112 公務人員升官等薦任 電信工程 電路學 考古題詳解

核心觀念

圖（a）以接地點為參考，利用節點電壓法；跨接理想電壓源的兩個非參考節點要視為超節點，並同時使用電壓源的電壓限制式。

圖（b）使用網目電流法。遇到兩網目共用的電流源，建立超網目並另列電流源限制式；只有一個網目經過的電流源，則直接決定該網目的電流。

解題方法

（一）求圖（a）的 $v_a$、$v_b$、$v_c$

圖（a）下方為接地。左側 $4\text{ V}$ 電壓源的正端接地、負端接 $v_a$，因此

$8\text{ V}$ 電壓源左正右負，故

將 $v_b$、$v_c$ 視為超節點，對超節點套用 KCL。取流出超節點的電流為正，右側向上的 $2\text{ A}$ 電流源是流入超節點：

代入 $v_a=-4$，並乘以 $12$：

整理得

配合 $v_b-v_c=8$，解得

（二）求圖（b）的 $i_1$、$i_2$、$i_3$

核心觀念

本題考查一階 RC 電路的自然響應，以及電容電壓的連續性。電容電壓不能瞬間改變，因此

開關在 $t=0$ 斷開後，電壓源與 $3\,\mathrm{k\Omega}$ 電阻被切離，電容經 $4\,\mathrm{k\Omega}$ 與 $2\,\mathrm{k\Omega}$ 電阻放電。

解題方法

1. 求開關切換前的電容電壓

$t<0$ 時電路已達穩態，電容視為開路。此時 $3\,\mathrm{k\Omega}$、$4\,\mathrm{k\Omega}$、$2\,\mathrm{k\Omega}$ 串聯，電流為

電容上端電壓是 $4\,\mathrm{k\Omega}$ 與 $2\,\mathrm{k\Omega}$ 電阻的電壓總和：

因此

2. 求切換後的時間常數

開關斷開後，電容看到的放電電阻為

核心觀念

本題考查理想運算放大器的兩個特性：輸入端電流為零，以及在負回授下 $v_+=v_-$。依序分析各級電路，可得到 $v_1$ 與 $v_2$ 對輸出 $v_3$ 的係數，再與題目給定的關係式比較。

解題方法

第一級：$v_2$ 的分壓與電壓追隨器

$v_2$ 經 $10\,\text{k}\Omega$ 與 $R_2$ 分壓後接至運算放大器的非反相端。該運算放大器以輸出回授至反相端，形成電壓追隨器，因此其輸出為

第二級：$v_1$ 的非反相放大器

第二個運算放大器的非反相端接 $v_1$，反相端由 $R_1$ 與 $10\,\text{k}\Omega$ 構成回授分壓，因此輸出為

此輸出經 $10\,\text{k}\Omega$ 接到最後一級的非反相端。理想運算放大器輸入端不取電流，所以該電阻沒有壓降，最後一級的非反相端電壓即為 $v_{o1}$。

第三級：反相端節點列式

最後一級的反相端透過兩個 $10\,\text{k}\Omega$ 電阻，分別接收 $v_{o2}$ 與輸出 $v_3$ 的回授。由於負回授使反相端電壓等於非反相端電壓，即 $v_-=v_{o1}$。在反相端節點套用 KCL：

核心觀念

本題考交流穩態相量分析，並用節點電流定律處理含受控電壓源的電路。角頻率為 $\omega=10\ \mathrm{rad/s}$，因此電容與電感的頻域阻抗為

輸入是餘弦波，以下採用峰值相量，故 $\tilde V_s=10\angle 0^\circ\ \mathrm{V}$。

解題方法

令第一個 $10\ \Omega$ 串聯電阻中的電流相量為 $\tilde I$，並令電容與中間 $10\ \Omega$ 電阻共接的節點電壓為 $\tilde V_a$。由輸入串聯電阻的歐姆定律：

受控電壓源左端為負、右端為正，故其右端電壓為 $\tilde V_a+10\tilde I$。由上式可知：

因此，受控電壓源右側的電感與 $5\ \Omega$ 電阻支路，其電流為

節點 $\tilde V_a$ 到地的電容與 $10\ \Omega$ 電阻並聯導納為

核心觀念

圖中 $C$、$L$、$R$ 串聯，輸出電壓 $v_o(t)$ 取自電阻 $R$ 兩端。串聯電路的電流相同，因此其傳遞函數為

這是二階帶通濾波器的標準形式，中心角頻率與頻寬分別為

解題方法

先利用頻寬關係求電感：

再用中心角頻率關係求電容：