108 公務人員升官等薦任 統計 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題評量數理統計學與高等統計學中極為經典的「順序統計量（Order Statistics）」與「指數分配（Exponential Distribution）」的綜合應用，主要涵蓋以下核心觀念與定理：

1. 單變數指數分配的性質： 若隨機變數 $X \sim \text{Exp}(\text{mean} = \theta)$，其中 $\theta = 50$（尺度參數，對應率參數 $\lambda = \frac{1}{50}$），其機率密度函數（PDF）與累積分配函數（CDF）分別為： $f_X(x) = \frac{1}{50}e^{-x/50}, \quad F_X(x) = 1 - e^{-x/50}, \quad x > 0$ 互補累積機率（生存函數）為 $P(X > x) = 1 - F_X(x) = e^{-x/50}$。

2. 順序統計量的極端值分佈與聯合累積分配函數（Joint CDF）：

• 樣本數 $n=2$ 時，$S = X_{(1)} = \min\{X_1, X_2\}$，$T = X_{(2)} = \max\{X_1, X_2\}$。
• 順序統計量恆滿足 $S \le T$。求聯合累積分配函數 $F(s,t) = P(S \le s, T \le t)$ 時，必須依定義依據 $s < t$ 與 $s \ge t$ 進行分區討論。

3. 共變異數之計算與間距獨立性（Rényi / Sukhatme 定理）：

• 共變異數定義為 $\operatorname{Cov}(S,T) = E[ST] - E[S]E[T]$。
• 指數分配具有「無記憶性（Memoryless Property）」，其順序統計量之間距（Spacings）$W_1 = S$ 與 $W_2 = T - S$ 具有互相獨立且皆服從指數分配之優良特性，可大幅簡化期望值與共變異數之推導。

4. 二維隨機變數機率的集合轉化： 計算 $P(S > s, T > t)$ 時，可善用 $X_1, X_2$ 的獨立同分配（i.i.d.）特性，將事件直接還原至獨立樣本空間進行補集分解，避開冗長的二重積分。

---

解題方法

(一) 求聯合累積分配函數 $F(s,t)$

聯合累積分配函數定義為： $F(s,t) = P(S \le s, T \le t)$ 由於鋼索壽命 $X_1, X_2 > 0$，故當 $s \le 0$ 或 $t \le 0$ 時，$F(s,t) = 0$。當 $s > 0$ 且 $t > 0$ 時，考慮 $S \le T$ 的幾何特性，分成兩種情況討論：

情況 1：當 $0 < t \le s$ 時 因為隨機變數恆滿足 $S \le T$，故事件 $\{T \le t\}$ 必然隱含 $\{S \le t \le s\}$。換言之，$\{T \le t\} \subseteq \{S \le s\}$，兩者交集即為 $\{T \le t\}$： $F(s,t) = P(S \le s, T \le t) = P(T \le t) = P(X_1 \le t, X_2 \le t)$ 由 $X_1, X_2$ 相互獨立： $P(T \le t) = [F_X(t)]^2 = (1 - e^{-t/50})^2$

情況 2：當 $0 < s < t$ 時 利用事件的互斥拆解，事件 $\{T \le t\}$ 可分解為互斥的兩部分： $\{T \le t\} = \{S \le s, T \le t\} \cup \{S > s, T \le t\}$ 因此： $P(S \le s, T \le t) = P(T \le t) - P(S > s, T \le t)$ 其中：

• $P(T \le t) = [F_X(t)]^2$
• 事件 $\{S > s, T \le t\} = \{s < X_1 \le t, s < X_2 \le t\}$，由獨立性得： $P(S > s, T \le t) = [F_X(t) - F_X(s)]^2$

將兩項展開整理： $P(S \le s, T \le t) = [F_X(t)]^2 - [F_X(t) - F_X(s)]^2 = 2F_X(s)F_X(t) - [F_X(s)]^2$ 代入 $F_X(x) = 1 - e^{-x/50}$： $F(s,t) = 2(1 - e^{-s/50})(1 - e^{-t/50}) - (1 - e^{-s/50})^2$ 展開可得： $F(s,t) = (1 - e^{-s/50})\Big(2(1 - e^{-t/50}) - (1 - e^{-s/50})\Big) = (1 - e^{-s/50})(1 - 2e^{-t/50} + e^{-s/50})$ $= 1 - 2e^{-t/50} - e^{-2s/50} + 2e^{-(s+t)/50}$

綜合上述，聯合累積分配函數為：

0, & s \le 0 \text{ 或 } t \le 0 \\ 1 - 2e^{-t/50} - e^{-2s/50} + 2e^{-(s+t)/50}, & 0 < s < t \\ (1 - e^{-t/50})^2, & 0 < t \le s \end{cases}$$ --- #### (二) 求共變異數 $\operatorname{Cov}(S,T)$ 共變異數定義為 $\operatorname{Cov}(S,T) = E[ST] - E[S]E[T]$。以下提供兩種推導路徑： ##### 【標準積分推導】 樣本數 $n=2$ 的順序統計量聯合機率密度函數（Joint PDF）為： $$f_{S,T}(s,t) = 2! f_X(s)f_X(t) = 2\left(\frac{1}{50}\right)^2 e^{-(s+t)/50} = \frac{1}{1250} e^{-(s+t)/50}, \quad 0 < s < t < \infty$$ 1. **求 $S$ 的邊際分佈與期望值**： $$f_S(s) = \int_s^\infty \frac{2}{50^2} e^{-(s+t)/50} dt = \frac{2}{50} e^{-2s/50} = \frac{1}{25}e^{-s/25}, \quad s > 0$$ 即 $S \sim \text{Exp}(\text{mean} = 25)$，因此： $$E[S] = 25, \quad \operatorname{Var}(S) = 25^2 = 625$$ 2. **求 $T$ 的邊際分佈與期望值**： $$F_T(t) = (1 - e^{-t/50})^2 = 1 - 2e^{-t/50} + e^{-2t/50}, \quad t > 0$$ 對 $t$ 微分求得 PDF： $$f_T(t) = \frac{2}{50}e^{-t/50} - \frac{2}{50}e^{-2t/50} = \frac{1}{25}e^{-t/50} - \frac{1}{25}e^{-t/25}, \quad t > 0$$ 利用 Gamma 函數積分 $\int_0^\infty t e^{-t/\beta} dt = \beta^2$： $$E[T] = \int_0^\infty t f_T(t) dt = \frac{1}{25}(50^2) - \frac{1}{25}(25^2) = 100 - 25 = 75$$ 3. **求積動差 $E[ST]$**： $$E[ST] = \int_0^\infty \int_s^\infty st \left(\frac{2}{50^2} e^{-(s+t)/50}\right) dt ds$$

核心觀念

本題為經典多元常態分配（Multivariate Normal Distribution, MVN）的綜合考題，命題核心涵蓋以下四大定理與性質：

1. 多元常態分配之條件分配定理： 若隨機向量 $\mathbf{W} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ 被分割為 $\mathbf{W}_1$ 與 $\mathbf{W}_2$，則給定 $\mathbf{W}_2 = \mathbf{w}_2$ 之下，$\mathbf{W}_1$ 的條件分配仍為多元常態分配：

$$\mathbf{W}_1 \mid \mathbf{W}_2 = \mathbf{w}_2 \sim N\left(\boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}(\mathbf{w}_2 - \boldsymbol{\mu}_2), \; \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21}\right)$$

2. 常態分配中「不相關即獨立」與抽樣分配： 若多元常態變數間的共變異數為 $0$，則該兩變數相互獨立。 標準常態變數的平方服從自由度為 $1$ 的卡方分配；兩獨立卡方隨機變數除以各自自由度的比值服從 $F$ 分配：

$$Z_1, Z_2 \overset{i.i.d.}{\sim} N(0, 1) \implies \frac{Z_1^2 / 1}{Z_2^2 / 1} \sim F(1, 1)$$

3. 雙變量常態之條件期望值、條件變異數與全變異數定理： 在常態母體下，$E(X\mid Y)$ 為 $Y$ 的線性函數，$V(X\mid Y)$ 為常數（與 $Y$ 的取值無關）。 由全變異數定理（Law of Total Variance）：

$$V(X) = V\left[E(X\mid Y)\right] + E\left[V(X\mid Y)\right]$$

4. 多元常態變數之線性組合： 多元常態隨機向量的任意線性組合仍服從常態分配。求出線性組合的均值、變異數及共變異數後，即可直接決定其聯合二元常態分配與條件分配。

---

解題方法

由題意知，隨機向量 $\begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} \sim N_3(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$，其中：

$$\boldsymbol{\mu} = \begin{pmatrix} 30 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 9 \end{pmatrix}$$

(一) 求給定 $Y=8$ 之下，$(X,Z)$ 之條件機率密度函數

令 $\mathbf{W}_1 = \begin{pmatrix} X \\ Z \end{pmatrix}$，$W_2 = Y$。將平均數向量與共變異數矩陣分割如下：

$$\boldsymbol{\mu}_1 = \begin{pmatrix} 30 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \mu_2 = 4$$ $$\boldsymbol{\Sigma}_{11} = \begin{pmatrix} V(X) & \operatorname{Cov}(X,Z) \\ \operatorname{Cov}(Z,X) & V(Z) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$$ $$\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \begin{pmatrix} \operatorname{Cov}(X,Y) \\ \operatorname{Cov}(Z,Y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \Sigma_{22} = V(Y) = 4$$

1. 計算條件期望值向量：

$$E\left[\begin{pmatrix} X \\ Z \end{pmatrix} \Bigg| Y=8\right] = \boldsymbol{\mu}_1 + \boldsymbol{\Sigma}_{12}\Sigma_{22}^{-1}(8 - \mu_2) = \begin{pmatrix} 30 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{4} (8 - 4) = \begin{pmatrix} 30 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 29 \\ 2 \end{pmatrix}$$

2. 計算條件共變異數矩陣：

$$\boldsymbol{\Sigma}_{1\mid 2} = \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\Sigma_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} - \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} - \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{35}{4} \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 35 \end{pmatrix}$$

3. 計算條件共變異數矩陣的行列式值與逆矩陣：

$$|\boldsymbol{\Sigma}_{1\mid 2}| = \left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{35}{4}\right) - \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{105 - 1}{16} = \frac{104}{16} = \frac{13}{2}$$ $$\boldsymbol{\Sigma}_{1\mid 2}^{-1} = \frac{2}{13} \cdot \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 35 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{26} \begin{pmatrix} 35 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$

4. 寫出二元常態條件機率密度函數： 令 $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} x - 29 \\ z - 2 \end{pmatrix}$，二次型為：

$$Q = \mathbf{u}^T \boldsymbol{\Sigma}_{1\mid 2}^{-1} \mathbf{u} = \frac{1}{26} \left[ 35(x-29)^2 - 2(x-29)(z-2) + 3(z-2)^2 \right]$$

密度函數歸一化常數為：

$$\frac{1}{2\pi \sqrt{|\boldsymbol{\Sigma}_{1\mid 2}|}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{13}{2}}} = \frac{1}{\pi \sqrt{26}}$$

故條件機率密度函數為：

$$f_{X,Z\mid Y}(x, z \mid 8) = \frac{1}{\pi \sqrt{26}} \exp\left( -\frac{1}{52} \left[ 35(x-29)^2 - 2(x-29)(z-2) + 3(z-2)^2 \right] \right)$$

定義域為 $-\infty < x < \infty, \; -\infty < z < \infty$。

---

(二) 求變數 $W$ 之分配

將 $W$ 進行標準化重組：

$$W = \frac{9(X-30)^2}{(Z-1)^2} = \frac{\left(\frac{X-30}{1}\right)^2}{\left(\frac{Z-1}{3}\right)^2}$$

1. 由邊際分配性質：

$$X \sim N(30, 1) \implies \frac{X-30}{\sqrt{1}} \sim N(0, 1) \implies \left(\frac{X-30}{1}\right)^2 \sim \chi^2(1)$$ $$Z \sim N(1, 9) \implies \frac{Z-1}{3} \sim N(0, 1) \implies \left(\frac{Z-1}{3}\right)^2 \sim \chi^2(1)$$

核心觀念

本題為數理統計學中「點估計理論」的經典考題，涵蓋三大核心主軸：

1. 完備充分統計量與 Lehmann–Scheffé 定理（UMVUE）：

• 樣本來自白努利分配 $B_i \sim \operatorname{Bernoulli}(\theta)$，屬於單參數指數族（One-parameter Exponential Family），其充分統計量 $T = \sum_{i=1}^n B_i \sim \operatorname{Binomial}(n, \theta)$ 具備完備性（Completeness）。
• 若某估計量為未知母數函數的不偏估計量，且為完備充分統計量的函數，則依據 Lehmann–Scheffé 定理，該估計量即為均勻最小變異不偏估計量（Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator, UMVUE）。

2. 費雪訊息量與 Cramér–Rao 下限（CRLB）：

• 設待估母數函數為 $g(\theta)$，單一樣本與大小為 $n$ 樣本之費雪訊息量（Fisher Information）分別為 $I_1(\theta)$ 與 $I_n(\theta) = n I_1(\theta)$。
• 任何 $g(\theta)$ 之不偏估計量 $W$，其變異數滿足 Cramér–Rao 不等式： $\operatorname{Var}(W) \ge \operatorname{CRLB} = \frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)}$

3. 最大概似估計（MLE）與不變性（Invariance Property）：

• 透過對數概似函數的一階條件（FOC）與二階條件（SOC）求得母數 $\theta$ 之最大概似估計量 $\hat{\theta}_{\text{MLE}}$。
• 根據 Zehna（1966）提出的 MLE 不變性定理：若 $\hat{\theta}$ 為 $\theta$ 的 MLE，且 $h(\theta)$ 為任意函數，則 $h(\theta)$ 的 MLE 即為 $h(\hat{\theta})$。

---

解題方法

(一) 求 $\operatorname{Var}(B_i)$ 之 UMVUE

1. 確定待估母數函數： 因為 $B_i \sim \operatorname{Bernoulli}(\theta)$，其母體變異數為： $g(\theta) = \operatorname{Var}(B_i) = \theta(1 - \theta)$

2. 尋找完備充分統計量（Complete Sufficient Statistic）： 隨機樣本 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ 的聯合機率質量函數（Joint pmf）為： $f(b_1, \ldots, b_n; \theta) = \prod_{i=1}^n \theta^{b_i}(1-\theta)^{1-b_i} = (1-\theta)^n \exp\left[ \ln\left(\frac{\theta}{1-\theta}\right) \sum_{i=1}^n b_i \right]$

• 根據 Neyman 因式分解定理（Factorization Theorem），$T = \sum_{i=1}^n B_i$ 為 $\theta$ 的充分統計量。
• 此機率結構屬於單參數正規指數族，且自然母數空間（Natural Parameter Space）包含實數軸上的開區間，故 $T = \sum_{i=1}^n B_i \sim \operatorname{Binomial}(n, \theta)$ 亦為完備統計量。

3. 建構不偏估計量並應用 Lehmann–Scheffé 定理： 回顧一般樣本變異數定義： $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (B_i - \bar{B})^2$ 對於任何具有有限二次動差的母體，$S^2$ 均為母體變異數 $\operatorname{Var}(B_i) = \theta(1-\theta)$ 的不偏估計量，即 $E(S^2) = \theta(1-\theta)$。

由於 $B_i$ 僅取值 0 或 1，恆有 $B_i^2 = B_i$，因此： $\sum_{i=1}^n B_i^2 = \sum_{i=1}^n B_i = n\bar{B} = T$ 展開離均差平方和： $\sum_{i=1}^n (B_i - \bar{B})^2 = \sum_{i=1}^n B_i^2 - n\bar{B}^2 = n\bar{B} - n\bar{B}^2 = n\bar{B}(1-\bar{B}) = \frac{T(n-T)}{n}$ 因此樣本變異數可表示為完備充分統計量 $T$ 的函數： $S^2 = \frac{n}{n-1}\bar{B}(1-\bar{B}) = \frac{T(n-T)}{n(n-1)}$

因為 $S^2$ 為完備充分統計量 $T$ 的函數，且滿足不偏性 $E(S^2) = \operatorname{Var}(B_i)$，由 Lehmann–Scheffé 定理，此估計量必為唯一之 UMVUE。

---

(二) 求 $\operatorname{Var}(B_i)$ 不偏估計量變異數之 Cramér–Rao 下限 (CRLB)

1. 計算待估函數之導函數： 待估函數為 $g(\theta) = \theta(1-\theta) = \theta - \theta^2$，對 $\theta$ 微分得： $g'(\theta) = \frac{d}{d\theta}[\theta(1-\theta)] = 1 - 2\theta$

2. 計算單一樣本的費雪訊息量 $I_1(\theta)$： 單一觀測值 $B_i$ 的對數機率質量函數為： $\ln f(B_i; \theta) = B_i \ln\theta + (1-B_i)\ln(1-\theta)$ 對 $\theta$ 微分： $\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(B_i; \theta) = \frac{B_i}{\theta} - \frac{1-B_i}{1-\theta} = \frac{B_i - \theta}{\theta(1-\theta)}$ 計算其變異數即得費雪訊息量：