114 公務人員升官等薦任 電信工程 電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考查切換電路的初始條件、電容電壓與電感電流的連續性，以及單邊拉普拉斯轉換。

電容電壓不能瞬間改變，電感電流也不能瞬間改變：

解題方法

令電感電流 $i_1(t)$ 向下為正，電感電壓為 $v_2(t)$，則

先求切換前的初始條件。 $t<0$ 時電路已達直流穩態，電感視為短路，故 $v_2(0^-)=0$。右側 $2\,\mathrm{V}$ 電源經 $9\,\Omega$ 電阻供應電感電流，因此

電容左板接在 $9\,\mathrm{V}$ 電源正端，右板接在電感上端，即接地。依圖示 $v_1$ 的極性為左負右正，因此

$t=0$ 後，電容左板電壓為 $v_s(t)=2e^{-2t}\,\mathrm{V}$。由電容電壓連續性，

所以

列切換後的節點方程。 受控電壓源右端為正，因此其右端電壓為 $v_2+3i_1$，流經 $2\,\Omega$ 電阻的電流為 $(v_2+3i_1)/2$。在電感上端套用 KCL：

代入 $v_2=9i_1'$、$v_s=2e^{-2t}$，得到

核心觀念

本題考相量電路的諾頓等效，以及交流最大功率傳輸。諾頓等效由並聯的電流源 $I_N$ 與阻抗 $Z_N$ 組成，其中 $Z_N=Z_{Th}$；最大平均功率傳輸時，負載阻抗須為等效阻抗的共軛：

以下以題目電壓的峰值相量計算，$\omega=4\ \mathrm{rad/s}$。

解題方法

令左側 $5\,\Omega$ 電阻中向左的電流為 $i_1$，中間節點電壓為 $V_x$，輸出端電壓為 $V_a$。電源相量為 $V_s=8\angle90^\circ\ \mathrm{V}$。

元件相量阻抗及導納為

因此，輸出節點的電容導納 $j$ 與右側電感的導納 $-j$ 相消。由 $i_1=(V_x-V_s)/5$，在中間節點與輸出節點列 KCL：

其中 $I_a$ 定義為由電路流出 a 端、進入負載的電流。

（一）求諾頓等效

先求開路電壓。開路時 $I_a=0$，所以

代入中間節點方程可得 $V_a=V_x$。再利用 $i_1=(V_x-V_s)/5$：

接著令獨立電壓源歸零，求等效阻抗。此時 $V_s=0$、$i_1=V_x/5$，由中間節點方程：

核心觀念

本題考切換電路的初始條件、電感與電容的連續性，以及用單邊拉普拉斯轉換求暫態響應。

開關切換瞬間，電感電流與電容電壓不能突變：

依圖三，$t<0$ 時 $S_1$ 閉合，短路 $1\,\Omega$ 電阻；$S_2$ 接在 a 點。$t=0$ 時 $S_1$ 打開，$S_2$ 切至 b 點。

解題方法

1. 求切換前的初始條件

切換前已達直流穩態，電感視為短路、電容視為開路。因 $S_1$ 閉合，$1\,\Omega$ 電阻被短路；左側電源經 $3\,\Omega$ 電阻與電感形成回路，因此

電流方向與圖示的 $i_1$ 相同，故 $i_1(0^+)=8\ \mathrm{A}$。

$S_2$ 原先接在 a 點。穩態時電容開路，$9\,\Omega$ 電阻沒有電流，因此其上沒有壓降；電容上端電壓為右側 $24\,\mathrm{V}$ 電源的正端電壓：

切換後電容接至 b 點，故節點電壓 $v(0^+)=24\,\mathrm{V}$。由電感關係 $v=L\,di_1/dt$ 得

2. 建立切換後的微分方程

$t\ge 0$ 時，$S_1$ 打開，電源至節點的串聯電阻為 $1+3=4\,\Omega$。設節點電壓為 $v(t)$，依 KCL：

核心觀念

本題考查理想運算放大器的電壓追隨器，以及正弦穩態下以相量和節點分析求解電路。

理想運算放大器在負回授下有 $v_-=v_+$，且輸入端電流為零。因此，若同相端電壓為 $V_x$，則輸出電壓為 $V_o=V_x$。電容在角頻率 $\omega$ 下的導納為 $j\omega C$。

解題方法

令同相端節點電壓為 $V_x$，另一節點電壓為 $V_y$。由電壓追隨器關係：

輸入電壓 $10\cos(2t+18^\circ)\,\mathrm V$ 的相量為 $V_s=10\angle18^\circ\,\mathrm V$，角頻率為 $\omega=2\,\mathrm{rad/s}$。

在 $V_x$ 節點套用 KCL：

代入 $\omega=2$：

在 $V_y$ 節點套用 KCL。此節點分別經 $10\,\Omega$ 電阻連至 $V_x$、經 $0.02\,\mathrm F$ 電容連至 $V_o$，以及經 $10\,\Omega$ 電阻連至輸入端：