110 關務特考三等 電機工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

本題考查三相平衡負載的功率與線量關係，以及並聯電容器的功率因數補償。

三相平衡系統中：

$$S=\sqrt{3}V_LI_L,\qquad P=S\cos\phi,\qquad Q=S\sin\phi=P\tan\phi$$

其中 $P$ 為實功率、$Q$ 為虛功率，感應電動機的虛功率為感性，故以「落後」表示；理想電容器提供超前虛功率，用來抵銷部分感性虛功率。

電動機與電容器並聯後，總實功率不變，總虛功率則為兩者虛功率的代數和。

解題方法

(一) 感應電動機的輸入實功率與輸入虛功率

電容器為理想元件，不消耗實功率，因此補償前後的總實功率相同。先由補償後的電源線電流及功率因數求實功率：

$$P_m=\sqrt{3}V_LI_{L,\mathrm{總}}\cos\phi$$ $$P_m=\sqrt{3}(440)(34.1)(0.9) \approx 23.39\ \mathrm{kW}$$

電動機原本的三相視在功率為：

$$S_m=\sqrt{3}V_LI_{L,m} =\sqrt{3}(440)(40) \approx 30.48\ \mathrm{kVA}$$

因此電動機的輸入虛功率為：

$$Q_m=\sqrt{S_m^2-P_m^2}$$ $$Q_m=\sqrt{(30.48)^2-(23.39)^2} \approx 19.55\ \mathrm{kvar}$$

電動機為感性負載，所以 $Q_m$ 為落後虛功率。

(二) 電容器組每相電容值與每相電流值

補償後的總虛功率為：

$$Q_{\mathrm{總}} =P_m\tan(\cos^{-1}0.9)$$ $$Q_{\mathrm{總}} \approx 23.39\times 0.4843 \approx 11.33\ \mathrm{kvar}$$

電容器提供的虛功率大小為電動機原虛功率減去補償後的總虛功率：

$$Q_C=Q_m-Q_{\mathrm{總}} \approx 19.55-11.33 =8.22\ \mathrm{kvar}$$

電容器組為 $\Delta$ 連接，每相承受線電壓 $V_L=440\ \mathrm{V}$。每相電容器的虛功率為 $Q_C/3$，且 $Q_{\text{每相}}=V_L^2\omega C$，其中 $\omega=2\pi f$。因此：

$$C=\frac{Q_C}{3V_L^2\omega} =\frac{8.22\times 10^3}{3(440)^2(2\pi)(60)} \approx 7.51\times10^{-5}\ \mathrm{F}$$

核心觀念

同步發電機忽略電樞電阻時，單相等效電路為

$$\underline E=\underline V+jX_s\underline I$$

其中 $\underline E$ 為內電勢，$\underline V$ 為端電壓，$X_s$ 為同步電抗。三相 Y 接機的標麼電壓與電流，可直接在同一標麼基底下使用。

發電機輸出的複功率為

$$\underline S=P+jQ=3\underline V_{\mathrm{ph}}\underline I_{\mathrm{ph}}^{\,*}.$$

題目所給「功率因數 $0.85$ 落後」表示電流落後端電壓，故發電機輸出虛功為正。場電流下降 $20\%$ 時，假設磁路未進入飽和，內電勢大小也下降 $20\%$。

解題方法

以發電機額定值作為標麼基底：

$$S_B=2\ \mathrm{GVA},\qquad V_{B,LL}=24\ \mathrm{kV},\qquad X_s=1.0\ \mathrm{pu}.$$

端電壓以 $24\ \mathrm{kV}$ 為基底，因此

$$\underline V=1\angle 0^\circ\ \mathrm{pu}.$$

初始輸出為 $1\ \mathrm{GVA}$、功率因數 $0.85$ 落後，故

$$P_1=1(0.85)=0.85\ \mathrm{GW}=0.425\ \mathrm{pu},$$ $$Q_1=1\sin(\cos^{-1}0.85)=0.52678\ \mathrm{Gvar} =0.26339\ \mathrm{pu}.$$

複功率標麼值為 $\underline S_1=0.425+j0.26339$ pu。由 $\underline S=\underline V\underline I^*$，得

$$\underline I_1=0.425-j0.26339\ \mathrm{pu}.$$

因此

$$\underline E_1 =1+j(1)(0.425-j0.26339) =1.26339+j0.425.$$

內電勢大小及功率角為

$$|E_1|=\sqrt{1.26339^2+0.425^2}=1.3330\ \mathrm{pu},$$

核心觀念

三相短路的初始對稱均方根值電流，使用發電機與同步馬達的次暫態電抗 $X_d''$ 計算。忽略故障前馬達負載電流時，可將各電源以故障前電壓作為內部電勢，並以其電抗構成故障點的戴維寧等效電路。

三部馬達並聯於匯流排 A，其次暫態電抗先並聯；匯流排 B 的短路容量則可換算成等效電抗，再與輸電線電抗串聯，作為由 B 側看入的電源支路。

解題方法

題目所給的電抗標麼值以 $2\ \mathrm{MVA}$、$440\ \mathrm{V}$ 為基準。選用相同的共同基準，故馬達電抗可直接比較與運算。

三部馬達的等效次暫態電抗為

$$X_M''=\left(\frac{1}{0.5}+\frac{1}{0.25}+\frac{1}{0.15}\right)^{-1} =0.07317\ \mathrm{pu}.$$

匯流排 B 的短路容量為 $20\ \mathrm{MVA}$，以 $2\ \mathrm{MVA}$ 為基準換算，其等效電抗為

$$X_B=\frac{S_{\mathrm{base}}}{S_{\mathrm{sc}}} =\frac{2}{20}=0.1\ \mathrm{pu}.$$

基準阻抗為

$$Z_{\mathrm{base}}=\frac{V_{\mathrm{base}}^2}{S_{\mathrm{base}}} =\frac{440^2}{2\times10^6} =0.0968\ \Omega.$$

三條相同輸電線並聯，因此線路等效電抗為

$$X_{\mathrm{line}}=\frac{0.05}{3}=0.01667\ \Omega$$

換算成標麼值：

$$X_{\mathrm{line,pu}}=\frac{0.01667}{0.0968}=0.17218\ \mathrm{pu}.$$

由 B 側電源看入匯流排 A 的總電抗為

$$X_{\mathrm{grid}}=X_B+X_{\mathrm{line,pu}} =0.1+0.17218=0.27218\ \mathrm{pu}.$$

馬達群與電力系統兩側的電源支路並聯，故故障點等效電抗為

核心觀念

本題考查同步發電機組的速度調整率（speed regulation）與頻率變化時的調速器功率響應。速度調整率表示機組由空載至滿載時，頻率（或轉速）的變化比例：

$$R=\frac{\Delta f/f_{\mathrm{額定}}}{\Delta P/P_{\mathrm{額定}}}$$

因此，頻率改變造成的機組輸出功率變化為：

$$\Delta P=-\frac{P_{\mathrm{額定}}}{R}\frac{\Delta f}{f_{\mathrm{額定}}}$$

負號表示頻率上升時，調速器會減少機組的機械輸入功率，因而使發電機輸出功率下降。

解題方法

系統頻率變化量為：

$$\Delta f=60.15-60=0.15\ \mathrm{Hz}$$

相對頻率變化率為：

$$\frac{\Delta f}{f_{\mathrm{額定}}} =\frac{0.15}{60} =0.0025$$

機組 A 的額定功率為 $300\ \mathrm{MW}$，速度調整率為 $5\%=0.05$：