108 公務人員升官等薦任 測量製圖 航空測量與遙感測量學 考古題詳解

108 年・公務人員升官等・薦任・測量製圖
試題代碼 航空測量與遙感測量學

第 一 題25 分

像幅式相機（Frame Camera）與雷達（RADAR）之影像均受到地表高程變化之影響，產生不同於正射投影的幾何差異，稱為高差位移（Relief Displacement）。請分別繪圖並配合文字說明像幅式相機與雷達之影像的高差位移。

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核心觀念

高差位移是地面點高於或低於基準面時，中心投影或側視成像幾何使其影像位置偏離正射投影位置的現象。兩種感測器的位移方向不同：

  • 像幅式相機：中心透視投影；高點的影像相對基準面位置，沿以主點為中心的徑向向外移。
  • 側視雷達：依斜距成像；高點至雷達的斜距較短，因此影像位置向近距離方向移，也就是朝雷達正下方一側偏移。

解題方法與圖示

一、像幅式相機

地面剖面（高點 A、基準面點 B 位於同一鉛直線）

 A ● 高點
 │ h
 │
基準面 ──────────────────B ●────────
 \
 \ 視線
 \
 ● O 相機投影中心

像片平面上的徑向位置（示意）

 b ●────────────● a
 │ d │
 └────── o ─────┘
 基準面像點 b 高點像點 a
 （近主點） （向外移）

在垂直像片、地形點高於基準面的理想情形，高點 AA 與其基準面位置 BB 的像點都落在主點 oo 的同一條徑向上。高點較接近相機，成像比例較大，因此像點 aa 比基準面像點 bb 更遠離主點；位移方向是由主點向外。

令 HH 為相機至基準面的飛行高度，hh 為地面點高出基準面的高度，rar_a 為高點像點至主點的距離，則高差位移量為

d=ab=rahHd=ab=\frac{r_a h}{H}

若以基準面像點的徑向距離 rbr_b 表示，則

ra=fRH−h,rb=fRHr_a=\frac{fR}{H-h},\qquad r_b=\frac{fR}{H}

其中 ff 為焦距，RR 為地面點相對像片主軸的水平距離。因此

d=ra−rb=rbhH−hd=r_a-r_b=\frac{r_b h}{H-h}

高點愈高、離主點愈遠，像片上的高差位移愈大；低於基準面的地物則呈相反方向，向主點偏移。

二、側視雷達

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第 二 題25 分

「正射影像」（Ortho Image）是將幾何特性為中心投影的影像，經由校正，成為接近地圖的產品。請以文字配合圖形，說明正射化的原理與過程。

此外，「真實正射影像」（True Ortho Image）是另一項產品，與「正射影像」產品有哪些差異？「真實正射影像」的製作過程有哪一些挑戰與困難點？

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核心觀念

正射影像把航空照片的中心投影幾何改正為具有地圖座標與固定比例尺的影像。中心投影會使高於地面的物體產生高差位移：物體頂部在影像上相對於地面位置，會沿著由像主點向外的方向偏移。正射化利用地形或地表高程資料計算每個地面位置在原始影像中的對應位置，再重新取樣，消除地形起伏造成的幾何位移。

 相機
 ●
 /|\
 / | \
 / | \
 / | \
 建物頂部 B ●───/────|────\──── 影像投影
 \ | \
 \ | \
地面基準面 ──────────●──────┼───────●────────
 B 的地面位置 垂直投影方向
 ↑
 高差 h

影像上：建物頂部的投影相對於地面位置，沿像主點向外偏移

圖中的高差位移方向，是由像片中心向外；在地面上則表現為高物體的影像位置偏離其底部位置。若飛行高度為 HH，物體高出基準面的高度為 hh，像片上物體位置的徑向距離為 rr，常用近似式表示為：

d≈rhHd \approx \frac{r h}{H}

其中 dd 為高差位移量。精確幾何關係須依 rr 所指的是物體頂部或地面點的影像徑向距離而定；考試作答以說明位移隨 rr 與 hh 增大而增大、隨飛行高度增大而減小為要點。

正射化原理與過程

正射化的核心是反向投影與重取樣：先在地圖座標系統建立規則的輸出像元網格，再逐一求出輸出像元對應的地面位置與高程，利用相機幾何關係反算其在原始影像中的像點座標，最後內插取得像元亮度或色彩。

主要流程如下：

  1. 影像定向：取得相機內方位資料及影像外方位元素，建立影像與地面座標間的投影幾何關係。
  2. 準備高程資料：使用數值地形模型（DTM／DEM）描述地面高程。地形起伏越大，越需要可靠的高程資料。
  3. 建立輸出網格：設定正射影像的地圖座標系統、範圍及地面像元大小。
  4. 反算原始影像位置：對每一個輸出像元，以其地面座標及高程，透過共線條件方程式等投影模型，計算原始影像中的對應像點。
  5. 影像重取樣：原始影像通常沒有剛好落在反算位置的像元，故採最近鄰、雙線性或三次卷積等方法內插灰度值。
  6. 接邊與鑲嵌：多張影像須處理接縫、亮度色調差異與重疊區，形成連續的正射影像產品。

若將原始照片上的位置直接當成地圖位置，中心投影與地形高差造成的位移便仍會存在；正射化是逐像元依地面座標與高程重新定位。

正射影像與真實正射影像的差異

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第 三 題25 分

「同步定位與地圖構建」（Simultaneous Localization and Mapping, SLAM）技術，當下廣泛地應用於自駕車與無人飛行系統，可以同時達到定位和地圖構建的目的。請說明此一技術，包含其核心問題、內涵、解決方案。

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【核心觀念】

同步定位與地圖構建（SLAM）是載具在未知或不完整的環境中移動時，利用感測器觀測資料，同時估計自身位置姿態與環境地圖的技術。自駕車可使用相機、光達、輪速計與慣性量測單元（IMU）；無人飛行載具則常融合相機、光達與 IMU，在衛星定位訊號不佳時持續定位與建圖。

SLAM 的核心困難是定位與建圖彼此依賴：定位需要地圖，建圖又需要載具位置。位置估錯，地物就會被放在錯誤位置；地圖錯誤又會使後續定位偏移。因此須將載具軌跡與地圖放在同一估計問題中聯合求解。

令 xtx_t 表示載具在時刻 tt 的位置與姿態，mm 表示地圖，z1:tz_{1:t} 表示感測器觀測，u1:tu_{1:t} 表示運動或慣性感測資料，則 SLAM 的目標可寫為：

(x^1:t,m^)=arg⁡max⁡x1:t,mP(x1:t,m∣z1:t,u1:t)(\hat{x}_{1:t},\hat{m}) =\arg\max_{x_{1:t},m} P(x_{1:t},m\mid z_{1:t},u_{1:t})

也就是尋找最符合載具運動模型與感測器觀測的軌跡及地圖。觀測可包含影像特徵點、光達點雲中的幾何特徵，或不同時刻掃描之間的相對位姿。

【內涵與核心問題】

  1. 運動估計與感測器誤差：IMU、輪速計等可推估載具移動，但感測器的雜訊與偏差會使誤差隨時間累積，形成漂移。
  2. 資料關聯：須判斷不同時刻觀測到的特徵是否為同一個地物。錯誤配對會使軌跡與地圖偏差。
  3. 閉環偵測：載具回到曾經到過的地方時，系統須辨認該處並加入閉環約束，以校正累積漂移。漏掉閉環會使地圖逐漸扭曲；誤判閉環則會錯誤連結不相干的位置。
  4. 尺度與座標基準：單目相機 SLAM 在沒有額外尺度資訊時，通常無法單靠影像決定絕對尺度。若沒有 GNSS 或控制點等外部基準，地圖通常只有相對座標，且整體平移與旋轉的基準不確定。

【解題方法與解決方案】

典型 SLAM 流程分為前端估測與後端最佳化：

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第 四 題25 分

直方圖均衡化（Histogram Equalization）是影像增顯時的一種基本方法。請繪圖並配合文字說明此一影像處理方法、演算流程，並探討其優缺點。

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核心觀念

直方圖均衡化是利用影像的灰階直方圖，將原本集中在狹窄灰階範圍的像元重新映射至較廣的灰階範圍，以提升整體對比。此法屬於全域影像增顯：轉換時統計整幅影像的灰階分布，不考慮像元的空間位置。

設影像有 LL 個灰階，灰階值 rkr_k 的像元數為 nkn_k，總像元數為 NN，則其機率為

p(rk)=nkNp(r_k)=\frac{n_k}{N}

累積分布函數為

C(rk)=∑j=0kp(rj)C(r_k)=\sum_{j=0}^{k}p(r_j)

灰階轉換函數為

sk=round⁡[(L−1)C(rk)]s_k=\operatorname{round}\left[(L-1)C(r_k)\right]

其中 sks_k 是灰階值 rkr_k 經轉換後的新灰階值。實作時也可採用四捨五入以外的整數化方式，例如取下整；不同方式會造成些微差異。連續情況下，轉換函數可寫為

s=T(r)=(L−1)∫0rpr(w) dws=T(r)=(L-1)\int_{0}^{r}p_r(w)\,dw

當原始灰階分布集中時，累積分布函數可將該範圍映射至較寬的輸出灰階區間，增強影像的整體對比。

解題方法與演算流程

依序說明「統計灰階分布、計算累積分布、建立映射、逐像元轉換」，再以圖示說明直方圖與灰階轉換的變化。

輸入影像
 │
 ▼
統計各灰階像元數 n_k
 │
 ▼
計算機率 p(r_k) = n_k / N
 │
 ▼
計算累積分布 C(r_k)
 │
 ▼
建立映射 s_k = round[(L−1)C(r_k)]
 │
 ▼
將每個像元的 r_k 換成 s_k
 │
 ▼
輸出均衡化影像

概念圖如下：

原始影像直方圖 累積分布轉換 均衡化影像直方圖
像元數 新灰階 s 像元數
 │ ████ │ ／ │ ██ ██ ██
 │ ██████ │ ／ │ ███ ███ ████
 │ ████████ │ ／ │ ████ ███ ████
 └──────────── 灰階 r └──────── 灰階 r └────────── 灰階 s
 集中於窄範圍 依累積分布映射 分布範圍通常擴大

實際演算步驟如下：

  1. **統計直方圖：**逐一計算各灰階值的像元數 nkn_k。
  2. **正規化：**以總像元數 NN 除各灰階像元數，得到 p(rk)p(r_k)。
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測量製圖《航空測量與遙感測量學》其他年度

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