110 公務人員升官等薦任 電信工程 通信與系統 考古題詳解

110 年・公務人員升官等・薦任・電信工程
試題代碼 通信與系統

第 一 題20 分

已知一週期為 T0T_0 之連續訊號 x(t)x(t) 的 complex exponential Fourier Series 定義為

x(t)=∑n=−∞∞Xnejnω0t,x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X_ne^{jn\omega_0t},

其中

Xn=1T0∫t0t0+T0x(t)e−jnω0t dt,t0≤t<t0+T0,ω0=2πT0.X_n=\frac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)e^{-jn\omega_0t}\,dt,\qquad t_0\leq t<t_0+T_0,\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T_0}.

請計算

x(t)=cos⁡(ω0t)+sin⁡2(2ω0t)x(t)=\cos(\omega_0t)+\sin^2(2\omega_0t)

的 complex exponential Fourier Series。

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核心觀念

本題考複指數傅立葉級數的基本展開與三角恆等式。若訊號含有 cos⁡(kω0t)\cos(k\omega_0t) 或 sin⁡(kω0t)\sin(k\omega_0t)，可用 Euler 公式將它們改寫成 ejnω0te^{jn\omega_0t} 的形式，再依 ejnω0te^{jn\omega_0t} 前的係數讀出 XnX_n。

解題方法

先將平方正弦項用倍角公式化簡：

sin⁡2(2ω0t)=1−cos⁡(4ω0t)2.\sin^2(2\omega_0t) =\frac{1-\cos(4\omega_0t)}{2}.

因此

x(t)=cos⁡(ω0t)+12−12cos⁡(4ω0t).x(t)=\cos(\omega_0t)+\frac12-\frac12\cos(4\omega_0t).

再利用

cos⁡(θ)=ejθ+e−jθ2\cos(\theta)=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}

分別展開：

cos⁡(ω0t)=12ejω0t+12e−jω0t,\cos(\omega_0t) =\frac12e^{j\omega_0t}+\frac12e^{-j\omega_0t}, −12cos⁡(4ω0t)=−14ej4ω0t−14e−j4ω0t.-\frac12\cos(4\omega_0t) =-\frac14e^{j4\omega_0t}-\frac14e^{-j4\omega_0t}.

所以複指數傅立葉級數為

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第 二 題15 分

假設一線性非時變系統之頻率響應函式 H(f)H(f) 為

H(f)=−j sgn⁡f,H(f)=-j\,\operatorname{sgn}f,

其中

sgn⁡f={1,f>0,0,f=0,−1,f<0.\operatorname{sgn}f= \begin{cases} 1, & f>0,\\ 0, & f=0,\\ -1, & f<0. \end{cases}

請求出

x(t)=cos⁡(10πt)+sin⁡(10πt)x(t)=\cos(10\pi t)+\sin(10\pi t)

經過該線性非時變系統的輸出訊號 y(t)y(t)。

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核心觀念

本題考查線性非時變系統（LTI system）的頻域特性：輸入訊號中每個頻率分量通過系統後，振幅乘上頻率響應的大小，並依頻率響應的相位改變相位。

題目給定

H(f)=−j sgn⁡f.H(f)=-j\,\operatorname{sgn}f.

因此，正頻率分量的頻率響應為 −j-j，相當於相位延遲 90∘90^\circ；負頻率分量的頻率響應為 +j+j。這正是理想希爾伯特轉換器的頻率響應。

解題方法

輸入角頻率為 ω0=10π\omega_0=10\pi，對應頻率

f0=ω02π=5 Hz.f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=5\ \text{Hz}.

利用希爾伯特轉換的正弦、餘弦對應關係：

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第 三 題20 分

下圖為一個不需要混頻器（frequency mixer）之振幅調變（Amplitude Modulation, AM）系統：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

其中，m(t)m(t) 為輸入訊號，cos⁡ωct=cos⁡(2πfct)\cos\omega_ct=\cos(2\pi f_ct) 為載波，g(t)g(t) 則為輸出訊號。

假設輸入訊號 m(t)m(t) 的頻寬（bandwidth）為 WW Hz，而上圖中的「Square-law device」區塊的輸入與輸出函式定義為

y(t)=4x(t)+2x2(t).y(t)=4x(t)+2x^2(t).

假設上圖中的「Filter」區塊為一帶通濾波器，該帶通濾波器的頻寬大於 2W2W，且中心頻率為

f0=fc>3W。f_0=f_c>3W。

根據題目的假設，請計算輸出訊號 g(t)g(t)。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查平方律振幅調變。先將輸入訊號代入非線性元件的輸入輸出關係，再依頻譜位置判斷帶通濾波器會保留哪些項。

題目未指定濾波器通帶增益與完整頻率響應；以下依標準命題假設，濾波器在以 fcf_c 為中心的通帶內增益為 11，並選取載波及其兩側訊號頻帶。

解題方法

加法器輸出為

x(t)=m(t)+cos⁡(ωct).x(t)=m(t)+\cos(\omega_c t).

代入平方律元件：

y(t)=4x(t)+2x2(t)=4m(t)+4cos⁡(ωct)+2m2(t)+4m(t)cos⁡(ωct)+2cos⁡2(ωct).\begin{aligned} y(t) &=4x(t)+2x^2(t)\\ &=4m(t)+4\cos(\omega_c t) +2m^2(t)+4m(t)\cos(\omega_c t) +2\cos^2(\omega_c t). \end{aligned}

逐項判斷頻率位置：

  • 4m(t)4m(t) 的頻率範圍在基頻 [−W,W][-W,W]。
  • 2m2(t)2m^2(t) 的頻率範圍在基頻 [−2W,2W][-2W,2W]。
  • 2cos⁡2(ωct)=1+cos⁡(2ωct)2\cos^2(\omega_c t)=1+\cos(2\omega_c t)，含直流與 2fc2f_c 分量。
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第 四 題15 分

考慮以下兩個方波 x(t)x(t) 以及 y(t)y(t)：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

其中，x(t)x(t) 為振幅 AA、持續時間 τ\tau 的矩形脈波；y(t)y(t) 為振幅 BB、持續時間

T=7τT=7\tau

的矩形脈波。兩個波形皆自 t=0t=0 開始。

觀察 x(t)x(t) 以及 y(t)y(t) 個別之匹配濾波器（matched filter）的輸出。假設兩個匹配濾波器的輸出有相同的訊號雜訊比（Signal-to-Noise Ratio, SNR），請求出 AA 與 BB 的關係。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

匹配濾波器在加性白高斯雜訊下，取樣時刻的最大輸出訊號雜訊比與輸入訊號能量成正比。若兩個匹配濾波器的雜訊條件相同，輸出 SNR 相同就代表兩個訊號能量相同。

解題方法

矩形脈波的能量為振幅平方乘以脈波持續時間：

E=∫−∞∞∣s(t)∣2 dtE=\int_{-\infty}^{\infty}|s(t)|^2\,dt

因此，對 x(t)x(t) 而言，

Ex=∫0τA2 dt=A2τE_x=\int_0^\tau A^2\,dt=A^2\tau

對 y(t)y(t) 而言，圖示持續時間為 T=7τT=7\tau，所以

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第 五 題15 分

MM 序列是一種最大長度序列（maximum length sequence）。在通訊系統的電路設計中，MM 序列常被用來產生偽隨機數（pseudo random number）。

考慮一由 6 階之線性反饋移位暫存器（Linear Feedback Shift Register, LFSR）所產生的 MM 序列，其時脈頻率為 10 kHz10\ \mathrm{kHz}，請回答以下問題：

（一）該 MM 序列的週期為多少毫秒（ms）？

（二）請計算該 MM 序列的自相關函數（autocorrelation function）。

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核心觀念

6 階線性回饋移位暫存器（LFSR）若使用可產生最大長度序列的回饋，且初始狀態不是全零，所產生的 MM 序列週期為

N=2n−1N=2^n-1

其中 nn 是暫存器階數。全零狀態會一直維持全零，因此不會產生 MM 序列。

MM 序列的位元時間為時脈週期 Tc=1/fcT_c=1/f_c。以雙極性表示（位元映射為 +1+1、−1-1）時，週期自相關函數常以「未正規化」形式表示：零位移的自相關值為 NN，其餘週期位移的值為 −1-1。

解題方法

（一）計算序列週期

已知階數 n=6n=6，最大長度序列每一週期包含

N=26−1=63 位元N=2^6-1=63\ \text{位元}

時脈頻率為 fc=10 kHz=10,000 Hzf_c=10\ \mathrm{kHz}=10{,}000\ \mathrm{Hz}，每位元時間為

Tc=1fc=110,000 s=0.1 msT_c=\frac{1}{f_c}=\frac{1}{10{,}000}\ \mathrm{s} =0.1\ \mathrm{ms}

所以序列週期為

T=NTc=63(0.1 ms)=6.3 msT=N T_c=63(0.1\ \mathrm{ms})=6.3\ \mathrm{ms}

（二）自相關函數

令一週期的雙極性序列為 a[k]∈{+1,−1}a[k]\in\{+1,-1\}，週期自相關定義為

R[m]=∑k=0N−1a[k]a[(k+m) mod N]R[m]=\sum_{k=0}^{N-1}a[k]a[(k+m)\bmod N]

MM 序列的週期自相關具有雙值特性：

R[m]={N,m≡0(modN)−1,m≢0(modN)R[m]= \begin{cases} N, & m\equiv 0\pmod N\\ -1, & m\not\equiv 0\pmod N \end{cases}
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第 六 題15 分

請證明串接（cascade）NN 個不同的二元對稱通道（Binary Symmetric Channel, BSC）依舊是二元對稱通道。

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核心觀念

二元對稱通道（Binary Symmetric Channel, BSC）的輸入與輸出都是二元符號 {0,1}\{0,1\}。若通道交叉錯誤機率為 pp，其轉移機率矩陣為

P=[P(Y=0∣X=0)P(Y=1∣X=0)P(Y=0∣X=1)P(Y=1∣X=1)]=[1−ppp1−p].\mathbf P= \begin{bmatrix} P(Y=0\mid X=0) & P(Y=1\mid X=0)\\ P(Y=0\mid X=1) & P(Y=1\mid X=1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-p & p\\ p & 1-p \end{bmatrix}.

「對稱」的關鍵在於：輸入符號翻轉時，輸出符號也以相同機率翻轉，因此兩個方向的交叉機率相同。

解題方法

設串接的 NN 個 BSC 交叉錯誤機率依序為 p1,p2,…,pNp_1,p_2,\ldots,p_N。令 EiE_i 表示第 ii 個通道是否發生錯誤，則

P(Ei=1)=pi,P(Ei=0)=1−pi.P(E_i=1)=p_i,\qquad P(E_i=0)=1-p_i.

串接後的輸出與原始輸入不同，當且僅當總錯誤次數為奇數。因此，串接後的等效交叉錯誤機率為

peq=P(E1⊕E2⊕⋯⊕EN=1),p_{\mathrm{eq}}=P(E_1\oplus E_2\oplus\cdots\oplus E_N=1),

其中 ⊕\oplus 表示模 2 加法。

為推導此機率，考慮每個錯誤變數的期望值：

E[(−1)Ei]=(1−pi)−pi=1−2pi.\mathbb E[(-1)^{E_i}]=(1-p_i)-p_i=1-2p_i.

由於各通道的錯誤事件彼此獨立，

E[(−1)E1+⋯+EN]=∏i=1N(1−2pi).\mathbb E\left[(-1)^{E_1+\cdots+E_N}\right] =\prod_{i=1}^{N}(1-2p_i).

總錯誤次數為偶數時，(−1)E1+⋯+EN=1(-1)^{E_1+\cdots+E_N}=1；為奇數時則為 −1-1。因此

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