114 年公務人員升官等薦任電信工程考古題與詳解

Question 1

某 WiFi 帶通（bandpass）調變訊號為 $$ x{bp}(t)=\operatorname{Re}\left\{e^{-(1-j4.8\pi	imes10^9)t}u(t)ight\}, $$ 通過一個脈衝響應（impulse response）為 $$ h{bp}(t)=\operatorname{Re}\left\{e^{-(2-j4.8\pi	imes10^9)t}u(t)ight\} $$ 的帶通濾波器（bandpass filter）。其中，$u(t)$ 為單位階躍函數（unit step function）。 (一) 請求出此帶通訊號的希爾伯特轉換（Hilbert transform）$\hat{x}{bp}(t)。（8 分） (二) 請求出此帶通訊號的輸出訊號 $y{bp}(t)。（12 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查帶通訊號的希爾伯特轉換，以及帶通訊號通過線性時不變系統後的輸出。利用解析訊號可將帶通訊號視為複數訊號的實部與虛部：

若 $z(t)=x(t)+j\hat{x}(t)$ 為 $x(t)$ 的解析訊號，則

x(t)=\operatorname{Re}\{z(t)\},\qquad \hat{x}(t)=\operatorname{Im}\{z(t)\}.

對正頻率的複指數 $e^{j\omega_0t}$ ，其希爾伯特轉換為 $-je^{j\omega_0t}$ ；因此

\mathcal{H}\{e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)\} =e^{-at}\sin(\omega_0t)u(t),\qquad a>0.

輸出則由摺積 $y_{bp}(t)=x_{bp}(t)*h_{bp}(t)$ 求得。令

\omega_0=4.8\pi\times10^9,\qquad x_{bp}(t)=e^{-t}\cos(\omega_0t)u(t),\qquad h_{bp}(t)=e^{-2t}\cos(\omega_0t)u(t).

解題方法

（一）希爾伯特轉換

將訊號改寫為

x_{bp}(t)=e^{-t}\cos(\omega_0t)u(t).

由希爾伯特轉換對正弦、餘弦的相位關係，得到

\hat{x}_{bp}(t)=e^{-t}\sin(\omega_0t)u(t).

階躍函數保留訊號的因果起始條件，轉換後仍乘上 $u(t)$ 。

（二）輸出訊號

由摺積定義，

y_{bp}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_{bp}(\tau)h_{bp}(t-\tau)\,d\tau.

兩訊號皆為因果訊號，積分範圍限制為 $0\leq \tau\leq t$ ，故 $t<0$ 時輸出為零；對 $t\geq0$ ，

y_{bp}(t) =\int_0^t e^{-\tau}\cos(\omega_0\tau) e^{-2(t-\tau)}\cos\!\bigl(\omega_0(t-\tau)\bigr)\,d\tau.

提出與 $\tau$ 無關的因子：

y_{bp}(t)=e^{-2t}\int_0^t e^\tau \cos(\omega_0\tau)\cos\!\bigl(\omega_0(t-\tau)\bigr)\,d\tau.

使用積化和差公式

\cos A\cos B=\frac{1}{2}\left[\cos(A-B)+\cos(A+B)\right],

其中 $A=\omega_0\tau$ 、 $B=\omega_0(t-\tau)$ ，因此

y_{bp}(t)=\frac{e^{-2t}}{2} \left[ \cos(\omega_0t)\int_0^t e^\tau\,d\tau +\int_0^t e^\tau\cos(2\omega_0\tau-\omega_0t)\,d\tau \right].

Question 2

求出長度為 $7$ 的單一錯誤更正二位元碼（single-error-correcting binary code）所需冗餘（redundancy）之：

(一) 下界碼數（lower bound）。（10 分）

(二) 上界碼數（upper bound）。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 單一錯誤更正碼的最小漢明距離須滿足 $d{\min}\ge 2t+1=3$，其中 $t=1$。冗餘量 $r$ 是碼長 $n$ 減去資訊位元數 $k$，即 $r=n-k$。本題以長度 $n=7$、更正能力 $t=1$，分別用漢明界求冗餘下界，再用 Gilbert 界求冗餘上界。 解題方法 （一）冗餘下界：漢明界 每個合法碼字周圍、漢明距離不超過 $1$ 的向量共有 $$ \sum{i=0}^{1}\binom{7}{i} =\binom{7}{0}+\binom{7}{1} =1+7=8. $$ 單一錯誤更正碼中，各碼字的這些範圍不得重疊，因此若碼字數為 $M$，須滿足 $$ M\cdot 8\le 2^7. $$ 所以 $M\le 16$，資訊位元數至多為 $k=\log2 M\le 4$，冗餘量因此滿足 $$ r=7-k\ge 3. $$ （二）冗餘上界：Gilbert 界 存在最小距離至少 $3$ 的二元碼，其碼字數至少為

Question 3

離散隨機變數（discrete random variable）$X$ 與 $Y$ 具有下表的聯合機率質量函數（jointly probability mass function）： | $p(x,y)$ | $x=0$ | $x=1$ | |---|---:|---:| | $y=0$ | $\frac{11}{32}$ | $\frac{1}{32}$ | | $y=1$ | $\frac{5}{32}$ | $\frac{15}{32}$ | 下面所有小題答案的衡量單位，請以位元（bits）表示。換句話說，請你以 $2$ 為底來執行相關的對數計算。 附註：你可能需要以下數值： $\log2 3\mathrel{\simeq}1.585$、$\log2 5\mathrel{\simeq}2.322$、$\log2 7\mathrel{\simeq}2.807$、$\log2 11\mathrel{\simeq}3.459$。 (一) 請分別計算隨機變數 $X$ 與 $Y$ 各自的熵值（entropy），$H(X)$ 與 $H(Y)$。（6 分） (二) 請分別計算條件隨機變數 $X\mid Y$ 與 $Y\mid X$ 各自的條件熵值（conditional entropy），$H(X\mid Y)$ 與 $H(Y\mid X)$。（6 分） (三) 請計算此聯合隨機變數 $X$ 與 $Y$ 的聯合熵值（joint entropy）$H(X,Y)$，以及 $X$ 與 $Y$ 之間的交互訊息（mutual information）$I(X;Y)$。（8 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查離散隨機變數的熵、條件熵、聯合熵與交互訊息，所有對數均以 $2$ 為底，單位為位元。

離散隨機變數 $Z$ 的熵為

H(Z)=-\sum_z p(z)\log_2 p(z).

兩變數的聯合熵與條件熵為

H(X,Y)=-\sum_x\sum_y p(x,y)\log_2 p(x,y),

H(X\mid Y)=-\sum_y p(y)\sum_x p(x\mid y)\log_2 p(x\mid y).

交互訊息表示知道一個變數後，另一個變數的不確定性減少多少：

I(X;Y)=H(X)-H(X\mid Y)=H(Y)-H(Y\mid X) =H(X)+H(Y)-H(X,Y).

解題方法

先將聯合機率表加總成邊際機率：

p_X(0)=\frac{11+5}{32}=\frac12,\qquad p_X(1)=\frac{1+15}{32}=\frac12,

p_Y(0)=\frac{11+1}{32}=\frac38,\qquad p_Y(1)=\frac{5+15}{32}=\frac58.

各列、各欄機率總和均為 $1$ ，符合機率分布的條件。

(一) 邊際熵 $H(X)$ 與 $H(Y)$

因為 $X$ 的兩個值各以機率 $\frac12$ 出現，

H(X)=-2\left(\frac12\log_2\frac12\right)=1\ \text{bit}.

對 $Y$ ，

\begin{aligned} H(Y) &=-\frac38\log_2\frac38-\frac58\log_2\frac58\\ &=\frac38\log_2\frac83+\frac58\log_2\frac85\\ &=\frac38\left(3-\log_2 3\right) +\frac58\left(3-\log_2 5\right)\\ &=3-\frac38\log_2 3-\frac58\log_2 5\\ &\simeq 0.9544\ \text{bit}. \end{aligned}

(二) 條件熵 $H(X\mid Y)$ 與 $H(Y\mid X)$

先由聯合機率除以邊際機率，求條件分布。給定 $Y$ ：

\begin{array}{c|cc} & X=0 & X=1\\ \hline Y=0 & \frac{11}{12} & \frac{1}{12}\\ Y=1 & \frac14 & \frac34 \end{array}

因此，

\begin{aligned} H(X\mid Y) ={}&\frac38\left[ -\frac{11}{12}\log_2\frac{11}{12} -\frac{1}{12}\log_2\frac{1}{12} \right]\\ &+\frac58\left[ -\frac14\log_2\frac14 -\frac34\log_2\frac34 \right]\\ \simeq{}&0.6769\ \text{bit}. \end{aligned}

給定 $X$ 的條件分布為

Question 4

一個二位元（binary）通訊系統傳送具有事前機率（prior probability）

\Pr(-1)=\frac{1}{3}

與

\Pr(1)=\frac{2}{3}

的符元（symbol） $\{-1,1\}$ ，並使用最大事後機率接收器（maximum a posteriori receiver，MAP receiver）接收所傳送的符元。

此通道受到加性高斯白雜訊（additive white Gaussian noise）的干擾。當二位元符元「 $-1$ 」被傳送時，加性高斯白雜訊的期望值為 $0$ ，變異數為 $\pi$ ，即 $N(0,\pi)$ 。當二位元符元「 $1$ 」被傳送時，加性高斯白雜訊的期望值為 $0$ ，變異數為 $4\pi$ ，即 $N(0,4\pi)$ 。

(一) 請寫出這兩個符元的概似函數（likelihood function）。（4 分）

(二) 請求出這兩個符元的決策區域（decision region） $H_{-1}$ 與 $H_1$ 。（6 分）

(三) 請求出此通訊系統的平均最小錯誤機率（average minimum error probability）。請以 $Q$ -函數

Q(x)=\int_x^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\,dt

表示出來。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 MAP 接收器選擇後驗機率較大的符元。由貝氏定理，對觀測值 $y$，判決為 $$ H{-1}\quad	ext{若}\quad \Pr(-1)f{Y|-1}(y)\geq \Pr(1)f{Y|1}(y), $$ 否則判決為 $H1$。其中 $f{Y|s}(y)$ 是在傳送符元 $s$ 時的條件機率密度函數。 接收值為傳送符元加上雜訊，因此 $Y=-1+N$ 時服從 $N(-1,\pi)$，而 $Y=1+N$ 時服從 $N(1,4\pi)$。 解題方法 令觀測值為 $y$。高斯機率密度函數為 $$ f{Y|s}(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigmas^2}} \exp\left(-\frac{(y-s)^2}{2\sigmas^2}ight). $$ （一）概似函數 傳送 $-1$ 時，$Y\sim N(-1,\pi)$，故 $$ f{Y|-1}(y) =\frac{1}{\sqrt{2\pi^2}} \exp\left(-\frac{(y+1)^2}{2\pi}ight) =\frac{1}{\pi\sqrt{2}} \exp\left(-\frac{(y+1)^2}{2\pi}ight). $$ 傳送 $1$ 時，$Y\sim N(1,4\pi)$，故 $$ f{Y|1}(y) =\frac{1}{\sqrt{8\pi^2}} \exp\left(-\frac{(y-1)^2}{8\pi}ight) =\frac{1}{2\pi\sqrt{2}} \exp\left(-\frac{(y-1)^2}{8\pi}ight). $$ （二）決策區域 代入先驗機率，判決為 $-1$ 的條件是 $$ \frac{1}{3}f{Y|-1}(y)\geq \frac{2}{3}f{Y|1}(y), $$ 亦即 $f{Y|-1}(y)/f{Y|1}(y)\geq 2$。由兩個高斯密度之比， $$ \frac{f{Y|-1}(y)}{f{Y|1}(y)} =2\exp\left( -\frac{(y+1)^2}{2\pi} +\frac{(y-1)^2}{8\pi} ight). $$ 因此條件化為 $$ -\frac{(y+1)^2}{2\pi} +\frac{(y-1)^2}{8\pi}\geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3y^2+10y+3\leq 0. $$ 因為 $3y^2+10y+3=(3y+1)(y+3)$，可得 $$ H{-1}=[-3,-	frac13], \qquad H1=(-\infty,-3)\cup(-	frac13,\infty). $$ 在 $y=-3$ 與 $y=-	frac13$ 處兩種判決的加權概似相等；邊界點的選擇不影響錯誤機率。 （三…

Question 5

在 $10\ \mathrm{GHz}$ 頻率下，地面站向距離 $2{,}000$ 公里的衛星發射 $128\ \mathrm{W}$ 功率。

地面天線增益為 $36\ \mathrm{dBi}$ ，其指向誤差損失（pointing error loss）為 $0.5\ \mathrm{dB}$ 。衛星天線增益為 $38\ \mathrm{dBi}$ ，具有指向誤差損失為 $0.5\ \mathrm{dB}$ 。假設大氣損耗（atmospheric loss）為 $2\ \mathrm{dB}$ ，而極化損耗（polarization loss）為 $1\ \mathrm{dB}$ 。

衛星接收機在室溫下的雜訊指數（noise figure）為 $6\ \mathrm{dB}$ 。頻道所需頻寬為 $5\ \mathrm{MHz}$ ，且計算時使用 $5\ \mathrm{dB}$ 的裕度（margin）（損耗）。

每小題 $10$ 分，共 $20$ 分。

(一) 請計算接收輸入功率（received input power level）。（10 分）

(二) 請計算輸出訊雜比（output SNR）。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查衛星通信鏈路預算與接收端訊雜比計算： - 接收功率以鏈路預算計算：發射功率加上發射端、接收端天線增益，再扣除自由空間路徑損耗及其他損耗。 - 接收端輸出訊雜比為接收載波功率與接收機總雜訊功率之比。以分貝表示時，兩者相減即可。 解題方法 （一）接收輸入功率 先將地面站發射功率換算為 dBW： $$ Pt=10\log{10}(128)=21.07\ \mathrm{dBW} $$ 自由空間路徑損耗為： $$ L{\mathrm{FS}}=92.45+20\log{10}(f{\mathrm{GHz}}) +20\log{10}(d{\mathrm{km}}) $$ 代入 $f=10\ \mathrm{GHz}$、$d=2{,}000\ \mathrm{km}$： $$ L{\mathrm{FS}} =92.45+20\log{10}(10)+20\log{10}(2{,}000) =178.47\ \mathrm{dB} $$ 鏈路中兩端天線的有效增益，須扣除各自的指向誤差損失： $$ G{\mathrm{地面,有效}}=36-0.5=35.5\ \mathrm{dBi} $$ $$ G{\mathrm{衛星,有效}}=38-0.5=37.5\ \mathrm{dBi} $$ 因此，接收輸入功率為： $$ \begin{aligned} Pr &=Pt+G{\mathrm{地面,有效}}+G{\mathrm{衛星,有效}}\ &\quad-L{\mathrm{FS}}-L{\mathrm{大氣}}-L{\mathrm{極化}}-L{\mathrm{裕度}}\ &=21.07+35.5+37.5-178.47-2-1-5\ &=-92.40\ \mathrm{dBW} \end{aligned} $$ 換算為 dBm：

114 公務人員升官等薦任電信工程通信與系統考古題詳解

第一題20 分

核心觀念

解題方法

（一）希爾伯特轉換

（二）輸出訊號

第二題20 分

第三題20 分

核心觀念

解題方法

(一) 邊際熵 $H(X)$ 與 $H(Y)$

(二) 條件熵 $H(X\mid Y)$ 與 $H(Y\mid X)$

第四題20 分

第五題20 分

核心觀念

解題方法

（一）接收輸入功率

其他考古題

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114 公務人員升官等薦任 電信工程 通信與系統 考古題詳解

第 一 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）希爾伯特轉換

（二）輸出訊號

第 二 題20 分

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

(一) 邊際熵 H(X)H(X)H(X) 與 H(Y)H(Y)H(Y)

(二) 條件熵 H(X∣Y)H(X\mid Y)H(X∣Y) 與 H(Y∣X)H(Y\mid X)H(Y∣X)

第 四 題20 分

第 五 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）接收輸入功率

其他考古題

114 年電信工程的其他科目

電信工程《通信與系統》其他年度

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第一題20 分

第二題20 分

第三題20 分

(一) 邊際熵 $H(X)$ 與 $H(Y)$

(二) 條件熵 $H(X\mid Y)$ 與 $H(Y\mid X)$

第四題20 分

第五題20 分