112 國軍退除役轉任公務人員三等 衛生行政 生物統計學 考古題詳解

112 年・國軍退除役轉任公務人員・三等・衛生行政
試題代碼 生物統計學

第 一 題25 分

最近臨床感興趣的議題是使用新開發藥物減少 24 小時內發生心肌梗塞患者的梗塞面積。假設我們知道在未經治療的患者中，平均梗塞面積為 25 ck-g-EQ/m225\ \mathrm{ck\text{-}g\text{-}EQ/m^2}，標準差為 10 ck-g-EQ/m210\ \mathrm{ck\text{-}g\text{-}EQ/m^2}。在 8 名接受此新開發藥物治療的患者中，平均梗塞面積為 16 ck-g-EQ/m216\ \mathrm{ck\text{-}g\text{-}EQ/m^2}。

(一) 請問此新開發藥物對減少梗塞面積有顯著減少嗎？請以單尾檢定進行分析，並報告 pp 值。（10 分）

(二) 如果接受此新開發藥物治療的族群患者真實的平均梗塞面積為 20 ck-g-EQ/m220\ \mathrm{ck\text{-}g\text{-}EQ/m^2}，且 σ=10 ck-g-EQ/m2\sigma=10\ \mathrm{ck\text{-}g\text{-}EQ/m^2}，請以單尾檢定計算此檢定的檢力（power）。（15 分）

備註：P(Z≥0.23)=0.409P(Z\geq0.23)=0.409，P(Z≥1.645)=0.05P(Z\geq1.645)=0.05，P(Z≥1.96)=0.025P(Z\geq1.96)=0.025，P(Z≥2.55)=0.005P(Z\geq2.55)=0.005。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考「已知母體標準差下，單一樣本平均數的 ZZ 檢定」，以及「給定真實平均數時，檢定力（power）的計算」。

未治療患者的平均梗塞面積為 2525，可視為比較基準；題目提供母體標準差 σ=10\sigma=10，治療組樣本數 n=8n=8。因此樣本平均數的標準誤為

SE=σn.SE=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

題目關心藥物是否能「減少」梗塞面積，故採左尾單尾檢定，顯著水準依備註所列臨界值設定為 α=0.05\alpha=0.05。

（一）單尾檢定與 pp 值

假設與檢定統計量

令 μ\mu 為接受新藥患者的真實平均梗塞面積，假設為

H0:μ=25,H1:μ<25.H_0:\mu=25,\qquad H_1:\mu<25.

在虛無假設下，

SE=108≈3.536.SE=\frac{10}{\sqrt{8}}\approx 3.536.

觀察到治療組樣本平均數 xˉ=16\bar{x}=16，所以

Z=xˉ−μ0SE=16−2510/8≈−2.55.Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{SE} =\frac{16-25}{10/\sqrt{8}} \approx -2.55.

pp 值與判斷

左尾檢定的 pp 值為

p=P(Z≤−2.55)=P(Z≥2.55)=0.005.p=P(Z\leq -2.55)=P(Z\geq 2.55)=0.005.

因為 p=0.005<0.05p=0.005<0.05，拒絕 H0H_0。在單尾顯著水準 0.050.05 下，有統計證據支持新藥可降低平均梗塞面積。

（二）檢定力（power）

建立拒絕域

沿用（一）的左尾檢定，顯著水準為 α=0.05\alpha=0.05。左尾臨界值為 −1.645-1.645，因此拒絕域為

Z=Xˉ−2510/8<−1.645.Z=\frac{\bar{X}-25}{10/\sqrt{8}}<-1.645.

換算成樣本平均數的拒絕條件：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題20 分

假設有藥商宣稱其新產品的藥物在治療高血壓的有效率為 80%，今實際試驗 500 位高血壓患者，結果有 375 位高血壓患者在服用後血壓控制為正常。若欲檢測實際的試驗結果是否與藥商所宣稱的效果相符合，請進行檢定。（20 分）

備註：

χ0.025,12=5.02,χ0.025,22=7.38,χ0.025,32=9.35\chi^2_{0.025,1}=5.02,\quad \chi^2_{0.025,2}=7.38,\quad \chi^2_{0.025,3}=9.35 χ0.05,12=3.84,χ0.05,22=5.99,χ0.05,32=7.81\chi^2_{0.05,1}=3.84,\quad \chi^2_{0.05,2}=5.99,\quad \chi^2_{0.05,3}=7.81

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題是單一母體比例檢定。藥商宣稱有效率為 80%80\%，要檢驗實際觀察到的有效率是否與此宣稱相符，設定母體有效率為 pp：

H0:p=0.80,H1:p≠0.80H_0:p=0.80,\qquad H_1:p\ne 0.80

因題目問「是否相符合」，採雙尾檢定。顯著水準題目未明示，依題目所附臨界值採 α=0.05\alpha=0.05。樣本數為 n=500n=500，且在虛無假設下預期成功與失敗人數分別為 400400 人與 100100 人，適合以單一比例的卡方適合度檢定計算。

解題方法

觀察到正常控制血壓者 O1=375O_1=375 人、未正常控制者 O2=500−375=125O_2=500-375=125 人。若藥商宣稱成立，兩類的期望人數為：

E1=500(0.80)=400,E2=500(0.20)=100E_1=500(0.80)=400,\qquad E_2=500(0.20)=100

計算 Pearson 卡方統計量：

χ2=∑(O−E)2E=(375−400)2400+(125−100)2100\chi^2 =\sum\frac{(O-E)^2}{E} =\frac{(375-400)^2}{400} +\frac{(125-100)^2}{100}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題25 分

有一臨床試驗評估補充鈣（calcium）與骨化三醇（calcitriol）治療停經後骨質疏鬆症的相對療效。骨化三醇是一種能夠增加胃腸道對鈣吸收的藥物。由於治療的不良反應，包括口渴、皮膚問題和神經系統症狀，許多患者提早退出了這項研究。相關數據如下。

治療方式退出試驗：是退出試驗：否總計
骨化三醇27287314
補充鈣20288308
總計47575622

(一) 計算每種治療組中退出研究的受試者樣本比例。（5 分）

(二) 在 0.05 的顯著性水準下，檢驗虛無假設，即治療組與退出研究之間沒有關聯。得出什麼結論？（10 分）

(三) 請計算並解釋 OR 和其 95% 信賴區間。（10 分）

備註：

χ0.025,12=5.02,χ0.025,22=7.38,χ0.025,32=9.35\chi^2_{0.025,1}=5.02,\quad \chi^2_{0.025,2}=7.38,\quad \chi^2_{0.025,3}=9.35 χ0.05,12=3.84,χ0.05,22=5.99,χ0.05,32=7.81\chi^2_{0.05,1}=3.84,\quad \chi^2_{0.05,2}=5.99,\quad \chi^2_{0.05,3}=7.81

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查二分類資料的列聯表分析，包括組內樣本比例、卡方獨立性檢定，以及勝算比（odds ratio, OR）與其信賴區間。

令「退出試驗」為事件。對 2×22\times2 列聯表而言，Pearson 卡方獨立性檢定的自由度為

df=(列數−1)(欄數−1)=1.df=(列數-1)(欄數-1)=1.

若以 a,b,c,da,b,c,d 表示列聯表四格人數，則勝算比為

OR=adbc,OR=\frac{ad}{bc},

而 log⁡(OR)\log(OR) 的標準誤為

SE{log⁡(OR)}=1a+1b+1c+1d.SE\{\log(OR)\} =\sqrt{\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d}.

解題方法與計算

（一）各治療組退出研究的樣本比例

組內退出比例以「退出人數除以該組總人數」計算：

  • 骨化三醇組：
p^1=27314=0.0860≈8.60%.\hat p_1=\frac{27}{314}=0.0860\approx 8.60\%.
  • 補充鈣組：
p^2=20308=0.0649≈6.49%.\hat p_2=\frac{20}{308}=0.0649\approx 6.49\%.

（二）治療組與退出研究是否有關聯

虛無假設為 H0H_0：治療方式與是否退出試驗互相獨立；對立假設為 H1H_1：兩者不獨立。

在 H0H_0 下，各格期望次數為「列合計乘欄合計，再除以總人數」。例如，骨化三醇組退出的期望次數為

E11=314×47622≈23.73.E_{11}=\frac{314\times47}{622}\approx23.73.

四格期望次數約為 23.73、290.27、23.27、284.7323.73、290.27、23.27、284.73，均大於 5，因此可使用 Pearson 卡方檢定。

代入觀察次數與期望次數計算：

χ2=∑(O−E)2E≈0.99.\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}\approx0.99.

自由度為 11，顯著水準 α=0.05\alpha=0.05 的臨界值為 χ0.05,12=3.84\chi^2_{0.05,1}=3.84。由於 0.99<3.840.99<3.84，不拒絕虛無假設。此資料未顯示治療方式與退出試驗之間有統計上顯著的關聯。

（三）勝算比與 95% 信賴區間

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題30 分

假設患有某碳水化合物吸收不良症候群的嬰兒被餵食新配方奶粉後，其增加體重的分布大致呈常態分布，平均磅數為 μ=10.5\mu=10.5，標準差磅數為 σ=13.1\sigma=13.1。

(一) 有多少百分比嬰兒增加體重介在 5.1 到 15.2 磅之間？（10 分）

(二) 如果從該母群體中重複抽取樣本數 25 的樣本，則平均增重在 5.1 到 15.2 磅之間的樣本比例是多少？（10 分）

(三) 要使 95% 的樣本增加體重均值位於母群體增加體重均值的 ±2\pm2 磅以內，樣本必須要多大？（即介於 10.5−210.5-2 和 10.5+210.5+2 磅之間）（10 分）

備註：P(Z≥0.41)=0.341P(Z\geq0.41)=0.341，P(Z≥0.36)=0.359P(Z\geq0.36)=0.359，P(Z≥1.64)=0.051P(Z\geq1.64)=0.051，P(Z≥1.79)=0.037P(Z\geq1.79)=0.037，P(Z≥1.96)=0.025P(Z\geq1.96)=0.025，P(Z≥2.06)=0.020P(Z\geq2.06)=0.020。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考常態分布的標準化，以及樣本平均數的抽樣分布。

個別嬰兒的增重 XX 服從平均數 μ=10.5\mu=10.5 磅、標準差 σ=13.1\sigma=13.1 磅的常態分布。將觀察值轉換為標準常態變數：

Z=X−μσZ=\frac{X-\mu}{\sigma}

若抽取樣本數為 nn，樣本平均數 Xˉ\bar X 的平均數為 μ\mu，標準誤為 σXˉ=σ/n\sigma_{\bar X}=\sigma/\sqrt n，因此：

Z=Xˉ−μσ/nZ=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}

解題方法

（一）個別嬰兒增重介於 5.1 至 15.2 磅的比例

分別將區間端點標準化：

z1=5.1−10.513.1≈−0.41,z2=15.2−10.513.1≈0.36z_1=\frac{5.1-10.5}{13.1}\approx-0.41,\qquad z_2=\frac{15.2-10.5}{13.1}\approx0.36

所以：

P(5.1≤X≤15.2)=P(−0.41≤Z≤0.36)=P(Z≤0.36)+P(Z≥0.41)=(0.5−0.359)+0.341=0.482\begin{aligned} P(5.1\le X\le15.2) &=P(-0.41\le Z\le0.36)\\ &=P(Z\le0.36)+P(Z\ge0.41)\\ &=(0.5-0.359)+0.341\\ &=0.482 \end{aligned}

區間內約有 48.2% 的嬰兒。

（二）樣本數 25 時，樣本平均增重落在 5.1 至 15.2 磅的比例

樣本平均數的標準誤為：

σXˉ=13.125=2.62\sigma_{\bar X}=\frac{13.1}{\sqrt{25}}=2.62

將區間端點依樣本平均數的抽樣分布標準化：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

衛生行政《生物統計學》其他年度

110