110 關務特考三等 電機工程 電機機械 考古題詳解

110 年・關務特考・三等・電機工程
試題代碼 電機機械

第 一 題20 分

某部單相額定 100100 仟伏安、2000/2002000/200 伏特的雙繞組變壓器，連接如下圖所示的自耦變壓器。其中 a,ba,b 端的電壓為 200200 伏特，且 b,cb,c 端的電壓為 20002000 伏特。在額定運轉狀態下，回答下列問題：

圖示資訊：a,ba,b 端電壓為 200 V200\ \mathrm{V}，b,cb,c 端電壓為 2000 V2000\ \mathrm{V}；a,ca,c 端電壓為 VH=2200 VV_H=2200\ \mathrm{V}。端點 aa 流過電流 IHI_H，端點 bb 流過電流 ILI_L。

(一) 計算 IHI_H 電流為若干安培。

(二) 計算 ILI_L 電流為若干安培。

(三) 計算此部自耦變壓器的容量為若干仟伏安。

(四) 說明自耦變壓器的優點及缺點。

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核心觀念

本題考自耦變壓器的電流關係與容量換算。雙繞組變壓器的兩個繞組各自額定容量為 100 kVA100\ \mathrm{kVA}，其額定電流為：

  • 200 V200\ \mathrm{V} 繞組（a−ba-b）： I200=100 000200=500 AI_{200}=\frac{100\,000}{200}=500\ \mathrm{A}
  • 2000 V2000\ \mathrm{V} 繞組（b−cb-c）： I2000=100 0002000=50 AI_{2000}=\frac{100\,000}{2000}=50\ \mathrm{A}

圖中兩繞組串聯相加，故 a−ca-c 端電壓為 200+2000=2200 V200+2000=2200\ \mathrm{V}。自耦變壓器的 a−ba-b 串聯繞組流過高壓側電流 IHI_H；b−cb-c 公共繞組流過兩側線電流的差。

解題方法

依圖中電流方向，在接點 bb 套用電流定律：

IL=IH+IcommonI_L=I_H+I_{\mathrm{common}}

其中 IcommonI_{\mathrm{common}} 是 b−cb-c 公共繞組電流。額定運轉時，a−ba-b 繞組承受額定電流，因此：

IH=I200=500 AI_H=I_{200}=500\ \mathrm{A}

而 b−cb-c 繞組承受額定電流 50 A50\ \mathrm{A}，所以：

Icommon=IL−IH=50 AI_{\mathrm{common}}=I_L-I_H=50\ \mathrm{A}

因此：

IL=IH+50=500+50=550 AI_L=I_H+50=500+50=550\ \mathrm{A}

自耦變壓器輸出容量為高壓端電壓乘以高壓端電流：

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第 二 題20 分

某部三相、1515 馬力、44 極、線—線電壓為 460460 伏特、6060 赫芝、額定轉速 17281728 轉／分的感應電動機，運轉在滿載狀態下，且該部電動機的風損及摩擦損合計為 750750 瓦特。試計算該部電動機的：

(一) 滑差（slip）為若干。

(二) 轉軸功率（shaft power）為若干仟瓦。

(三) 氣隙功率（air gap power）為若干仟瓦。

(四) 轉子銅損為若干瓦特。

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核心觀念

本題考查三相感應電動機的同步轉速、滑差，以及轉子輸入的氣隙功率如何分配為轉子銅損與機械功率。滿載轉軸功率等於銘牌馬力換算後的輸出功率；風損及摩擦損則是機械功率的一部分損失。

解題方法

同步轉速為

ns=120fP=120×604=1800 轉／分n_s=\frac{120f}{P} =\frac{120\times60}{4} =1800\ \text{轉／分}

其中 ff 為電源頻率，PP 為極數。滑差為

s=ns−nrns=1800−17281800=0.04s=\frac{n_s-n_r}{n_s} =\frac{1800-1728}{1800} =0.04

因此，滑差為 4%4\%。

11 馬力約為 746746 瓦，故滿載轉軸功率為

Pshaft=15×746=11190 瓦=11.19 仟瓦P_{\text{shaft}}=15\times746=11190\ \text{瓦} =11.19\ \text{仟瓦}

電動機轉軸輸出功率等於氣隙功率扣除轉子銅損及機械損失。扣除風損及摩擦損後，轉子所轉換出的機械功率為

Pmech=Pshaft+P風摩=11190+750=11940 瓦P_{\text{mech}}=P_{\text{shaft}}+P_{\text{風摩}} =11190+750 =11940\ \text{瓦}

感應電動機中，轉子機械功率與氣隙功率的關係為

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第 三 題20 分

某部三相、55 仟伏安、線—線電壓 220220 伏特、44 極、6060 赫芝、Y 接的同步發電機。此部發電機的電樞電阻可忽略不計，且其同步電抗（synchronous reactance）為每相 88 歐姆。

若此部發電機並聯到三相、220220 伏特、6060 赫芝的電壓源，以便進行供電。適當地調整同步機的激磁電流，使該部發電機運轉在額定的 55 仟伏安、功率因數為 0.80.8 落後，進行供電。試：

(一) 計算發電機每相的激磁電壓（excitation voltage）EfE_f 為若干伏特。

(二) 計算功率角（power angle）δ\delta 為若干。

(三) 計算每相的電樞電流 IaI_a 為若干安培。

(四) 繪出此發電機相關電壓及電流關係的相量圖，包括每相的端電壓 VtV_t、電樞電流 IaI_a、激磁電壓（excitation voltage）EfE_f 及功率角 δ\delta。

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核心觀念

本題考同步發電機的每相等效電路、額定三相視在功率與功率因數的關係，以及功率角的定義。忽略電樞電阻時，發電機每相相量方程式為

E‾f=V‾t+jXsI‾a\underline{E}_f=\underline{V}_t+jX_s\underline{I}_a

其中 E‾f\underline{E}_f 為激磁電壓，V‾t\underline{V}_t 為端電壓，XsX_s 為同步電抗，I‾a\underline{I}_a 為電樞電流。發電機供電時，電流由發電機流出，故採用上述發電機方程式。

解題方法

以每相端電壓為相量基準，令 V‾t=Vt∠0∘\underline{V}_t=V_t\angle 0^\circ。因為發電機為 Y 接：

Vt=VLL3=2203=127.02 VV_t=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}=\frac{220}{\sqrt{3}}=127.02\text{ V}

額定線電流由三相視在功率求得：

S3ϕ=3VLLILS_{3\phi}=\sqrt{3}V_{LL}I_L Ia=IL=50003×220=13.12 AI_a=I_L=\frac{5000}{\sqrt{3}\times220}=13.12\text{ A}

功率因數為 0.80.8 落後，故電流落後端電壓：

ϕ=cos⁡−1(0.8)=36.87∘\phi=\cos^{-1}(0.8)=36.87^\circ I‾a=13.12∠−36.87∘ A\underline{I}_a=13.12\angle-36.87^\circ\text{ A}

由於 cos⁡ϕ=0.8\cos\phi=0.8、sin⁡ϕ=0.6\sin\phi=0.6，將電流乘上 jXsjX_s 相當於將電流相量逆時針旋轉 90∘90^\circ：

jXsI‾a=8(13.12)∠(90∘−36.87∘)=104.97∠53.13∘ VjX_s\underline{I}_a =8(13.12)\angle(90^\circ-36.87^\circ) =104.97\angle53.13^\circ\text{ V}

其直角座標分量為

jXsI‾a=104.97(0.6+j0.8)=62.98+j83.98 VjX_s\underline{I}_a =104.97(0.6+j0.8) =62.98+j83.98\text{ V}

因此

E‾f=127.02+(62.98+j83.98)=190.00+j83.98 V\underline{E}_f =127.02+(62.98+j83.98) =190.00+j83.98\text{ V}
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第 四 題20 分

某部額定轉速 10001000 轉／分的他激式直流電動機，激磁場固定且額定，其電樞電阻 RaR_a 為 0.10.1 歐姆，且將該部直流電動機連接到 100100 伏特的直流電源供應器（DC power supply），且此部直流電源供應器的輸出電流沒有任何限制。

(一) 若不加任何的起動電阻時，試求此部電動機在起動瞬間的起動電流為若干安培。

(二) 計算此部電動機在額定轉速下，且輸入功率為 1010 仟瓦時的電樞電流為若干安培。

(三) 若欲使此部電動機在起動瞬間的起動電樞電流限制在 200200 安培，試計算需串接多少歐姆的起動電阻。

(四) 試求在上述(三)題中，在起動瞬間的起動電阻功率損失為若干仟瓦。

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核心觀念

他激式直流電動機的激磁磁通固定時，反電動勢與轉速成正比：

Ea=kϕωE_a=k\phi\omega

電樞端電壓方程式為：

V=Ea+IaRaV=E_a+I_aR_a

起動瞬間轉速為零，因此反電動勢 Ea=0E_a=0。若未串接起動電阻，起動電流只受電樞電阻限制。起動時串接電阻，則總串聯電阻為電樞電阻與起動電阻之和。

解題方法

（一）未加起動電阻的起動電流

起動瞬間 Ea=0E_a=0，因此：

Istart=VRa=1000.1=1000 AI_{\text{start}}=\frac{V}{R_a} =\frac{100}{0.1} =1000\ \text{A}

（二）額定轉速下、輸入功率為 10 kW10\ \text{kW} 時的電樞電流

直流電源輸入功率為：

Pin=VIaP_{\text{in}}=VI_a

故：

Ia=PinV=10 000100=100 AI_a=\frac{P_{\text{in}}}{V} =\frac{10\,000}{100} =100\ \text{A}

題目給定額定轉速 10001000 轉／分，但本小題直接由輸入功率與端電壓求電樞電流，不需要用到轉速。此時電樞反電動勢為：

Ea=V−IaRa=100−(100)(0.1)=90 VE_a=V-I_aR_a =100-(100)(0.1) =90\ \text{V}
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第 五 題20 分

試回答下列問題：

(一) 說明內藏式永磁同步電動機（interior permanent magnet synchronous motor）與表面黏著永磁同步電動機比較，有哪些優點及缺點。

(二) 說明變頻器（inverter）的功用為何。

(三) 說明單相感應電動機的起動方法。

(四) 說明步進馬達（stepper motor）的優點及缺點。

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核心觀念

本題考查四種電機元件或電力電子裝置的基本原理與特性比較：

  1. 內藏式永磁同步電動機（IPMSM）與表面黏著式永磁同步電動機（SPMSM）的轉子結構與性能差異。
  2. 變頻器將固定頻率交流電轉換為可調頻率、可調電壓的交流電，以控制交流馬達。
  3. 單相感應電動機的脈動磁場本身不能產生起動轉矩，須設法形成相位差或旋轉磁場。
  4. 步進馬達依輸入脈波逐步轉動，適合開迴路位置控制，但有速度、振動及失步等限制。

（一）IPMSM 與 SPMSM 的優缺點

**原理與切入點：**SPMSM 的永磁體貼附於轉子表面；IPMSM 的永磁體埋入轉子鐵心。由轉子磁阻、磁凸極效應，以及永磁體的機械固定方式，可比較兩者的性能。

  • IPMSM 的優點
  1. **磁阻轉矩可與永磁轉矩相加：**內藏式轉子具有磁凸極性，通常 Lq≠LdL_q \ne L_d，可利用磁阻轉矩提升總轉矩。其電磁轉矩可表示為 Te=32p[ψfiq+(Ld−Lq)idiq]T_e=\frac{3}{2}p\left[\psi_f i_q+(L_d-L_q)i_d i_q\right] 其中 pp 為極對數、ψf\psi_f 為永磁磁鏈，idi_d、iqi_q 為 dd、qq 軸電流。第二項即為磁阻轉矩。
  2. **適合高速運轉與弱磁控制：**埋入式磁石受轉子鐵心保護，機械強度較高，較能承受高速運轉所產生的離心力；並可透過弱磁控制擴大高速操作範圍。
  3. **磁石較不易脫落：**磁石由轉子鐵心固定，適合高速及較嚴苛的運轉環境。
  • IPMSM 的缺點
  1. **轉子結構與製造較複雜：**磁石槽及轉子磁路設計要求較高，製造成本與設計難度通常較高。
  2. **控制較複雜：**磁凸極性造成 dd、qq 軸電感不同，控制時須考量磁阻轉矩及參數變化。
  3. **轉矩脈動與磁路飽和需妥善處理：**轉子磁路設計不當時，可能增加轉矩脈動、噪音及損耗。
  • SPMSM 的優點
  1. **結構與控制較簡單：**轉子磁石貼於表面，dd、qq 軸電感通常較接近，控制分析較直觀。
  2. **氣隙磁通密度與轉矩密度高：**磁石直接面對氣隙，通常可提供較高的永磁磁鏈與良好的低速轉矩性能。
  • SPMSM 的缺點
  1. **高速機械強度較受限制：**表面磁石須靠黏著劑或套筒固定，承受高速離心力的能力較弱。
  2. **磁阻轉矩貢獻較小：**磁凸極性通常不明顯，輸出轉矩主要依靠永磁轉矩。
  3. **弱磁高速操作較受限制：**磁石直接面對氣隙，弱磁控制及高速運轉的範圍通常較不利。

**解題技巧：**看到「內藏式」即可連結「磁凸極、磁阻轉矩、高速固定性較佳、結構及控制較複雜」；看到「表面黏著式」則連結「結構與控制較簡單、低速性能佳，但高速磁石固定較受限」。

（二）變頻器的功用

**核心觀念：**變頻器將電源的交流電轉換成頻率、電壓可控制的交流電，藉以調整交流馬達的同步轉速與運轉狀態。典型電壓源型變頻器的能量轉換流程為：

交流電源→整流器→直流鏈→逆變器→可變頻、可變壓交流電\text{交流電源}\rightarrow\text{整流器}\rightarrow\text{直流鏈}\rightarrow\text{逆變器}\rightarrow\text{可變頻、可變壓交流電}

對感應馬達而言，同步轉速為

ns=120fPn_s=\frac{120f}{P}

其中 nsn_s 為同步轉速（rpm）、ff 為電源頻率（Hz）、PP 為極數。因此，改變輸出頻率即可調整馬達轉速。變頻器通常也配合頻率調整電壓，以維持適當的磁通；低速時常採 V/fV/f 控制，較高性能場合則可採向量控制或直接轉矩控制。

**解題方法：**回答時交代「電力轉換」與「馬達控制」兩層功能：先說明交流電經整流、直流鏈及逆變後成為可調交流電，再指出調整頻率可改變轉速，調整電壓可配合磁通及轉矩需求

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