108 公務人員升官等薦任 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題評量抽樣調查中由統計推論（Inference）出發反求抽樣設計與選樣執行的標準作業程序。其核心觀念涵蓋以下四個維度：

1. 母體參數（Parameter）$\theta$ 與估計式（Estimator）$\hat{\theta}$ 的對應性：

• 母體參數 $\theta$（如母體平均數 $\mu$、母體總量 $\tau$、母體比例 $p$、比率 $R$ 等）為未知之固定常數。
• 估計式 $\hat{\theta}$ 為樣本觀測值的隨機變數函數，其優良性質取決於抽樣設計，常用評估準則包括：
• 不偏性（Unbiasedness）：$E(\hat{\theta}) = \theta$
• 最小變異數（Efficiency）：在不偏估計式中尋求使 $\text{Var}(\hat{\theta})$ 最小者
• 均方誤差（Mean Squared Error, MSE）：$\text{MSE}(\hat{\theta}) = E[(\hat{\theta} - \theta)^2] = \text{Var}(\hat{\theta}) + [\text{Bias}(\hat{\theta})]^2$

2. 機率抽樣（Probability Sampling）原理： 母體中每個單元 $i$ 均具備已知且大於 0 的入樣機率（Inclusion Probability）$\pi_i$。唯有在機率抽樣架構下，估計式 $\hat{\theta}$ 的抽樣分配（Sampling Distribution）方能被確立，進而進行客觀的統計推論。
3. 抽樣底冊（Sampling Frame）完整性： 底冊是母體單元的名冊清單，須避免涵蓋誤差（Coverage Errors，如漏列、重疊、外來元素或集群元素）。
4. 精確度與樣本數（Sample Size, $n$）之反推關係： 在給定顯著水準 $\alpha$ 與容許誤差界限（Bound on error of estimation）$B$ 的條件下： $P(|\hat{\theta} - \theta| \le B) \ge 1 - \alpha$ 於常態近似下，$B = z_{\alpha/2} \sqrt{\text{Var}(\hat{\theta})}$，藉由 $\text{Var}(\hat{\theta})$ 即可反求最適樣本數 $n$。

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解題方法

欲以估計式 $\hat{\theta}$ 準確估計母體參數 $\theta$，選取樣本不能僅視為單純的「隨機抽號」，而是一套結合「統計推論理論」與「實務調查執行」的嚴謹流程。解題架構應分為以下六大標準程序：

程序一：界定目標母體與有興趣的參數 $\theta$

1. 定義母體範圍：明確界定「目標母體（Target Population）」與「抽樣母體（Sampled Population）」在時間、空間、對象上的邊界，並確立基本元素（Element）。
2. 設定目標參數 $\theta$：明確定義欲估計之參數型態，例如：

• 母體總計（Total）：$\tau = \sum_{i=1}^N Y_i$
• 母體平均數（Mean）：$\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N Y_i$
• 母體比例（Proportion）：$p = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N I(Y_i \in A)$
• 母體兩變數之比率（Ratio）：$R = \frac{\sum_{i=1}^N Y_i}{\sum_{i=1}^N X_i}$

程序二：建立與校正抽樣底冊（Sampling Frame）

1. 編製抽樣單元清冊：將母體劃分為互斥且周延的「抽樣單元（Sampling Units）」，並取得完整的名冊或清冊資料（如戶籍底冊、廠商登記清冊、地籍資料等）。
2. 排除底冊瑕疵：

• 欠涵蓋（Under-coverage）：避免母體目標單元未列於底冊中。
• 過度涵蓋（Over-coverage）與外來單元：排除非目標單元。
• 重複單元（Duplicate listings）：刪除重複列記，避免入樣機率被不當加倍。

程序三：選定適當的抽樣設計（Sampling Design）

依據母體特徵、輔助資訊（Auxiliary Information）、行政成本與調查便利性，選擇最適的機率抽樣架構：

1. 簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling, SRS）：母體同質性高、缺乏輔助資訊時採用。
2. 分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）：母體內各次族群差異大（層間異質、層內同質），且具備分層輔助變數時採用，能有效降低估計式變異數 $\text{Var}(\hat{\theta})$。
3. 系統抽樣（Systematic Sampling）：單元排列具自然隨機性或名冊長度極大時採用，抽樣作業簡便。
4. 集群抽樣（Cluster Sampling）或多階抽樣（Multistage Sampling）：個別元素底冊難以取得，但自然形成的群體容易清查（群間同質、群內異質），或考量訪員差旅成本時採用。
5. 機率與大小成比例抽樣（Probability Proportional to Size, PPS）：各抽樣單元規模差異懸殊時採用，將規模變數作為輔助資訊賦予不等入樣機率。

程序四：決定估計式 $\hat{\theta}$ 並計算最適樣本大小 $n$

1. 配對估計式：配合所選定的抽樣設計，採用具優良統計性質（如不偏性、最小變異性）的估計式。例如在不等機率抽樣下使用 Horvitz-Thompson 估計式：

核心觀念

1. 集群抽樣（Cluster Sampling）的本質： 將母體中所有基本單位依某種自然或人為界線分割成若干個互斥且完備的子集合，每一個子集合稱為一個「集群（Cluster）」。抽樣時以「集群」為初級抽樣單元（Primary Sampling Unit, PSU），隨機抽取部分集群後，對受抽集群內的所有基本單位進行全面調查（全查，Census）。
2. 劃分集群之核心準則： 與分層抽樣（Stratified Sampling）要求「層內同質、層間異質」相反，集群抽樣要求​「群內異質（Heterogeneity within clusters）、群間同質（Homogeneity between clusters）」。理想狀態下，每個集群都是整個母體的「縮影（Microcosm）」。
3. 集群抽樣之效率與群內相關係數（$\rho$）： 設集群大小相等為 $M_0$，集群抽樣相對於簡單隨機抽樣（SRSWOR）之設計效果（Design Effect）近似為： $Deff \approx 1 + (M_0 - 1)\rho$ 其中 $\rho$ 為群內相關係數（Intraclass correlation coefficient）。若群內元素越同質（$\rho > 0$ 且接近 1），集群抽樣的變異數越大、抽樣效率越差；反之，若群內元素越異質（$\rho \le 0$），抽樣效率越高。
4. 母體平均數之估計架構： 母體包含 $N$ 個集群，第 $i$ 個集群包含 $M_i$ 個元素，母體總元素數為 $M = \sum_{i=1}^N M_i$。抽樣方式可採簡單隨機抽樣（抽 $n$ 個集群），估計式則須視各集群規模 $M_i$ 是否相等（Equal cluster size vs. Unequal cluster size），分別採取不偏估計式或比率估計式。

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解題方法

（一）分集群（Cluster）的原則及注意事項

1. 分集群的基本原則：

• 群內異質、群間同質： 各集群內部之基本單元應盡可能包含各種不同特性的個體（變異大），而各集群之間的平均水準或結構分布應盡可能相近（變異小）。當每個集群均為母體的縮影時，只需抽取少數集群即可代表整體母體，從而降低抽樣誤差。
• 群內相關係數極小化： 劃分集群時應盡量降低群內個體的相關性（使 $\rho$ 接近 0 或為負值），避免同質性高的個體集中在同一集群內。

2. 分集群的注意事項：

• 邊界明確且互斥完備（MECE 原則）： 集群之地理範圍、行政組織或邏輯邊界必須清晰明確，母體中每一個基本單位必須恰好屬於一個集群，不可重複（互斥性），亦不可遺漏（完備性）。
• 集群規模（Cluster Size）的控制：
• 集群若劃分過大（$M_i$ 過大），群內異質性雖提高，但一旦抽中某群，調查成本劇增，且抽取的集群數 $n$ 勢必減少，反而可能增加群間變異的估計風險。
• 集群若劃分過小（$M_i$ 過小），則失去了節省調查旅費與底冊編列成本的實務優勢，極限情況退化為簡單隨機抽樣。因此應在「成本節省」與「估計精確度」之間權衡最適大小。
• 調查成本與執行便利性： 集群劃分通常依循現成的行政劃分（如：村里、鄰、學校、班級）或地理鄰近性，以利於大幅降低訪球員的交通成本、縮短調查時間，並降低建立全母體抽樣底冊的難度。
• 集群大小變異程度的評估： 若自然形成的各集群規模 $M_i$ 差異懸殊，後續利用簡單隨機抽樣抽取集群時，估計式之變異數通常會顯著膨脹。此時宜在分群時適度合併小群、分割大群，使各群規模盡量均等，或預計後續採「機率與大小成比例抽樣（PPS）」。

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（二）選取樣本與估計母體平均數 $\mu$ 之程序與估計式推導

設母體共分為 $N$ 個集群，第 $i$ 個集群之元素個數為 $M_i$（$i = 1, 2, \dots, N$），母體總元素數為 $M = \sum_{i=1}^N M_i$。 設 $y_{ij}$ 為第 $i$ 個集群中第 $j$ 個元素的觀測值，則：

• 第 $i$ 個集群之總和：$y_i = \sum_{j=1}^{M_i} y_{ij}$
• 第 $i$ 個集群之平均數：$\bar{y}_i = \frac{y_i}{M_i}$
• 母體總和：$\tau = \sum_{i=1}^N y_i = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^{M_i} y_{ij}$
• 母體平均數：$\mu = \frac{\tau}{M} = \frac{1}{M}\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^{M_i} y_{ij}$

1. 樣本選取步驟（單階集群抽樣，Single-Stage Cluster Sampling）

1. 編制集群抽樣底冊：將母體之 $N$ 個集群建立清冊，並編號為 $1, 2, \dots, N$。
2. 抽取集群樣本：以簡單隨機不放回抽樣（SRSWOR）自 $N$ 個集群中隨機抽取 $n$ 個集群。
3. 群內全面調查（全查）：對抽中的 $n$ 個集群內之所有 $M_i$ 個元素進行普查，獲得觀測值 $y_{ij}$（$i=1, \dots, n$；$j=1, \dots, M_i$）。

2. 母體平均數 $\mu$ 之估計

依集群規模 $M_i$ 是否相等，分為下列兩種情形：

【情況一】各集群大小均相等（$M_i = M_0$，故母體總數 $M = N M_0$）

• 母體平均數估計量： 採樣樣本各集群平均數之平均值，為不偏估計量： $\hat{\mu} = \frac{1}{n M_0}\sum_{i=1}^n y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \bar{y}_i = \bar{\bar{y}}$
• 性質與變異數： 因係對 $N$ 個集群均數以 SRSWOR 抽取 $n$ 個，故： $E(\hat{\mu}) = \mu$ $V(\hat{\mu}) = \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{S_b^2}{n}$ 其中 $S_b^2$ 為集群間變異數： $S_b^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (\bar{y}_i - \mu)^2$
• 變異數的不偏估計量：

核心觀念

本題評量抽樣調查理論中兩大基礎抽樣設計——簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling, SRS）​與系統抽樣（Systematic Sampling, SYS）​的作業程序、估計量建構、機率結構及估計效率比較。

1. 抽樣設計定義與機率結構：

• 簡單隨機不重複抽樣（SRSWOR）：母體中任一大小為 $n$ 的子集合被抽中的機率皆相等。
• 1-in-$k$ 系統抽樣：母體元素依序排列，以固定間隔 $k = N/n$ 週期性取樣，本質上相當於集群抽樣（Cluster Sampling）自 $k$ 個集群中隨機抽取 1 個集群。

2. 樣本被抽出的機率（Sample Selection Probability）：

• 需嚴格區分「個別元素被抽中的包含機率（Inclusion Probability）$\pi_i$」與「特定一組樣本被抽出的機率 $P(\mathcal{S})$」。

3. 估計式變異數比較：

• 透過組內相關係數（Intraclass Correlation Coefficient, $\rho$）​或組內變異（$S_w^2$）​量化系統抽樣估計式變異數與簡單隨機抽樣變異數之關係。

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解題方法

（一）簡單隨機抽樣法之抽樣程序與母體平均數估計式

1. 抽樣步驟（以實務最常用之簡單隨機不重複抽樣 SRSWOR 為例）：

• 母體編號：將母體 $N$ 個元素建立抽樣底冊，並依序編號為 $1, 2, \dots, N$。
• 隨機抽取：利用隨機號碼表、亂數產生器或抽籤法，在 $1$ 至 $N$ 之間隨機且不重複地抽取 $n$ 個整數。
• 形成樣本：以抽出的 $n$ 個編號所對應的母體元素，構成大小為 $n$ 的樣本，記為 $\{y_1, y_2, \dots, y_n\}$。

2. 母體平均數 $\mu$ 的估計式： 母體平均數 $\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i$ 的不偏估計式為樣本平均數 $\bar{y}$： $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$

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（二）系統抽樣法之抽樣程序與母體平均數估計式

1. 抽樣步驟（假設 $N = nk$，$k$ 為整數）：

• 計算抽樣間隔：求出抽樣間隔（Sampling Interval）$k = \frac{N}{n}$。
• 母體編號：將母體 $N$ 個元素依序編號為 $1, 2, \dots, N$。
• 選取隨機起點：自第 $1$ 至第 $k$ 個號碼中，利用均等機率 $\frac{1}{k}$ 隨機抽出一個整數 $r$（稱為隨機起點，Random Start），即 $r \in \{1, 2, \dots, k\}$。
• 系統取樣：自隨機起點 $r$ 開始，每隔 $k$ 個單位抽取一個元素，依序取出對應編號之元素： $r, \; r+k, \; r+2k, \; \dots, \; r+(n-1)k$ 共計 $n$ 個元素組成系統樣本。

2. 母體平均數 $\mu$ 的估計式： 若隨機起點為 $r$，以所抽得系統樣本的平均數作為 $\mu$ 的估計式 $\bar{y}_{sy}$： $\bar{y}_{sy} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n y_{r+(j-1)k}$

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（三）每組樣本被抽出的機率與估計式變異數比較

1. 每組樣本被抽出的機率：

• 簡單隨機抽樣（SRSWOR）： 自母體 $N$ 個元素中抽取大小為 $n$ 的樣本，所有可能出現的樣本組合數為 $\binom{N}{n}$ 種。由 SRS 定義，每一組特定樣本 $\mathcal{S}$ 被抽出的機率均等： $P(\mathcal{S}_{SRS}) = \frac{1}{\binom{N}{n}}$
• 系統抽樣（1-in-$k$ Systematic Sampling）： 整個母體被劃分成 $k = \frac{N}{n}$ 組互斥且周延的系統樣本，樣本完全由隨機起點 $r \in \{1, 2, \dots, k\}$ 決定。因此可能抽出的樣本組合僅有 $k$ 種，每組樣本被抽出的機率為： $P(\mathcal{S}_{sys}) = \frac{1}{k} = \frac{n}{N}$ 其餘不符合等距關係的樣本組合，被抽出的機率皆為 $0$。

2. 估計式變異數大小之比較：

• 簡單隨機抽樣之變異數： $Var(\bar{y}) = \left(\frac{N-n}{N}\right)\frac{S^2}{n}$ 其中 $S^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (y_i - \mu)^2$ 為母體變異數。
• 系統抽樣之變異數： 將系統抽樣視為單階集群抽樣（群大小為 $n$，共 $k$ 群，隨機抽取 1 群），其變異數可透過「組內相關係數 $\rho$」表述： $Var(\bar{y}_{sy}) = \frac{N-1}{N}\frac{S^2}{n}\Big[1 + (n-1)\rho\Big]$

核心觀念

本題考查分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）​之基礎理論與統計推論，涵蓋兩大核心主題：

1. 分層估計量與誤差界限：

• 母體平均數之分層估計量：$\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^L W_h \bar{y}_h$，其變異數估計式為 $v(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^L W_h^2 \left(1 - f_h\right) \frac{s_h^2}{n_h}$。
• 母體比例之分層估計量：$\hat{p}_{st} = \sum_{h=1}^L W_h \hat{p}_h$，其變異數估計式為 $v(\hat{p}_{st}) = \sum_{h=1}^L W_h^2 \left(1 - f_h\right) \frac{\hat{p}_h(1 - \hat{p}_h)}{n_h - 1}$（或大樣本下分母取 $n_h$）。
• 有限母體校正因子（FPC）：題目明示「員工人數眾多」，即母體總數 $N \to \infty$，抽樣比 $f_h = \frac{n_h}{N_h} \approx 0$，因此有限母體校正因子可忽略（取 $1 - f_h \approx 1$）。
• 誤差界限（Bound on the Error of Estimation, $B$）：在 $95\%$ 信賴水準下，$B = z_{0.025} \times SE \approx 1.96 \times SE$；在抽樣調查實務與經典教科書（如 Scheaffer 等）中，常定義 $B = 2\sqrt{v(\hat{\theta})}$，解題時宜一併列出。

2. 獨立兩樣本之比較推論：

• 探討兩獨立層（群）之母體平均數差 $(\mu_i - \mu_j)$ 或母體比例差 $(p_i - p_j)$ 是否有顯著差異，可建立 $95\%$ 信賴區間，或進行雙尾／單尾假設檢定。若信賴區間涵蓋 $0$（或檢定未達臨界水準），則不能宣稱存在顯著大於之事實。

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解題方法

令層別代號如下：

• 第 1 群（業務人員）：權數 $W_1 = 0.50$，$n_1 = 1350$，$\bar{y}_1 = 6.13$，$s_1 = 0.16$，$x_1 = 135$
• 第 2 群（業務主任）：權數 $W_2 = 0.40$，$n_2 = 1085$，$\bar{y}_2 = 5.05$，$s_2 = 0.21$，$x_2 = 76$
• 第 3 群（業務經理）：權數 $W_3 = 0.10$，$n_3 = 175$，$\bar{y}_3 = 6.18$，$s_3 = 0.38$，$x_3 = 14$

（一）估計每年平均病假天數及 $95\%$ 誤差界限

1. 平均病假天數估計值： $\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^3 W_h \bar{y}_h = 0.50(6.13) + 0.40(5.05) + 0.10(6.18)$ $\bar{y}_{st} = 3.065 + 2.020 + 0.618 = 5.703 \text{（天）}$

2. 估計量之變異數與標準誤： 因母體人數眾多，忽略有限母體校正因子（$1 - f_h \approx 1$）： $v(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^3 W_h^2 \frac{s_h^2}{n_h} = (0.50)^2 \frac{(0.16)^2}{1350} + (0.40)^2 \frac{(0.21)^2}{1085} + (0.10)^2 \frac{(0.38)^2}{175}$ $v(\bar{y}_{st}) = 0.25 \times \frac{0.0256}{1350} + 0.16 \times \frac{0.0441}{1085} + 0.01 \times \frac{0.1444}{175}$ $v(\bar{y}_{st}) \approx 4.7407 \times 10^{-6} + 6.5032 \times 10^{-6} + 8.2514 \times 10^{-6} = 1.9495 \times 10^{-5}$ $SE(\bar{y}_{st}) = \sqrt{v(\bar{y}_{st})} = \sqrt{1.9495 \times 10^{-5}} \approx 0.004415 \text{（天）}$

3. $95\%$ 誤差界限（$B$）：

• 採標準常態臨界值 $z_{0.025} = 1.96$： $B = 1.96 \times SE(\bar{y}_{st}) = 1.96 \times 0.004415 \approx 0.00865 \text{（天）}$
• 若採抽樣調查習慣定義 $B = 2 \times SE(\bar{y}_{st})$： $B = 2 \times 0.004415 \approx 0.00883 \text{（天）}$

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（二）檢驗業務經理每年平均病假天數是否顯著大於其他兩群員工

需分別將「業務經理（第 3 群）」與「業務人員（第 1 群）」及「業務主任（第 2 群）」進行比較：

1. 業務經理 vs 業務主任（$\mu_3 - \mu_2$）：

• 樣本平均數差：$\bar{y}_3 - \bar{y}_2 = 6.18 - 5.05 = 1.13$
• 差額之標準誤： $SE(\bar{y}_3 - \bar{y}_2) = \sqrt{\frac{s_3^2}{n_3} + \frac{s_2^2}{n_2}} = \sqrt{\frac{(0.38)^2}{175} + \frac{(0.21)^2}{1085}} = \sqrt{0.0008251 + 0.0000407} \approx 0.02942$
• $95\%$ 信賴區間： $(\bar{y}_3 - \bar{y}_2) \pm 1.96 \times SE = 1.13 \pm 1.96(0.02942) = 1.13 \pm 0.0577 = [1.0723, 1.1877]$
• 檢定統計量 $Z = \frac{1.13 - 0}{0.02942} \approx 38.41 > 1.96$（$p < 0.0001$）。
• 結論：業務經理每年平均病假天數顯著大於業務主任。

2. 業務經理 vs 業務人員（$\mu_3 - \mu_1$）：

• 樣本平均數差：$\bar{y}_3 - \bar{y}_1 = 6.18 - 6.13 = 0.05$
• 差額之標準誤： $SE(\bar{y}_3 - \bar{y}_1) = \sqrt{\frac{s_3^2}{n_3} + \frac{s_1^2}{n_1}} = \sqrt{\frac{(0.38)^2}{175} + \frac{(0.16)^2}{1350}} = \sqrt{0.0008251 + 0.0000190} \approx 0.02905$
• $95\%$ 信賴區間： $(\bar{y}_3 - \bar{y}_1) \pm 1.96 \times SE = 0.05 \pm 1.96(0.02905) = 0.05 \pm 0.0569 = [-0.0069, 0.1069]$
• 檢定統計量 $Z = \frac{0.05 - 0}{0.02905} \approx 1.721$。
• 在 $95\%$ 信賴水準下，雙尾檢定之臨界值為 $1.96$；由 $95\%$ 信賴區間包含 $0$（下界為負數）可知，兩者差異未達統計顯著水準（若進行單尾檢定，考慮兩次多重比較之 Bonferroni 調整 $\alpha^* = 0.05/2 = 0.025$，臨界值同為 $1.96$，$Z = 1.721 < 1.96$ 亦不拒絕 $H_0$）。
• 結論：業務經理每年平均病假天數並未顯著大於業務人員。

3. 整體判定： 業務經理雖顯著大於業務主任，但並未顯著大於業務人員，因此在 $95\%$ 信賴水準下，不能認定業務經理顯著大於其他兩群員工。

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（三）估計每年病假天數超過 1 星期的比例及 $95\%$ 誤差界限

1. 各群樣本比例：

• $\hat{p}_1 = \frac{135}{1350} = 0.1000$
• $\hat{p}_2 = \frac{76}{1085} \approx 0.07005$
• $\hat{p}_3 = \frac{14}{175} = 0.0800$

2. 全體母體比例之分層估計值： $\hat{p}_{st} = \sum_{h=1}^3 W_h \hat{p}_h = 0.50(0.10) + 0.40\left(\frac{76}{1085}\right) + 0.10(0.08)$ $\hat{p}_{st} = 0.0500 + 0.02802 + 0.0080 = 0.08602 \approx 8.60\%$

3. 估計量之變異數與標準誤： 大樣本下（$N \to \infty$）： $v(\hat{p}_{st}) = \sum_{h=1}^3 W_h^2 \frac{\hat{p}_h (1 - \hat{p}_h)}{n_h - 1}$