111 關務特考三等 電機工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

本題考查單相 RLC 串聯電路的：

• 感抗、容抗與總電抗
• 阻抗大小
• 歐姆定律
• 功率因數
• 瞬時功率的最大值與最小值
• 平均功率

交流電源標示 $200\text{ V}$，視為有效值。串聯電路的總阻抗為

$$Z=R+j(X_L-X_C)$$

其中：

• $R$ 為電阻
• $X_L$ 為感抗
• $X_C$ 為容抗

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解題方法

先求總電抗與阻抗

總電抗為

$$X=X_L-X_C=20-8=12\ \Omega$$

因為 $X>0$，故電路呈現感性，電流落後電壓。

總阻抗為

$$Z=16+j12\ \Omega$$

阻抗角為

$$\phi=\tan^{-1}\left(\frac{X}{R}\right) =\tan^{-1}\left(\frac{12}{16}\right) =36.87^\circ$$

因此電流相位落後電壓 $36.87^\circ$。

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（一）阻抗大小

阻抗大小為

$$|Z|=\sqrt{R^2+X^2}$$

代入數值：

$$|Z|=\sqrt{16^2+12^2} =\sqrt{256+144} =\sqrt{400} =20\ \Omega$$

因此

$$\boxed{|Z|=20\ \Omega}$$

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（二）電流大小

依交流電路歐姆定律：

$$I=\frac{V}{|Z|}$$

代入：

$$I=\frac{200}{20}=10\text{ A}$$

因此電流有效值為

$$\boxed{I=10\text{ A}}$$

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（三）功率因數

功率因數定義為

$$\cos\phi=\frac{R}{|Z|}$$

代入：

$$\cos\phi=\frac{16}{20}=0.8$$

由於總電抗為正，電路呈感性，因此為「落後功率因數」：

$$\boxed{\text{功率因數}=0.8\text{ 落後}}$$

也可由阻抗角表示：

$$\phi=36.87^\circ,\qquad \cos\phi=0.8$$

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（四）最大瞬時功率

瞬時功率公式

設電壓與電流分別為

$$v(t)=V_m\cos\omega t$$ $$i(t)=I_m\cos(\omega t-\phi)$$

瞬時功率為

$$p(t)=v(t)i(t)$$

利用三角函數乘積公式：

$$p(t)=\frac{V_mI_m}{2} \left[\cos\phi+\cos(2\omega t-\phi)\right]$$

因為

$$V_m=\sqrt{2}V,\qquad I_m=\sqrt{2}I$$

所以

$$\frac{V_mI_m}{2}=VI$$

因此瞬時功率可寫成

$$p(t)=VI\left[\cos\phi+\cos(2\omega t-\phi)\right]$$

本題中：

$$VI=200\times10=2000\text{ W}$$ $$\cos\phi=0.8$$

最大瞬時功率發生於

核心觀念

兩具單相變壓器接成 $V$-$V$ 連接，即「開三角形連接（open-delta connection）」供應三相平衡負載。

本題使用下列關係：

1. 三相負載視在功率： $S_{3\phi}=\sqrt{3}V_LI_L$

2. 開三角形中，每具變壓器的容量相同時，總容量為： $S_{3\phi}=\sqrt{3}S_T$

3. 平衡負載功率因數為 $0.8$ 落後，因此： $\cos\phi=0.8,\qquad \sin\phi=0.6$ $\phi=\cos^{-1}(0.8)=36.87^\circ$

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解題方法

（一）每具變壓器最小功率額定

開三角形連接的兩具變壓器，每具承擔的視在功率為：

$$S_T=\frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}}$$

代入三相負載容量 $250\text{ kVA}$：

$$S_T=\frac{250}{\sqrt{3}} =144.34\text{ kVA}$$

因此，每具變壓器至少須選用：

$$\boxed{144.34\text{ kVA}}$$

實際選用標準容量時，應選擇不低於此值的標準額定容量。

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（二）變壓器繞組電流大小

三相負載線電流為：

$$I_L=\frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}V_L}$$

代入：

$$I_L=\frac{250\times10^3}{\sqrt{3}\times460}$$ $$I_L=313.72\text{ A}$$

在 $V$-$V$ 連接中，每具變壓器繞組直接接於兩條線之間，其繞組電流大小等於三相負載線電流，因此：

$$\boxed{I_T=313.72\text{ A}}$$

這裡的電流是指 $460\text{ V}$ 側繞組電流；若要求一次側電流，還需要提供變壓器匝數比。

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（三）每具變壓器供應的實功率

雖然三相負載平衡，但在 $V$-$V$ 連接中，兩具變壓器的實功率分配一般不相等。必須利用相量角度計算。

令其中一具變壓器的端電壓為參考相角 $0^\circ$，則另一具變壓器端電壓相差 $120^\circ$。由於負載功率因數為 $0.8$ 落後，負載電流落後相應相電壓：

$$\phi=36.87^\circ$$

兩具變壓器的功率因數角分別為：

$$30^\circ+\phi=66.87^\circ$$

以及

$$30^\circ-\phi=-6.87^\circ$$

每具變壓器的視在功率為：

$$S_T=144.34\text{ kVA}$$

核心觀念

本題考查三相同步發電機並聯運轉時，實功率與虛功率的分配原理：

• 原動機輸入及轉矩主要決定發電機輸出的實功率 $P$。
• 激磁電流主要影響同步發電機輸出的虛功率 $Q$ 及功率因數。
• 並聯運轉時，兩部發電機端電壓與頻率相同。
• 在負載總功率維持不變下，激磁改變只會使兩部發電機重新分配虛功率。

三相電路的視在功率、功率因數及電流關係為

$$S=\sqrt{P^2+Q^2}$$ $$\cos\phi=\frac{P}{S}$$ $$Q=P\tan\phi$$ $$I=\frac{S}{\sqrt{3}V_L}$$

其中 $V_L=220\text{ V}$ 為線電壓，且落後功率因數表示發電機輸出感性虛功率，取 $Q>0$。

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解題方法

一、求初始運轉時的總實功率與總虛功率

每部發電機額定視在功率為

$$S_N=45\text{ kVA}$$

額定功率因數為 $0.7$ 落後，因此每部發電機原先輸出的實功率為

$$P_{G1}=P_{G2} =45(0.7) =31.5\text{ kW}$$

所以總實功率為

$$P_{\text{total}}=31.5+31.5=63\text{ kW}$$

原先每部發電機的虛功率為

$$Q_0 =S_N\sin\phi_0 =45\sqrt{1-0.7^2}$$ $$Q_0=45\sqrt{0.51} =32.14\text{ kVAr}$$

故負載總虛功率為

$$Q_{\text{total}} =2Q_0 =64.27\text{ kVAr}$$

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二、求改變激磁後的實功率

激磁電流改變主要影響虛功率分配，並未改變原動機輸入功率。因此在本題標準並聯運轉假設下，兩部發電機的實功率輸出維持原值：

$$\boxed{P_{G1}=31.5\text{ kW}}$$ $$\boxed{P_{G2}=31.5\text{ kW}}$$

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三、求 $G_2$ 的虛功率

$G_2$ 的功率因數提高至 $0.9$ 落後，因此

$$\cos\phi_2=0.9$$ $$\tan\phi_2 =\frac{\sqrt{1-0.9^2}}{0.9} =\frac{\sqrt{0.19}}{0.9} =0.4843$$

所以

$$Q_{G2} =P_{G2}\tan\phi_2 =31.5(0.4843)$$ $$\boxed{Q_{G2}=15.26\text{ kVAr}}$$

由於總負載虛功率不變，$G_2$ 減少的虛功率由 $G_1$ 補足，因此

$$Q_{G1} =Q_{\text{total}}-Q_{G2}$$ $$Q_{G1} =64.27-15.26 =49.02\text{ kVAr}$$

故

$$\boxed{Q_{G1}=49.02\text{ kVAr}}$$

兩部發電機皆為輸出感性虛功率，因此均為落後功率因數。

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核心觀念

本題考查三相感應電動機的基本定義與額定運轉關係：

• 同步轉速： $n_s=\frac{120f}{P}$
• 轉差率： $s=\frac{n_s-n_r}{n_s}$
• 轉子頻率： $f_r=sf$
• 額定負載轉矩： $T=\frac{P_{\text{out}}}{\omega_r}$

其中：

• $f$：電源頻率，單位為 Hz
• $P$：極數
• $n_s$：同步轉速，單位為 rpm
• $n_r$：轉子轉速，單位為 rpm
• $s$：轉差率
• $f_r$：轉子頻率
• $P_{\text{out}}$：額定輸出功率
• $\omega_r$：轉子角速度，單位為 rad/s

題目所給的 $220\text{ V}$、Y 接及單位功率因數，對本題四個小題的計算均不需使用。

解題方法

依序由電源頻率與極數求同步轉速，再利用轉差率求轉子轉速及轉子頻率，最後以額定輸出功率除以轉子角速度求轉矩。

額定輸出功率採用：

$1\text{ HP}=746\text{ W}$

因此：

$P_{\text{out}}=20\times746=14920\text{ W}$

（一）同步轉速

三相感應電動機的同步轉速為：

$n_s=\frac{120f}{P}$

代入 $f=60\text{ Hz}$、$P=4$：

$n_s=\frac{120\times60}{4}=1800\text{ rpm}$

因此：

$\boxed{n_s=1800\text{ rpm}}$

（二）額定負載時的轉子轉速

轉差率定義為：

$s=\frac{n_s-n_r}{n_s}$

整理得：

$n_r=(1-s)n_s$

題目給定滿載轉差率為 $5\%$：

$s=0.05$

因此：

$n_r=(1-0.05)\times1800$

$n_r=0.95\times1800=1710\text{ rpm}$

因此：

$\boxed{n_r=1710\text{ rpm}}$

（三）額定負載時的轉子頻率

轉子頻率與轉差率的關係為：

$f_r=sf$

代入 $s=0.05$、$f=60\text{ Hz}$：

$f_r=0.05\times60=3\text{ Hz}$