110 年公務人員升官等薦任電信工程考古題與詳解

Question 1

（一）已知球座標單位向量 $$ \hat{a}R=\hat{a}x\sin	heta\cos\phi+\hat{a}y\sin	heta\sin\phi+\hat{a}z\cos	heta $$ 請證明位置向量 $$ \vec{R}=R\hat{a}R=x\hat{a}x+y\hat{a}y+z\hat{a}z $$ （二）證明向量恆等式 $$ 
abla\cdot(
abla	imes\vec{A})=0 $$

Accepted Answer

核心觀念 球座標中的 $R$ 是位置向量的長度，$\hat{a}R$ 是由原點指向該位置的徑向單位向量。因此，位置向量為 $\vec{R}=R\hat{a}R$。球座標與直角座標的關係為 $$ x=R\sin	heta\cos\phi,\qquad y=R\sin	heta\sin\phi,\qquad z=R\cos	heta. $$ 解題方法 將題目所給的徑向單位向量乘上 $R$，再逐項對照直角座標分量： $$ \begin{aligned} \vec{R} &=R\hat{a}R\ &=R\left( \hat{a}x\sin	heta\cos\phi +\hat{a}y\sin	heta\sin\phi +\hat{a}z\cos	heta ight)\ &=(R\sin	heta\cos\phi)\hat{a}x +(R\sin	heta\sin\phi)\hat{a}y +(R\cos	heta)\hat{a}z\ &=x\hat{a}x+y\hat{a}y+z\hat{a}z. \end{aligned} $$ 最後一步使用球座標轉換公式 $x=R\sin	heta\cos\phi$、$y=R\sin	heta\sin\phi$、$z=R\cos	heta$，故得證。 解題技巧 記住徑向單位向量的三個直角座標分量，分別是 $x/R$、$y/R$、$z/R$。乘上 $R$ 後，便直接還原成位置向量的直角座標表示。 （二）證明 $
abla\cdot(
abla	imes\vec{A})=0$ 核心觀念 本題考察向量微分算子的恆等式：在向量場具有足夠連續的二階偏導數時，旋度的散度恆為零。證明時可將 $\vec{A}$ 寫成直角座標分量，展開散度與旋度，再利用混合偏導數相等消去各項。 解題方法 令 $$ \vec{A}=Ax\hat{a}x+Ay\hat{a}y+Az\hat{a}z. $$ 其旋度為 $$ 
abla	imes\vec{A} = \left(\frac{\partial Az}{\partial y}-\frac{\partial Ay}{\partial z}ight)\hat{a}x + \left(\frac{\partial Ax}{\partial z}-\frac{\partial Az}{\partial x}ight)\hat{a}y + \left(\frac{\partial Ay}{\partial x}-\frac{\partial Ax}{\partial y}ight)\hat{a}z. $$ 對此結果取散度：

Question 2

（一）畫出電偶極（electric dipole）結構及其電力線分布，並寫出在計算電偶極結構時，假設的前提為何？

（二）畫出磁偶極（magnetic dipole）結構及其磁力線分布，並寫出在計算磁偶極結構時，假設的前提為何？

（三）上述的電力線與磁力線分布最明顯的差異為何？

Accepted Answer

核心觀念

電偶極與磁偶極都是以「源的尺寸遠小於觀察距離」為前提的理想化模型。電偶極由等量異號電荷形成；磁偶極可由載有穩定電流的小電流環形成。兩者最明顯的差異在於：電力線起於正電荷、終於負電荷；磁力線則沒有起點或終點，形成封閉曲線。

（一）電偶極的結構、電力線與假設

電偶極由相距 $d$ 的一對等量異號電荷 $+Q$ 與 $-Q$ 組成，電偶極矩定義為

\mathbf p=Q\mathbf d

其中 $\mathbf d$ 的方向由 $-Q$ 指向 $+Q$ 。電力線方向由正電荷指向負電荷：

 ↗────────→────────↘
 ↗ ↘
 (+Q) ─────────→────────── (−Q)
 ↘ ↗
 ↘────────→────────↗
 電力線方向 →

計算時的前提：

兩電荷大小相等、符號相反，且相距 $d$ 。
觀察距離 $r$ 遠大於電荷間距，即 $d\ll r$ ，可忽略源的尺寸，採用理想點偶極近似。
在靜電偶極模型中，電荷分布固定不隨時間變化。

遠場的電位與電場可寫為

V(r,\theta)=\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon r^2}

\mathbf E(r,\theta) =\frac{p}{4\pi\varepsilon r^3} \left(2\cos\theta\,\hat{\mathbf r} +\sin\theta\,\hat{\boldsymbol\theta}\right)

（二）磁偶極的結構、磁力線與假設

磁偶極可用面積為 $A$ 的小電流環表示，電流為 $I$ ，磁偶極矩為

Question 3

如下圖，有一球狀電子雲分布在 $0\leq R\leq a$ 的區間內，具有體電荷密度

\rho_v=\frac{1}{R}

而在電子雲的外部時（即 $R>a$ 時），其體電荷密度 $\rho_v=0$ 。請求出分別在 $0\leq R\leq a$ 與 $R>a$ 的電場強度及電位分布。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題利用球對稱電荷分布的高斯定律求電場，再由電場與電位的關係求電位。球對稱下，電場沿徑向且在半徑為 $R$ 的球面上大小相同，因此 $$ \ointS \mathbf E\cdot d\mathbf S =E(R)\,4\pi R^2 =\frac{Q{	ext{enc}}}{\varepsilon0}. $$ 電位以無限遠為零，並滿足 $$ V(R)=\intR^\infty \mathbf E\cdot d\boldsymbol{\ell}. $$ 題目給定 $hov=1/R$，故電場方向為徑向向外。 解題方法 先對半徑 $R$ 的高斯球積分，求出其包圍電荷： $$ Q{	ext{enc}}(R) =\int0^R hov(R')\,4\pi R'^2\,dR' =\int0^R \frac{1}{R'}\,4\pi R'^2\,dR' =2\pi R^2, \qquad 0<R\le a. $$ 由高斯定律，球內電場為 $$ \mathbf E(R) =\frac{Q{	ext{enc}}(R)}{4\pi\varepsilon0R^2}\,\hat{\mathbf a}R =\frac{1}{2\varepsilon0}\,\hat{\mathbf a}R, \qquad 0<R\le a. $$ 球外的總電荷為 $$ Q{	ext{tot}}=Q{	ext{enc}}(a)=2\pi a^2. $$ 因此球外電場為 $$ \mathbf E(R) =\frac{Q{	ext{tot}}}{4\pi\varepsilon0R^2}\,\hat{\mathbf a}R =\frac{a^2}{2\varepsilon0R^2}\,\hat{\mathbf a}R, \qquad Ra. $$ 取 $V(\infty)=0$，球外電位為

Question 4

如下圖（a），開關 $S$ 在 $t=0$ 導通電路。而在傳輸線 $z=0$ 與 $z=l$ 的前 $5\ \mu\mathrm{s}$ 線上電壓變化分別如圖（b）與圖（c）。試求 $V_0$ 、 $R_g$ 、 $R_L$ 與週期 $T$ 。

已知傳輸線特性阻抗 $Z_0=100\ \Omega$ ，且

T=\frac{l}{v_p}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考傳輸線的行進波、負載反射係數與源端反射係數。開關於 $t=0$ 導通後，源端先發出電壓波 $V^+$；波到達負載後產生反射，再回到源端。單程傳播時間為 $$ T=\frac{l}{vp}. $$ 反射係數與端點電阻的關係為 $$ \Gamma=\frac{R-Z0}{R+Z0}, \qquad R=Z0\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}. $$ 解題方法 由圖（b），$z=0$ 處的電壓在 $t=0$ 跳至 $100\ \mathrm{V}$，這就是源端最初送入線路的電壓波： $$ V^+=100\ \mathrm{V}. $$ 圖（c）顯示負載端在 $t=2\ \mu\mathrm{s}$ 才有電壓變化，因此單程傳播時間為 $$ T=2\ \mu\mathrm{s}. $$ 負載端電壓由 $0$ 上升至 $75\ \mathrm{V}$。到達負載的入射波為 $100\ \mathrm{V}$，反射後負載端電壓變化為入射波與反射波之和： $$ 75=(1+\GammaL)100. $$ 因此 $$ \GammaL=-0.25, \qquad RL=100\frac{1-0.25}{1+0.25}=60\ \Omega. $$ 負載反射波的電壓為 $$ V^-=\GammaL V^+=(-0.25)(100)=-25\ \mathrm{V}. $$

Question 5

有一均勻平面電磁波 $$ \vec{E}(x,t)=a\cos(bt-cx)\hat{a}z $$ 在 $\mu=\mu0$ 傳播。試求其頻率、波速、相對介電係數（$\varepsilonr$）及 $\vec{H}(x,t)$。

Accepted Answer

核心觀念

這題考查均勻平面波的相位常數、角頻率、相速度，以及無耗介質中的波阻抗與電、磁場關係。

將電場寫成標準形式

\vec E(x,t)=E_0\cos(\omega t-\beta x)\hat a_z

即可讀出角頻率 $\omega$ 與相位常數 $\beta$ 。題目給定的 $b$ 、 $c$ 分別對應 $\omega$ 、 $\beta$ 。波的傳播方向由相位判斷，且在無耗介質中 $\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ 。

解題方法

由

\vec E(x,t)=a\cos(bt-cx)\hat a_z

與標準形式比較：

\omega=b,\qquad \beta=c

因此頻率為

f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{b}{2\pi}

相速度（波速）為

v_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac{b}{c}

相位 $bt-cx$ 保持不變時，令 $bt-cx=\text{常數}$ ，可得 $dx/dt=b/c>0$ ，所以波沿 $+x$ 方向傳播。

題目給定 $\mu=\mu_0$ ，且均勻平面波在無耗介質中滿足

v_p=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}

代入 $\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$ 及 $c_0=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ ：

\frac{b}{c} =\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_r}} =\frac{c_0}{\sqrt{\varepsilon_r}}

故

\varepsilon_r=\left(\frac{c_0}{v_p}\right)^2 =\left(\frac{c_0c}{b}\right)^2

110 公務人員升官等薦任電信工程電磁學考古題詳解

第一題20 分

（二）證明 $\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})=0$

第二題20 分

核心觀念

（一）電偶極的結構、電力線與假設

（二）磁偶極的結構、磁力線與假設

第三題20 分

第四題20 分

第五題20 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

110 年電信工程的其他科目

電信工程《電磁學》其他年度

110 年公務人員升官等薦任・其他類科的《電磁學》

110 公務人員升官等薦任 電信工程 電磁學 考古題詳解

第 一 題20 分

（二）證明 ∇⋅(∇×A⃗)=0\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})=0∇⋅(∇×A)=0

第 二 題20 分

核心觀念

（一）電偶極的結構、電力線與假設

（二）磁偶極的結構、磁力線與假設

第 三 題20 分

第 四 題20 分

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

110 年電信工程的其他科目

電信工程《電磁學》其他年度

110 年公務人員升官等薦任・其他類科的《電磁學》

110 公務人員升官等薦任電信工程電磁學考古題詳解

第一題20 分

（二）證明 $\nabla\cdot(\nabla\times\vec{A})=0$

第二題20 分

第三題20 分

第四題20 分

第五題20 分