111 海巡特考三等 海洋巡護科輪機組 船用電機與自動控制 考古題詳解

核心觀念

本題考感應馬達的最大轉矩條件。先將定子電源、定子漏抗及激磁電抗化為戴維寧等效，再以轉矩公式求最大轉矩，並由最大轉矩時的滑差反求 $R_2$。

四極馬達的同步機械角速度為

其中 $\omega_e=400\ \mathrm{rad/s}$、極數 $P=4$。

解題方法

馬達實際轉速為 $160\ \mathrm{rad/s}$，因此滑差為

將電源端及 $j2.5\ \Omega$ 定子漏抗，對轉子支路端點作戴維寧等效。激磁電抗為 $j10\ \Omega$，故

因此戴維寧電阻 $R_{\mathrm{th}}=0$，而轉子支路總漏抗為

核心觀念

本題評量**永磁直流馬達（Permanent Magnet DC Motor, PMDC）**之穩態運轉特性與參數推導，涵蓋以下核心物理定律與公式：

1. 電樞迴路電壓方程式（基爾霍夫電壓定律, KVL）： $V_t = E_a + I_a R_a$ 其中 $V_t$ 為端電壓（$\mathrm{V}$），$E_a$ 為電樞感應反電動勢（$\mathrm{V}$），$I_a$ 為電樞電流（$\mathrm{A}$），$R_a$ 為電樞電阻（$\Omega$）。

2. 感應反電動勢與電磁轉矩方程式： 永磁直流馬達的磁通量 $\Phi$ 為固定常數。在國際單位制（SI 制）下，反電動勢常數與轉矩常數相同，統稱為馬達常數 $K$（即 $K = K_e \Phi = K_T \Phi$）：

• 感應反電動勢： $E_a = K \omega_m$ 其中 $\omega_m$ 為旋轉角速度（$\mathrm{rad/s}$），$K$ 之單位為 $\mathrm{V\cdot s/rad}$。
• 電磁轉矩： $T_e = K I_a$ 其中 $T_e$ 為電磁轉矩（$\mathrm{N\cdot m}$），$K$ 之單位為 $\mathrm{N\cdot m/A}$（數值上 $1\ \mathrm{V\cdot s/rad} = 1\ \mathrm{N\cdot m/A}$）。

3. 機械力矩平衡條件： 在忽略旋轉摩擦與風阻損耗之穩態條件下，電磁轉矩等於負載轉矩： $T_e = T_L$

解題方法

步驟一：由輕載（無載）條件求解馬達常數 $K$

題目給定在輕載運轉時消耗電流可忽略（$I_{a0} \approx 0\ \mathrm{A}$），轉速 $\omega_{m0} = 200\ \mathrm{rad/s}$，電源電壓 $V_t = 250\ \mathrm{V}$。

由電樞電壓方程式： $E_{a0} = V_t - I_{a0} R_a = 250 - 0 \times 1 = 250\ \mathrm{V}$

代入反電動勢公式求得馬達常數 $K$： $K = \frac{E_{a0}}{\omega_{m0}} = \frac{250\ \mathrm{V}}{200\ \mathrm{rad/s}} = 1.25\ \mathrm{V\cdot s/rad}\quad (\text{或 } 1.25\ \mathrm{N\cdot m/A})$

步驟二：（一）求負載轉矩 $100\ \mathrm{N\cdot m}$ 時之消耗電流

當馬達加載驅動 $T_L = 100\ \mathrm{N\cdot m}$ 時，穩態運轉下電磁轉矩滿足： $T_e = T_L = 100\ \mathrm{N\cdot m}$

核心觀念

本題考查方塊圖的訊號追蹤、分支點與加總點，以及閉迴路轉移函數的求解。先為各加總點寫出訊號方程，再聯立消去內部訊號，即可求得總轉移函數。

原圖的加總點未標示正、負號。以下依「各加總點的輸入皆為正向相加」作答。

解題方法

令 $x$ 為 $G_2$ 的輸出，也就是回授支路取訊號的位置；令 $c$ 為第二個加總點的輸出，也就是 $G_2$、$G_4$ 的輸入。

依圖中連線，各加總點的訊號關係為

由 $x=G_2c$，代入 $c$ 的方程：

移項後得到

再由 $c=G_1u+(G_1+G_5)x$，可得

核心觀念

本題考三輸入布林函數的真值表與布林表達式。輸入 $r,y,g$ 分別代表紅燈、黃燈、綠燈，燈亮為 $1$、燈關為 $0$；輸出 $v=1$ 表示燈號組合有效。

依原卷圖示，有效組合共四種：紅燈、紅黃燈、黃燈、綠燈。特別是紅燈與黃燈同時亮，仍屬有效。

解題方法

逐一列出三個輸入的八種組合，將圖示中的四種有效組合標為 $v=1$，其餘標為 $v=0$：

將輸出為 $1$ 的列寫成最小項相加，可得：

整理後，前兩個紅黃燈組合可合併為：