114 公務人員升官等薦任 工業行政 工業經濟 考古題詳解

核心觀念

本題考查總成本、平均成本、邊際成本、規模經濟、平均成本最低點，以及完全競爭下的損益平衡與獲利條件。

總成本為固定成本與變動成本之和。平均成本是每片產品分攤的總成本；邊際成本則是多生產一片所增加的成本。規模經濟可由平均成本是否隨產量增加而下降判斷。

解題方法

已知月度總成本函數：

$$C(Q)=1{,}000{,}000+1{,}500Q+0.05Q^2$$

（一）推導平均成本與邊際成本

平均成本為總成本除以產量：

$$AC(Q)=\frac{C(Q)}{Q} =\frac{1{,}000{,}000}{Q}+1{,}500+0.05Q,\qquad Q>0$$

邊際成本為總成本對產量的一階導數：

$$MC(Q)=\frac{dC(Q)}{dQ}=1{,}500+0.1Q$$

（二）計算兩種產量的平均成本，判斷規模經濟

當 $Q=5{,}000$：

$$AC(5{,}000) =\frac{1{,}000{,}000}{5{,}000}+1{,}500+0.05(5{,}000) =200+1{,}500+250 =1{,}950\text{ 元／片}$$

當 $Q=10{,}000$：

$$AC(10{,}000) =\frac{1{,}000{,}000}{10{,}000}+1{,}500+0.05(10{,}000) =100+1{,}500+500 =2{,}100\text{ 元／片}$$

平均成本由 $1{,}950$ 元上升至 $2{,}100$ 元，因此從兩端點比較可知，產量由 $5{,}000$ 增至 $10{,}000$ 時，平均成本上升，整體而言不存在規模經濟。進一步看平均成本函數：

$$AC'(Q)=-\frac{1{,}000{,}000}{Q^2}+0.05$$

其最低點約在 $Q=4{,}472.14$；高於此產量後，平均成本遞增。因此在題目指定的 $[5{,}000,10{,}000]$ 區間內，平均成本隨產量增加而上升。

（三）求平均成本最小化產量

令平均成本的一階導數為零：

$$AC'(Q)=-\frac{1{,}000{,}000}{Q^2}+0.05=0$$ $$\frac{1{,}000{,}000}{Q^2}=0.05 \quad\Longrightarrow\quad Q^2=20{,}000{,}000$$

因產量須為正：

核心觀念

本題考查在市場狀況不確定、但各狀況發生機率已知時，如何以期望利潤比較決策方案。期望利潤是各種情境下的利潤，分別乘以其發生機率後加總：

$$E(\text{利潤})=\sum_i P_i \times \text{情境 }i\text{ 下的利潤}$$

此外，管理者選擇哪一方案可反映其風險態度；政府提供損失補償，則會改變企業面對不利情境時的損失幅度，進而影響其承擔風險的誘因。

解題方法

（一）計算兩方案的期望利潤

題目給定景氣佳與景氣不佳的機率皆為 $0.5$。

導入自動化設備：

景氣佳時利潤為 $600$ 萬元，景氣不佳時虧損 $400$ 萬元，因此該情境的利潤記為 $-400$ 萬元：

$$E(\text{導入}) =0.5(600)+0.5(-400) =300-200 =100\text{ 萬元}$$

不導入、維持現狀：

景氣佳時利潤為 $200$ 萬元，景氣不佳時利潤為 $100$ 萬元：

$$E(\text{不導入}) =0.5(200)+0.5(100) =100+50 =150\text{ 萬元}$$

因此，依期望利潤比較，不導入方案高於導入方案 $50$ 萬元。

（二）選擇「不導入」反映的風險態度

導入方案的期望利潤雖為正，但其結果波動較大：景氣佳可獲利 $600$ 萬元，景氣不佳則虧損 $400$ 萬元。不導入方案在兩種情境下均有利潤，分別為 $200$ 萬元與 $100$ 萬元，結果較穩定。

因此，管理層選擇不導入，反映其**風險趨避（風險厭惡）**傾向：在面對不確定性時，較重視避免大幅虧損及維持穩定收益。

核心觀念

本題考查污染減量的**邊際減排成本（marginal abatement cost, MAC）**與排放權交易的成本效率。$MAC_i$ 表示廠商 $i$ 多減排一噸所增加的成本；總減排成本則是邊際減排成本由 $0$ 累積至減排量的積分：

$$C_i(R_i)=\int_0^{R_i}MAC_i(r)\,dr$$

在總減排量固定時，若要使社會總成本最低，應使各廠的邊際減排成本相等。若兩廠的邊際減排成本不相等，把減排工作從邊際成本較高的廠商移轉至邊際成本較低者，便能降低總成本；移轉至兩者邊際成本相等時，成本節省空間消失。

解題方法與計算

（一）平均分配時的總減排成本

題目規定 $R_A=R_B=20$。

A 廠成本為：

$$C_A(20)=\int_0^{20}(25+2R_A)\,dR_A =\left[25R_A+R_A^2\right]_0^{20} =500+400=900$$

B 廠成本為：

$$C_B(20)=\int_0^{20}(55+3R_B)\,dR_B =\left[55R_B+\frac{3}{2}R_B^2\right]_0^{20} =1{,}100+600=1{,}700$$

因此總減排成本為：

$$C_{\text{平均}}=900+1{,}700=\boxed{2{,}600\text{ 元}}$$

（二）使總成本最小的減碳分配

成本最小化的條件是：

$$MAC_A=MAC_B,\qquad R_A+R_B=40$$

代入題目給定的邊際成本函數：

$$25+2R_A=55+3R_B$$

再以 $R_A=40-R_B$ 代入：

$$25+2(40-R_B)=55+3R_B$$ $$105-2R_B=55+3R_B \quad\Longrightarrow\quad R_B=10,\qquad R_A=30$$

故成本最小的分配為：

$$\boxed{(R_A,R_B)=(30,10)\text{ 噸}}$$

此時兩廠邊際減排成本同為：

核心觀念

本題考古諾（Cournot）寡占模型與獨占廠商的產量、價格決策。兩家廠商生產同質產品，並同時選擇產量；市場價格由總產量決定。每家廠商在選擇自身產量時，將對手產量視為既定，以利潤最大化求出反應函數，再由兩家反應函數聯立求納許均衡。

反需求函數與成本函數為：

$$P=100-(Q_1+Q_2), \qquad C_i=20Q_i$$

因此，兩家廠商的邊際成本皆為 $MC=20$，且沒有固定成本。

（一）Cournot 反應函數

車廠 A 的利潤為：

$$\pi_1=PQ_1-C_1 =\bigl[100-(Q_1+Q_2)\bigr]Q_1-20Q_1$$

整理後：

$$\pi_1=(80-Q_1-Q_2)Q_1$$

在給定車廠 B 產量 $Q_2$ 時，車廠 A 選擇 $Q_1$ 使利潤最大。對 $Q_1$ 微分並令一階條件為零：

$$\frac{\partial \pi_1}{\partial Q_1}=80-2Q_1-Q_2=0$$

所以車廠 A 的反應函數為：

$$Q_1=40-\frac{1}{2}Q_2$$

同理，車廠 B 的利潤為：

$$\pi_2=\bigl[100-(Q_1+Q_2)\bigr]Q_2-20Q_2 =(80-Q_1-Q_2)Q_2$$

對 $Q_2$ 微分並令一階條件為零：

$$\frac{\partial \pi_2}{\partial Q_2}=80-Q_1-2Q_2=0$$

因此車廠 B 的反應函數為：

$$Q_2=40-\frac{1}{2}Q_1$$

以上二階條件皆為負，例如 $\frac{\partial^2\pi_1}{\partial Q_1^2}=-2<0$，故一階條件給出利潤最大值。反應函數表示：在對手產量固定時，對手產量增加會使本廠的最適產量減少，兩家的產量決策具有策略替代關係。

（二）Cournot 納許均衡

納許均衡是兩家廠商各自的產量都是對對方產量的最適反應。聯立反應函數：

$$Q_1=40-\frac{1}{2}Q_2,\qquad Q_2=40-\frac{1}{2}Q_1$$

由於兩家的成本與需求條件相同，均衡產量相同，令 $Q_1=Q_2=q$：

$$q=40-\frac{1}{2}q \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{2}q=40 \quad\Longrightarrow\quad q=\frac{80}{3}$$

因此：

$$Q_1^*=Q_2^*=\frac{80}{3}\approx 26.67$$

總產量與市場價格為：

$$Q^*=Q_1^*+Q_2^*=\frac{160}{3}$$ $$P^*=100-\frac{160}{3}=\frac{140}{3}\approx 46.67$$