110 年公務人員升官等薦任統計考古題與詳解

Question 1

若 $E(X+5)=10$ 且 $E[(X+5)^2]=125$： （一）求 $\mux$？（10 分） （二）求 $\sigmax^2$？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考察期望值的線性性質，以及變異數的定義： $$ E(X)=\mux,\qquad \operatorname{Var}(X)=\sigmax^2=E(X^2)-[E(X)]^2 $$ 將 $X+5$ 視為平移後的隨機變數，可先由其期望值求出 $E(X)$；再利用二階動差 $E[(X+5)^2]$ 求出 $E(X^2)$，最後代入變異數公式。 解題方法 （一）由期望值的線性性質， $$ E(X+5)=E(X)+5 $$ 已知 $E(X+5)=10$，因此 $$ E(X)+5=10 \quad\Longrightarrow\quad \mux=E(X)=5 $$ （二）先展開平方： $$ (X+5)^2=X^2+10X+25 $$ 兩邊取期望值：

Question 2

若 $$ f(y\mid x)=\frac{2y+4x}{1+4x} $$ 且 $$ f(x)=\frac{1}{3}(1+4x) $$ 其中 $0<x<1$ 且 $0<y<1$。求 $Y$ 的邊際機率。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查聯合機率密度函數的邊際化。由條件機率密度與 $X$ 的邊際密度，可先求聯合密度： $$ f{X,Y}(x,y)=f(y\mid x)fX(x). $$ 再對 $x$ 積分，得到 $Y$ 的邊際機率密度： $$ fY(y)=\int0^1 f{X,Y}(x,y)\,dx,\qquad 0<y<1. $$ 解題方法 將題目所給密度相乘： $$ \begin{aligned} f{X,Y}(x,y) &=\frac{2y+4x}{1+4x}\cdot\frac{1}{3}(1+4x)\ &=\frac{2y+4x}{3},\qquad 0<x<1,\ 0<y<1. \end{aligned} $$ 接著對 $x$ 積分，並將 $y$ 視為常數：

Question 3

研究員想要了解抽不抽菸是否與壽命的長短有關，因此隨機抽查 400 位非意外死亡的民眾，結果如下：

壽命	50 以下	50–60	60–70	70–80	80 以上
抽菸	38	47	43	32	34
不抽菸	30	55	51	37	33

試在 $\alpha=0.05$ 下，以卡方檢定，檢定抽不抽菸是否與壽命的長短有關？

註： $\chi^2_{0.05}(4)=9.49$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題考驗列聯表的卡方獨立性檢定，判斷「是否抽菸」與「壽命分組」是否有關。虛無假設為兩者相互獨立；對立假設為兩者不獨立，也就是有關聯。 各格的期望次數為： $$ E{ij}=\frac{	ext{第 }i	ext{ 列合計}	imes	ext{第 }j	ext{ 欄合計}}{	ext{總人數}}, $$ 檢定統計量為： $$ \chi^2=\sumi\sumj\frac{(O{ij}-E{ij})^2}{E{ij}}, $$ 自由度為 $(r-1)(c-1)$，其中 $r$ 是列數、$c$ 是欄數。 解題方法 設： - $H0$：抽菸與壽命長短相互獨立。 - $H1$：抽菸與壽命長短不獨立，兩者有關。 由題目表格可得抽菸列合計為 $194$，不抽菸列合計為 $206$；五個壽命組別的欄合計依序為 $68、102、94、69、67$，總人數為 $400$。 計算各格期望次數如下： | 壽命 | 50 以下 | 50–60 | 60–70 | 70–80 | 80 以上 | |---|---:|---:|---:|---:|---:|

Question 4

由 $A$、$B$、$C$ 三條生產相同食品的生產線中，各抽取 4 件產品，得其平均數分別為 $348$、$353$、$356$ 公克，標準差分別為 $$ \sqrt{\frac{47}{3}},\quad \sqrt{\frac{57}{3}},\quad \sqrt{\frac{61}{3}} $$ 公克。試求共同變異數之 $95\%$ 信賴區間。 註：$\chi^2{0.025}(9)=19.0228$，$\chi^2{0.975}(9)=2.7004$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考驗多組樣本合併估計共同母體變異數，以及使用卡方分配建構變異數的信賴區間。 假設三條生產線的產品重量來自常態母體，且三條生產線具有相同變異數 $\sigma^2$。合併樣本變異數為 $$ Sp^2=\frac{\sum{i=1}^{k}(ni-1)Si^2}{\sum{i=1}^{k}(ni-1)} $$ 在各組母體常態且變異數相同的前提下， $$ \frac{\left(\sum{i=1}^{k}(ni-1)ight)Sp^2}{\sigma^2} \sim \chi^2{\sum{i=1}^{k}(ni-1)} $$ 因此，共同變異數 $\sigma^2$ 的 $95\%$ 信賴區間為 $$ \left[ \frac{
u Sp^2}{\chi^2{0.025}(
u)}, \frac{
u Sp^2}{\chi^2{0.975}(
u)} ight] $$ 其中 $
u=\sum{i=1}^{k}(ni-1)$。題目提供的卡方分位數採右尾機率記號。 解題方法 三條生產線各抽取 $4$ 件，故每組自由度為 $4-1=3$，合併自由度為 $$ 
u=3(4-1)=9 $$ 題目給的是各組樣本標準差，先平方得到樣本變異數： $$ SA^2=\frac{47}{3},\qquad SB^2=\frac{57}{3},\qquad SC^2=\frac{61}{3} $$ 因各組樣本數相同，合併樣本變異數等於三組樣本變異數的算術平均：

Question 5

若 $$ f(x)= \begin{cases} \frac{2}{	heta^2}(	heta-x), & 0<x<	heta,\ 0, & 	ext{其他}, \end{cases} $$ 其中 $	heta0$。請利用動差法求 $	heta$，即 $\hat{	heta}{\mathrm{MME}}$。

Accepted Answer

核心觀念 動差法（Method of Moments）以樣本動差估計母體動差。估計單一未知參數 $	heta$ 時，令樣本一階動差（樣本平均數）等於母體一階動差（期望值），再解出 $	heta$： $$ \bar X=E(X). $$ 解題方法 先求母體期望值。由機率密度函數的支撐範圍 $0<x<	heta$， $$ \begin{aligned} E(X) &=\int{0}^{	heta}x f(x)\,dx\ &=\int{0}^{	heta}x\frac{2}{	heta^2}(	heta-x)\,dx\ &=\frac{2}{	heta^2}\int{0}^{	heta}(	heta x-x^2)\,dx\ &=\frac{2}{	heta^2} \left[\frac{	heta x^2}{2}-\frac{x^3}{3}ight]{0}^{	heta}\ &=\frac{2}{	heta^2} \left(\frac{	heta^3}{2}-\frac{	heta^3}{3}ight) =\frac{	heta}{3}. \end{aligned} $$

110 公務人員升官等薦任統計統計學考古題詳解

第一題20 分

核心觀念

解題方法

第二題20 分

第三題20 分

第四題20 分

第五題20 分

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