114 公務人員升官等薦任 工業行政 統計學 考古題詳解

某研究者以樣本數 $n=20$ 的資料建立了一個迴歸模型，已知依變數 $Y$ 的樣本變異數為 $s_y^2=10.53$，且該模型的殘差平方和（Sum of Squared Errors）為 $\mathrm{SSE}=30$。

(一) 請說明如何利用這些已知資訊計算出判定係數（Coefficient of Determination）$R^2=0.85$，並請解釋判定係數所代表的統計意涵。（10 分）

(二) 一般而言，若模型能解釋約 85% 的變異，常被認為是「非常好」的模型。請就「擬合程度」、「解釋性」與「預測性」三個面向加以討論，說明高 $R^2$ 並不必然代表模型具有良好的整體表現。（10 分）

某疾病在一般族群中的盛行率（發生率）為 1%。某快速檢驗的敏感度（即確實患病者被檢測為陽性的機率）為 95%，特異度（即未患病者被檢測為陰性的機率）為 90%。請回答下列問題：

(一) 當檢驗結果呈陽性時，個體實際罹患該疾病的條件機率（即「陽性預測值」，Positive Predictive Value, PPV）為何？請說明完整的計算過程，並給出具體數值結果。（10 分）

(二) 在此例中，若政府大量採用此快速檢驗作為篩檢工具，雖具有快速與低成本的優點，但也可能導致高誤判率與高社會成本。請具體說明造成此現象的統計原因，並討論若採用此快速檢驗兩次（兩次都陽性才認定為陽性），是否能有效降低誤判與社會成本，並說明原因。（10 分）

政府想知道年資超過 10 年的計程車司機月收入是否高於 4.9 萬。隨機抽取年資超過 10 年的資深司機 20 位，月收入（萬元）如下（已由小到大）：

$2.16,\ 2.54,\ 2.78,\ 3.62,\ 3.88,\ 4.26,\ 4.70,\ 4.80,\ 4.92,\ 5.00,\ 5.08,\ 5.54,\ 6.02,\ 6.12,\ 6.46,\ 6.66,\ 6.94,\ 7.76,\ 8.06,\ 11.00$

請根據上述數據，以 $\alpha=0.05$ 的顯著水準，討論並完成下列分析與檢定：

(一) 若接受資料為近似常態，現欲採用母體平均數 $\mu$ 檢定：

直觀而言，我們以樣本平均 $\bar{X}$ 作為母體平均數 $\mu$ 的估計，因此可設 $\{\bar{X}>c\}$ 為拒絕域。請給出 $c$ 的明確式子（包含樣本變異數 $S^2$、樣本數以及分布分位數），並說明其原理。接著，利用本資料判定此拒絕域是否成立，即是否拒絕 $H_0:\mu=4.9$。（20 分）

(二) 若資料分布明顯偏離常態，可考慮採中位數 $m$ 檢定（sign test）：

請說明此檢定所使用的統計量、$p$ 值的計算，並就本資料說明是否拒絕 $H_0$。（20 分）

【原卷註】

若隨機變數 $T\sim t_{n-1}$ 分布，則 $(1-\alpha)$ 分位數 $t_{1-\alpha,n-1}$ 定義為

常見的數值有：

$t_{0.95,19}=1.729$、$t_{0.975,19}=2.093$、$t_{0.95,20}=1.725$、$t_{0.975,20}=2.086$。

若隨機變數 $Z\sim N(0,1)$ 分布，則 $(1-\alpha)$ 分位數 $z_{1-\alpha}$ 定義為

常見的數值有：$z_{0.95}=1.645$、$z_{0.975}=1.96$。

某公司欲了解其品牌產品的平均使用年限，隨機抽取樣本 7 件，其使用年限（單位：年）如下：

$5,\ 7,\ 4,\ 4,\ 5,\ 4,\ 6$

(一) 請試著以不偏的樣本偏態係數（skewness）來說明該分布是否近似常態。（10 分）

(二) 根據中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT），說明在本例樣本數 $n=7$ 的情況下，若直接以常態近似來建立平均數信賴區間，會產生什麼問題？產生的問題可以怎麼處理？（10 分）