112 公務人員升官等薦任 電信工程 通信與系統 考古題詳解

核心觀念

採用 Fourier 轉換定義

$$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt, \qquad x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)e^{j2\pi ft}\,df.$$

因此頻率變數 $f$ 的反 Fourier 轉換，核函數為 $e^{j2\pi ft}$。

本題依序考查分段頻譜的反 Fourier 轉換、以極限取得 $\operatorname{sgn}(f)$ 的反轉換，以及 Hilbert 轉換在頻域中的乘法關係。以下取 $\alpha>0$。

(一) 計算 $H(f)$ 的反 Fourier 轉換

依分段定義拆成兩個積分：

$$\begin{aligned} h(t) &=\int_{-\infty}^{\infty}H(f)e^{j2\pi ft}\,df\\ &=\int_0^\infty e^{-\alpha f}e^{j2\pi ft}\,df -\int_{-\infty}^0 e^{\alpha f}e^{j2\pi ft}\,df. \end{aligned}$$

第一項為

$$\int_0^\infty e^{-(\alpha-j2\pi t)f}\,df =\frac{1}{\alpha-j2\pi t}.$$

第二項（含原式前的負號）為

$$-\int_{-\infty}^0 e^{(\alpha+j2\pi t)f}\,df =-\frac{1}{\alpha+j2\pi t}.$$

故

$$\begin{aligned} h(t) &=\frac{1}{\alpha-j2\pi t}-\frac{1}{\alpha+j2\pi t}\\ &=\frac{j4\pi t}{\alpha^2+4\pi^2t^2}. \end{aligned}$$

(二) 計算 $\operatorname{sgn}(f)$ 的反 Fourier 轉換

令 $\alpha\to0^+$，則 $H(f)$ 在 $f\ne0$ 時趨近 $\operatorname{sgn}(f)$。因此可由上一小題取極限，得到

$$\mathcal{F}^{-1}\{\operatorname{sgn}(f)\} =\lim_{\alpha\to0^+}\frac{j4\pi t}{\alpha^2+4\pi^2t^2} =\frac{j}{\pi t}.$$

此式須以主值（principal value）理解：

$$\boxed{\mathcal{F}^{-1}\{\operatorname{sgn}(f)\} =\operatorname{PV}\frac{j}{\pi t}}.$$

(三) Hilbert 轉換的 Fourier 轉換關係

核心觀念

FM（頻率調變）與 PM（相位調變）都屬於角度調變，載波振幅保持為 $A_c$，訊息則改變載波的瞬時相位。一般角度調變訊號可寫成

$$s(t)=A_c\cos\!\left[2\pi f_c t+\phi(t)\right].$$

PM 讓相位偏移與訊息振幅成正比；FM 則讓瞬時頻率偏移與訊息振幅成正比。角度調變係數 $\beta$ 的具體定義會依調變方式及訊息振幅而定。本題第（四）小題採用峰值相位偏移 $\beta$，並以峰值為 1 的正弦訊息為例。

解題方法

（一）PM 數學模型與傳輸器系統圖

PM 的相位偏移與訊息訊號成正比，因此其數學模型為

$$s_{\mathrm{PM}}(t) =A_c\cos\!\left[2\pi f_c t+k_p m(t)\right],$$

其中 $k_p$ 為相位調變靈敏度，單位通常為 rad/訊息單位。若以 $\beta$ 表示峰值相位偏移，則可寫成

$$s_{\mathrm{PM}}(t) =A_c\cos\!\left[2\pi f_c t+\beta\,\frac{m(t)}{m_p}\right],$$

其中 $m_p=\max |m(t)|$。當訊息已正規化為峰值 1，模型簡化為

$$s_{\mathrm{PM}}(t)=A_c\cos\!\left[2\pi f_c t+\beta m(t)\right].$$

簡易傳輸器系統圖如下：

$$m(t)\longrightarrow \boxed{\text{比例／相位調變器 }k_p} \longrightarrow \boxed{\text{與載波 }A_c\cos(2\pi f_ct)\text{ 合成}} \longrightarrow s_{\mathrm{PM}}(t)$$

亦可用方塊表示為：訊息 $m(t)$ 經比例器轉成相位偏移 $k_pm(t)$，再由相位調變器改變載波相位，輸出 PM 訊號。

（二）FM 與 PM 的差異

令角度調變訊號的總相位為 $\theta(t)$，瞬時頻率為

$$f_i(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\theta(t)}{dt}.$$

PM 的總相位直接隨訊息變化：

$$\theta_{\mathrm{PM}}(t)=2\pi f_ct+k_pm(t),$$

故其瞬時頻率為

$$f_{i,\mathrm{PM}}(t) =f_c+\frac{k_p}{2\pi}\frac{dm(t)}{dt}.$$

所以 PM 的相位偏移與 $m(t)$ 成正比，頻率偏移則與訊息的微分成正比。

FM 的瞬時頻率直接隨訊息變化：

$$f_{i,\mathrm{FM}}(t)=f_c+k_fm(t),$$

其中 $k_f$ 為頻率調變靈敏度。對瞬時頻率積分可得總相位：

$$\theta_{\mathrm{FM}}(t) =2\pi f_ct+2\pi k_f\int_{-\infty}^{t}m(\tau)\,d\tau.$$

因此 FM 的頻率偏移與 $m(t)$ 成正比，相位偏移則與訊息的積分成正比。兩者的載波振幅均維持不變。

（三）利用 FM 解調器解調 PM

PM 訊號的瞬時頻率偏移與訊息微分成正比。若將 PM 訊號送入 FM 解調器，FM 解調器輸出與瞬時頻率偏移成正比，因而得到與 $\frac{dm(t)}{dt}$ 成正比的訊號。再將該輸出積分，即可恢復原訊息。

核心觀念

本題考查離散無記憶通道的輸入與輸出機率，以及通道容量。通道轉移機率 $p(y_j\mid x_i)$ 表示輸入 $x_i$ 時輸出 $y_j$ 的條件機率。

輸出機率由全機率公式求得：

$$p(y_j)=\sum_i p(x_i)p(y_j\mid x_i)$$

通道容量是互資訊對輸入分布取最大值：

$$C=\max_{p(x)} I(X;Y) =\max_{p(x)}\left[H(Y)-H(Y\mid X)\right]$$

本題的輸出只有 $y_1,y_2$，故 $H(Y)\leq 1$ bit。若存在輸入分布能使輸出等機率，並使 $H(Y\mid X)$ 最小，即可達到容量。

（一）輸入等機率時的輸出分布

由 $p(x_1)=p(x_2)=p(x_3)=\frac13$，分別計算：

$$\begin{aligned} p(y_1) &=\sum_{i=1}^3p(x_i)p(y_1\mid x_i)\\ &=\frac13\cdot\frac12+\frac13\cdot\frac12+\frac13\cdot0 =\frac13, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} p(y_2) &=\sum_{i=1}^3p(x_i)p(y_2\mid x_i)\\ &=\frac13\cdot\frac12+\frac13\cdot\frac12+\frac13\cdot1 =\frac23. \end{aligned}$$

因此輸出機率分布為

$$\boxed{P(Y)=\left(\frac13,\frac23\right)}.$$

（二）使輸出等機率的輸入分布

設 $p(x_1)=a,\ p(x_2)=b,\ p(x_3)=c$，其中 $a+b+c=1$。由矩陣可得

$$p(y_1)=\frac{a+b}{2},\qquad p(y_2)=\frac{a+b}{2}+c.$$

令兩種輸出等機率：

$$\frac{a+b}{2}=\frac{a+b}{2}+c \quad\Longrightarrow\quad c=0.$$

因此只要令 $p(x_3)=0$，且 $p(x_1)+p(x_2)=1$，輸出即為等機率。舉例而言，取

$$\boxed{P(X)=\left(\frac12,\frac12,0\right)}$$

則

$$p(y_1)=p(y_2)=\frac12.$$

（三）通道容量與容量達成時的輸入分布

以輸入 $x_1,x_2,x_3$ 分別計算輸出熵的條件熵：

• 輸入 $x_1$ 或 $x_2$ 時，輸出為等機率，故 $H(Y\mid X=x_i)=1$ bit。
• 輸入 $x_3$ 時，輸出必為 $y_2$，故 $H(Y\mid X=x_3)=0$ bit。

令輸入機率為 $(a,b,c)$，則

$$H(Y\mid X)=(a+b)\cdot1+c\cdot0=1-c.$$

核心觀念

這題考查訊號空間表示法，以及高斯白雜訊通道中的最佳接收器。接收訊號可投影到一組正交規一（orthonormal）基底函數上，轉成有限維向量；在等概似先驗機率與 AWGN 下，最佳接收器採用最大概似（ML）判決，也就是選擇與接收向量歐氏距離最近的訊號向量。

題目共有 $2^M$ 個訊號，但所有訊號只含同一個載波頻率，且相位不同，因此訊號空間維度為 2。

（一）適當的訊號基底函數

在區間 $0\leq t\leq T_s$ 上，取正交規一基底：

$$\phi_1(t)=\sqrt{\frac{2}{T_s}}\cos(2\pi f_ct), \qquad \phi_2(t)=-\sqrt{\frac{2}{T_s}}\sin(2\pi f_ct).$$

此處假設載波在符元區間內包含整數個週期，即 $f_cT_s$ 為整數；在此條件下，

$$\int_0^{T_s}\phi_k^2(t)\,dt=1, \qquad \int_0^{T_s}\phi_1(t)\phi_2(t)\,dt=0.$$

選用負號的正弦基底，是為了讓訊號座標的正弦分量呈正號。利用 $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$，可得：

$$s_i(t) =A\cos\left(2\pi f_ct+\frac{i\pi}{M}\right) =A\cos\frac{i\pi}{M}\cos(2\pi f_ct) -A\sin\frac{i\pi}{M}\sin(2\pi f_ct).$$

因此它可由上述兩個基底張成，訊號空間維度為 2。

（二）以訊號基底表示 $x(t)$

令傳送第 $i$ 個訊號，接收端的無雜訊訊號為 $x(t)=s_i(t)$。依基底展開式

$$x(t)=x_{i1}\phi_1(t)+x_{i2}\phi_2(t),$$

其座標為內積：

$$x_{i1}=\int_0^{T_s}s_i(t)\phi_1(t)\,dt =A\sqrt{\frac{T_s}{2}}\cos\frac{i\pi}{M},$$ $$x_{i2}=\int_0^{T_s}s_i(t)\phi_2(t)\,dt =A\sqrt{\frac{T_s}{2}}\sin\frac{i\pi}{M}.$$

故第 $i$ 個訊號向量為

$$\mathbf{x}_i= \begin{bmatrix} A\sqrt{T_s/2}\cos(i\pi/M)\\[2mm] A\sqrt{T_s/2}\sin(i\pi/M) \end{bmatrix}.$$

所有訊號點落在半徑 $A\sqrt{T_s/2}$ 的圓上，彼此以相位角 $i\pi/M$ 區分。

（三）AWGN 通道中的最佳接收器

接收訊號為

$$r(t)=s_i(t)+n(t).$$

將接收訊號投影到兩個基底，可得充分統計量：

核心觀念

本題考線性區塊碼的生成矩陣、碼字列舉，以及以症候（syndrome）判斷和修正錯誤。

奇偶校驗矩陣 $H$ 的每一列提供一個奇偶校驗方程式。合法碼字 $c$ 必須滿足

$$Hc^T=0$$

所有滿足此條件的向量構成線性碼。若 $H$ 的秩為 $r$、碼長為 $n$，則碼的維度為 $k=n-r$；生成矩陣 $G$ 的每一列都是 $H$ 零空間中的向量，且 $GH^T=0$。

解題方法

（一）求生成矩陣

題目中的 $H$ 是 $3\times 7$ 矩陣，秩為 $3$，因此碼的維度為

$$k=7-3=4$$

令碼字為 $c=[c_1\ c_2\ c_3\ c_4\ c_5\ c_6\ c_7]^T$。由 $Hc=0$（運算皆在 $\mathrm{GF}(2)$ 上，亦即加法為 XOR）可得

$$\begin{aligned} c_5&=c_1+c_2+c_4\\ c_6&=c_1+c_3+c_4\\ c_7&=c_2+c_3+c_4 \end{aligned}$$

因此可取前四位為資訊位元，令生成矩陣採系統形式：

$$G= \begin{bmatrix} 1&0&0&0&1&1&0\\ 0&1&0&0&1&0&1\\ 0&0&1&0&0&1&1\\ 0&0&0&1&1&1&1 \end{bmatrix}$$

（二）列出所有碼字

對所有 $2^4=16$ 種資訊位元 $[c_1c_2c_3c_4]$，以 $c=[c_1c_2c_3c_4]G$（在 $\mathrm{GF}(2)$ 上相乘）即可得到碼字：

資訊位元	碼字
0000	0000000
0001	0001111
0010	0010011
0011	0011100
0100	0100101
0101	0101010
0110	0110110
0111	0111001
1000	1000110
1001	1001001
1010	1010101
1011	1011010
1100	1100011
1101	1101100
1110	1110000