110 公務人員升官等薦任 電信工程 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考理想並聯 $LC$ 電路的自然共振頻率、電感電流連續性，以及步階電流源下的暫態響應。採用電感電壓關係 $v_L=L\,di_L/dt$、電容電流關係 $i_C=C\,dv/dt$，並在上方節點套用 KCL。

以下依電路題慣例，假設 $t<0$ 時電路處於靜止狀態，電感與電容皆無初始能量。

解題方法

令電感電流向下為正，電容電壓上正下負。電流源箭頭向上，表示它向上方節點注入電流，因此對 $t\ge 0$：

而

代入 $L=5\,\mathrm{H}$、$C=0.2\,\mathrm{F}$，得到

由於 $LC=5(0.2)=1$，故微分方程為

並聯理想 $LC$ 電路的共振角頻率為

初始時電感電流連續，且電路無初始能量，所以

核心觀念

本題考查迴路電流法。各迴路電流依圖示方向取正；共用電阻的支路電流，等於相鄰迴路電流的代數差。遇到共用電流源的兩個迴路，先用電流源建立迴路電流限制式，再對不含電流源的外圍路徑寫 KVL。

解題方法

令圖中的 $i_1$、$i_2$、$i_3$ 均以箭頭方向為正。電流源箭頭向上；在共用支路上，$i_2$ 向上、$i_1$ 向下，因此：

對下方兩個迴路形成的超迴路寫 KVL。兩個 $4\,\Omega$ 電阻的支路電流分別為 $i_1-i_3$、$i_2-i_3$；兩個 $8\,\Omega$ 電阻的支路電流分別為 $i_1$、$i_2$：

整理得：

再對上方迴路寫 KVL。沿圖示迴路方向通過電壓源時，從負端到正端電位上升 $20\,\mathrm V$；

核心觀念

本題考自耦變壓器的阻抗反映，以及交流戴維寧等效電路的最大功率傳輸。戴維寧阻抗是將獨立電壓源短路後，從端點看入的等效阻抗；理想變壓器則將負載阻抗依匝數比平方反映至另一側。

圖中 $N_1$ 是 $A、B$ 間的匝數，負載接在總匝數 $N_2=2N_1$ 的兩端，因此 $R_L$ 反映至 $A、B$ 側為

解題方法

（一）求 $A、B$ 間的戴維寧等效

先將右側自耦變壓器與負載視為接在 $A、B$ 的外部電路，求左側電源網路的戴維寧等效。開路電壓由分壓得到：

化為極式：

將理想電壓源短路後，從 $A、B$ 看入的阻抗為

因此

核心觀念

本題考理想運算放大器的負回授特性與節點電流定律。圖四中，輸出端直接回授至反相輸入端，因此理想運算放大器在線性工作時有 $v_-=v_+$，且兩輸入端電流為零。故輸出電壓 $v_o$ 等於非反相輸入端電壓。

解題方法

令兩個 $60\,\mathrm{k}\Omega$ 電阻之間的節點電壓為 $v_1$。非反相輸入端的節點電壓就是 $v_o$。令 $R=60\,\mathrm{k}\Omega$、$C_1=10\,\mathrm{pF}$、$C_2=20\,\mathrm{pF}$。

在 $v_o$ 節點套用 KCL：

因此

在 $v_1$ 節點套用 KCL。$C_1$ 連接於 $v_1$ 與輸出端之間：

兩邊乘以 $R$，再代入 $v_1-v_o=RC_2\dfrac{dv_o}{dt}$，得