114 公務人員升官等薦任 電信工程 電磁學 考古題詳解

核心觀念

本題考查球座標與直角座標的轉換，以及電磁學常用物理量的單位。採用球座標慣例：$R$ 為徑向距離，$\theta$ 為自 $+z$ 軸量起的極角，$\phi$ 為 $xy$ 平面內自 $+x$ 軸量起的方位角。

解題方法

由球座標的幾何定義，位置向量的直角座標分量為

球座標單位向量 $\hat a_R$ 沿位置向量的徑向方向。將其在直角座標三軸上的投影寫出，即得

也可由位置向量除以其長度 $R$ 得到此式。

物理單位

核心觀念

本題考查電偶極的幾何模型、電位疊加，以及由電位取負梯度求電場。電偶極由相距很近、電量大小相等且正負相反的兩點電荷組成。令正電荷為 $+Q$、負電荷為 $-Q$，兩電荷間距為 $d$，偶極矩定義為

其中 $\mathbf d$ 的方向由負電荷指向正電荷，故 $\mathbf p$ 也由負電荷指向正電荷。

電偶極結構與參數

設偶極置於 $z$ 軸上，中心在原點，正、負電荷分別位於 $z=+d/2$ 與 $z=-d/2$。觀測點以球座標 $(r,\theta,\phi)$ 表示，$\theta$ 為觀測位置向量與偶極軸的夾角。

 z 軸
 ↑
 +Q ● z = +d/2
 │
 │ d
 │
 −Q ● z = −d/2
 │
 O ─────────→ x 軸
 ／
 ／ r
 P ●
 θ

在點偶極近似中，觀測距離遠大於電荷間距，即 $r\gg d$；偶極矩大小為 $p=Qd$。

解題方法與電位推導

電位是純量，使用疊加原理，將兩點電荷產生的電位直接相加。令觀測點至正、負電荷的距離分別為 $R_+$、$R_-$，則

其中

當 $r\gg d$，保留 $d/r$ 的一階項，利用 $\left(1+x\right)^{-1/2}\approx 1-x/2$，可得

代回電位式，兩項中的 $1/r$ 相消：

因此，點偶極電位亦可寫成向量形式：

電場推導

電場等於電位的負梯度：

球座標下，若 $V$ 不依賴 $\phi$，則

核心觀念

本題使用畢奧－沙伐定律求有限長直導線所產生的磁通量密度。圖中電流沿 $+z$ 方向，觀測點 $P$ 距離導線的垂直距離為 $r$；$\theta_1$、$\theta_2$ 是導線兩端與 $P$ 的連線和導線方向所夾的銳角。

畢奧－沙伐定律為

解題方法

令 $O$ 為導線上與 $P$ 等高的垂足，並設 $OA=a$、$OB=b$。以導線為 $z$ 軸、$OP=r$，則導線微段為 $d\boldsymbol{\ell}=dz\,\mathbf a_z$，由微段指向 $P$ 的向量為

由叉積方向可知，電流沿 $+z$ 時，$P$ 點磁場沿圓柱座標的 $\mathbf a_\phi$ 方向。其大小微量為

沿導線由 $A$（$z=-a$）積分至 $B$（$z=b$）：

核心觀念

史密斯圖以反射係數 $\Gamma$ 表示正規化阻抗 $z=r+jx$：

史密斯圖的單位圓是 $|\Gamma|=1$。阻抗實部固定的軌跡是等電阻圓，電抗固定的軌跡是等電抗圓弧；電抗正值在上半部，負值在下半部。

解題方法

令 $\Gamma=u+jv$，由 $z=(1+\Gamma)/(1-\Gamma)$ 可得：

將指定的 $r$ 或 $x$ 代入，即可得到其在 $\Gamma$ 平面上的圓軌跡與刻度位置。

（一）$r=1$ 與 $x=-1$ 的軌跡

令 $r=1$：

因此，$r=1$ 是圓心 $(1,0)$、半徑 $1$ 的圓，也就是通過 $\Gamma=0$、以單位圓右端 $\Gamma=1$ 為圓心的等電阻圓。它與史密斯圖單位圓相切於右端。

令 $x=-1$：

因此，$x=-1$ 是圓心 $(1,-1)$、半徑 $\sqrt{2}$ 的圓；在史密斯圖內取其下半部圓弧。它通過短路點 $\Gamma=-1$ 與匹配點 $\Gamma=0$，並在下半部與單位圓相交於 $\Gamma=-1$。

示意圖（橫軸為 $u=\Re\{\Gamma\}$，縱軸為 $v=\Im\{\Gamma\}$；曲線按方程式繪製）：

 v = Im{Γ}
 ↑
 ┌────────────────────────┐
 │ .───────. │
 │ .´ `. │
 │ . `. │
 │ . r = 1 . │
──────────┼●─────────────────────●─┼────→ u = Re{Γ}
 Γ=-1 Γ=0 Γ=1
 │ `. . │
 │ `. x = -1 .´ │
 │ `──────●────´ │
 └────────────────────────┘

圖上 $r=1$ 圓弧由 $\Gamma=0$ 延伸至 $\Gamma=1$，並與單位圓在 $\Gamma=1$ 相切；$x=-1$ 圓弧由 $\Gamma=-1$ 延伸至 $\Gamma=0$，位於下半部。作圖時，應以 $\Gamma$ 平面的單位圓為底圖，再依上述圓心、半徑畫出曲線並標示 $r=1$、$x=-1$ 及其交點刻度。

（二）$1\ \mathrm{nH}$ 電感的頻率軌跡

核心觀念

本題考查行進波的相位判讀、電磁波極化的定義，以及電磁波在理想金屬平面反射時的極化變化。

對沿 $x$ 軸傳播的波，常見形式為 $V(x,t)=\cos(\omega t-\beta x)$，表示波沿 $+x$ 方向行進；相位速度為 $v_p=\omega/\beta$。極化則由固定空間位置觀察時，電場向量端點隨時間描出的軌跡決定。

（一）波速與行進方向

給定

與標準形式 $V(x,t)=\cos(\omega t-\beta x)$ 比較，可得 $\omega=1$、$\beta=2$。因此相位速度為

此處時間與長度單位依題目所採用的單位制。

判讀方向也可由等相位點確認。令相位 $t-2x$ 為常數，則

當時間 $t$ 增加時，等相位點的位置 $x$ 增加，所以波沿 $+x$ 方向傳播。

（二）電磁波極化的定義

在固定空間位置觀察電磁波，電場向量端點隨時間變化所描繪的軌跡，稱為該波的極化（polarization）。對一般橫向電磁波，電場位於垂直於傳播方向的平面內；其端點軌跡可為直線、圓或橢圓，分別對應線性、圓形或橢圓極化。

極化的方向與旋轉性由兩個互相垂直的電場分量之振幅及相位差共同決定。描述左手或右手極化時，須同時遵循題目或教材採用的觀察方向與手性慣例。

（三）左手橢圓極化波經理想金屬平面反射後的極化

解題方法

取理想金屬平面為 $z=0$，入射波沿 $+z$ 傳播，電場可寫成