準誤估計值為上述變異數估計值開根號。因滿意與否為二元變數，各層樣本變異數以 $\hat p_h(1-\hat p_h)$ 估計。

（一）滿意比例及其標準誤

全校學生總數為

$$N=3,000+1,000+500=4,500.$$

三層的母體權數依序為

$$W_1=\frac{3,000}{4,500}=\frac23,\quad W_2=\frac{1,000}{4,500}=\frac29,\quad W_3=\frac{500}{4,500}=\frac19.$$

因此全校滿意比例的估計值為

$$\begin{aligned} \hat p_{\mathrm{st}} &=\frac23(0.25)+\frac29(0.65)+\frac19(0.55)\\ &=0.1667+0.1444+0.0611\\ &=0.3722. \end{aligned}$$

故銘興大學學生對行政效率滿意比例的估計值為 0.3722，約 37.22%。

三層每層均抽樣 200 人，抽樣率分別為 $200/3,000$、$200/1,000$、$200/500$。代入變異數估計式：

$$\begin{aligned} \widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_{\mathrm{st}}) ={}&\left(\frac23\right)^2 \left(1-\frac{200}{3,000}\right) \frac{0.25(0.75)}{200}\\ &+\left(\frac29\right)^2 \left(1-\frac{200}{1,000}\right) \frac{0.65(0.35)}{200}\\ &+\left(\frac19\right)^2 \left(1-\frac{200}{500}\right) \frac{0.55(0.45)}{200}\\ \approx{}&0.00042784. \end{aligned}$$

所以標準誤估計值為

$$\widehat{\operatorname{SE}}(\hat p_{\mathrm{st}}) =\sqrt{0.00042784}\approx0.02068.$$

亦即標準誤約為 0.0207，或 2.07 個百分點。

（二）總樣本數 600 下的配置

判斷依據

核心觀念

本題是兩階段抽樣：先從 20 個鄰抽出 5 個鄰，再從每個入樣鄰內抽出 10 位里民。第一階段的抽樣單位是鄰，第二階段的抽樣單位是里民。

估計全里滿意比例時，先以各入樣鄰的樣本滿意比例估計該鄰的滿意比例，再按各鄰里民數加權，估計入樣鄰合計的滿意里民數；最後以全里 2,000 位里民為分母。變異數估計須同時納入鄰與鄰內里民的抽樣變異。

（一）抽樣設計

此為兩階段抽樣，亦可稱為二階段群集抽樣：

1. 第一階段：從 20 個鄰中隨機抽出 5 個鄰。
2. 第二階段：在每個入樣鄰內，再隨機抽取 10 位里民。

（二）滿意比例估計與變異數估計

令 $N=20$ 為全里鄰數、$n=5$ 為入樣鄰數；第 $i$ 鄰里民數為 $M_i$，其抽取里民數為 $m_i=10$，樣本滿意比例為 $\hat p_i$。全里人口總數為 $M=2{,}000$。

1. 估計滿意比例

第 $i$ 個入樣鄰的滿意里民數估計為 $M_i\hat p_i$。因此，總滿意里民數的兩階段估計量為

$$\hat T=\frac{N}{n}\sum_{i\in s}M_i\hat p_i.$$

代入題目資料：

$$\sum_{i\in s}M_i\hat p_i =100(0.3)+80(0.5)+100(0.3)+200(0.5)+50(0.2) =190.$$

故全里滿意里民數估計為

$$\hat T=\frac{20}{5}(190)=760,$$

滿意比例估計為

$$\hat P=\frac{\hat T}{M} =\frac{760}{2{,}000} =\boxed{0.38}.$$

因此，澄清里里民對公園設施的滿意比例估計為 38%。

2. 信賴區間所需的變異數估計

設 $y_{ij}=1$ 表示第 $i$ 鄰第 $j$ 位里民滿意，否則為 $0$。令

$$\hat t_i=M_i\hat p_i,\qquad \hat V_i=M_i^2\left(1-\frac{m_i}{M_i}\right)\frac{s_i^2}{m_i},$$

其中 $\hat V_i$ 是第 $i$ 鄰內滿意人數估計量的變異數估計，$s_i^2$ 是該鄰樣本中 $y_{ij}$ 的樣本變異數。對二元資料，

$$s_i^2=\frac{m_i}{m_i-1}\hat p_i(1-\hat p_i),$$

所以

$$\hat V_i =M_i^2\left(1-\frac{m_i}{M_i}\right) \frac{\hat p_i(1-\hat p_i)}{m_i-1}.$$

兩階段抽樣的總數估計量變異數估計為

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat T) = N^2\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{s_{\hat t}^2}{n} +\frac{N}{n}\sum_{i\in s}\hat V_i,$$

其中

$$s_{\hat t}^2 =\frac{1}{n-1}\sum_{i\in s}(\hat t_i-\bar{\hat t})^2.$$

核心觀念

抽樣權重（sampling weight）是樣本單位代表母體單位的倍數。對母體第 $i$ 個單位，令其包含機率為 $\pi_i=P(i\in s)$，抽樣權重定義為

$$w_i=\frac{1}{\pi_i}.$$

權重愈大，表示該單位被抽中的機率愈低，因此入樣後代表的母體單位愈多。若採等機率抽樣，且每個單位的包含機率均為 $\pi_i=n/N$，則 $w_i=N/n$。一般不等機率抽樣下，權重並不必然相同，也不必然等於 $N/n$。

設母體共有 $N$ 個單位，第 $i$ 個單位的特徵值為 $y_i$。母體總和與平均分別為

$$\tau=\sum_{i=1}^{N}y_i,\qquad \mu=\frac{\tau}{N}.$$

解題方法

以包含機率的倒數作為權重，將樣本中觀察到的每個 $y_i$ 乘上其權重後加總，得到 Horvitz–Thompson 總和估計量：

$$\widehat{\tau}_{HT} =\sum_{i\in s}\frac{y_i}{\pi_i} =\sum_{i\in s}w_i y_i.$$

其不偏性可由指示變數推得。令 $I_i=1$ 表示第 $i$ 個單位入樣，未入樣時 $I_i=0$，則

$$\widehat{\tau}_{HT} =\sum_{i=1}^{N}\frac{I_i y_i}{\pi_i}.$$

由於 $E(I_i)=\pi_i$，