112 公務人員升官等薦任 統計 統計學 考古題詳解

112 年・公務人員升官等・薦任・統計
試題代碼 統計學

第 一 題30 分

給定以下資料集（N=13N=13）：

資料：[60,10,15,20,25,30,35,120,45,50,55,115,40][60, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 120, 45, 50, 55, 115, 40]

（一）請分別計算出 3 個四分位數 Q1Q1、Q2Q2 和 Q3Q3，以及內 4 分位距（Inter-Quartile Range, IQRIQR）。（20 分）

（二）請問該組資料有沒有離群值？請說明判斷理由。（10 分）

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核心觀念

本題考查四分位數、內四分位距與箱型圖離群值判定。先將資料由小到大排列，再依指定的四分位數定義找出 Q1Q_1、Q2Q_2、Q3Q_3。本解答採用常見的「中位數分半法」：奇數筆資料先取全體中位數，再將中位數排除，分別取上下半部的中位數。

內四分位距為：

IQR=Q3−Q1IQR=Q_3-Q_1

箱型圖常用的離群值判定界限為：

下界=Q1−1.5IQR,上界=Q3+1.5IQR\text{下界}=Q_1-1.5IQR,\qquad \text{上界}=Q_3+1.5IQR

資料小於下界或大於上界，即判定為離群值。

解題方法

將原始資料排序：

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 115, 12010,\ 15,\ 20,\ 25,\ 30,\ 35,\ 40,\ 45,\ 50,\ 55,\ 60,\ 115,\ 120

共有 N=13N=13 筆，因此全體中位數是第 13+12=7\frac{13+1}{2}=7 筆資料：

Q2=40Q_2=40

排除中位數後，下半部為 10,15,20,25,30,3510,15,20,25,30,35，其中央兩筆為第 3、4 筆，因此：

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第 二 題10 分

若已知下圖中兩分配機率密度函數（probability density function, PDF），其一為 TT 分配（自由度 3），另一為標準常態 ZZ 分配，則虛線應該是哪一個分配？請說明理由。（10 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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【核心觀念】

本題考查自由度為 33 的 tt 分配與標準常態分配的機率密度形狀。兩者都以 00 為中心且左右對稱，但 t3t_3 分配的尾部較厚、中央峰較低；標準常態分配則中央峰較高、尾部較薄。

標準常態分配的密度函數為

fZ(x)=12πe−x2/2,f_Z(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2},

自由度為 33 的 tt 分配密度函數為

fT3(x)=2π3(1+x23)−2.f_{T_3}(x)=\frac{2}{\pi\sqrt{3}}\left(1+\frac{x^2}{3}\right)^{-2}.

【解題方法】

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第 三 題30 分

統計學是一個處理資料的科學，有老師因考量學生成績太低將成績開根號後再乘以 10。假設學生原始成績為 XX，介於 0 到 100 均勻分配的隨機變數，令

Y=10XY=10\sqrt{X}

為調整後的成績，試問：（每小題 15 分，共 30 分）

（一）相較於原始平均成績，調整後的平均成績會產生何種變化？

（二）調整後的成績 YY，其變異數為何？

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核心觀念

本題考「隨機變數函數的期望值與變異數」。原始成績 X∼U(0,100)X\sim U(0,100)，所以其機率密度函數為

fX(x)=1100,0≤x≤100.f_X(x)=\frac{1}{100},\qquad 0\le x\le 100.

調整後成績為 Y=10XY=10\sqrt X。求平均數可直接由期望值定義計算；求變異數則使用

Var⁡(Y)=E(Y2)−[E(Y)]2.\operatorname{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2.

解題方法

（一）調整後平均成績的變化

原始成績的平均數為

E(X)=0+1002=50.E(X)=\frac{0+100}{2}=50.

調整後成績的平均數為

E(Y)=E(10X)=∫010010x⋅1100 dx=110[23x3/2]0100=110⋅23⋅1000=2003≈66.67.\begin{aligned} E(Y) &=E(10\sqrt X)\\ &=\int_0^{100}10\sqrt{x}\cdot \frac{1}{100}\,dx\\ &=\frac{1}{10}\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^{100}\\ &=\frac{1}{10}\cdot\frac{2}{3}\cdot 1000\\ &=\frac{200}{3}\approx 66.67. \end{aligned}

因此，調整後平均成績由 5050 分提高至約 66.6766.67 分，增加約 16.6716.67 分。

（二）調整後成績的變異數

先計算二次動差：

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第 四 題30 分

某廠商要設計一款內含 10 顆、編號 1 到 10 的搖球機，希望每顆球被搖出來的機率是一樣的。工程師為了測試設計出來的搖球機滿足上述的需求，故獨立連續搖出 100 顆球，並記錄搖出的號碼及其對應搖出的次數如下：

編號12345678910
次數119891171012914

（一）試以顯著水準 α=0.05\alpha=0.05 檢定每個號碼出現的機率是否一樣？請詳列問題的虛無假設、對立假設、檢定統計量、臨界值和結論。（20 分）

（二）請問檢定統計量對應的 pp 值大約是多少？（10 分）

🖼️【此處有附表：χ2\chi^2 分配右尾切點（cut-off points），請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考「卡方適合度檢定」，用來檢定觀察到的類別次數是否符合指定的機率分配。若 10 個號碼出現機率相同，每個號碼的理論機率為 1/101/10，因此 100 次搖出中，各號碼的期望次數均為

Ei=100×110=10.E_i=100\times \frac{1}{10}=10.

解題方法

令 pip_i 表示第 ii 個號碼被搖出的機率，檢定假設為：

H0:p1=p2=⋯=p10=110,H1:至少有一個 pi≠110.H_0:p_1=p_2=\cdots=p_{10}=\frac{1}{10}, \qquad H_1:\text{至少有一個 }p_i\ne\frac{1}{10}.

卡方適合度檢定統計量為

χ2=∑i=110(Oi−Ei)2Ei,\chi^2=\sum_{i=1}^{10}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i},

其中 OiO_i 為觀察次數。本題各號碼的觀察次數依序為 11,9,8,9,11,7,10,12,9,1411,9,8,9,11,7,10,12,9,14，期望次數均為 1010，所以

χ2=(11−10)2+(9−10)2+(8−10)2+(9−10)2+(11−10)210+(7−10)2+(10−10)2+(12−10)2+(9−10)2+(14−10)210=1+1+4+1+1+9+0+4+1+1610=3.8.\begin{aligned} \chi^2 &=\frac{(11-10)^2+(9-10)^2+(8-10)^2+(9-10)^2+(11-10)^2}{10}\\ &\quad+\frac{(7-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2+(9-10)^2+(14-10)^2}{10}\\ &=\frac{1+1+4+1+1+9+0+4+1+16}{10}\\ &=3.8. \end{aligned}
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