109 關務特考三等 電機工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

本題考查單相變壓器的開路與短路試驗，以及等效電路參數的求取。開路試驗主要求並聯激磁支路參數 $R_c、X_m$；短路試驗主要求串聯等效參數 $R_{\mathrm{eq}}、X_{\mathrm{eq}}$。參數換算至指定側時，依匝數比平方換算。

額定電壓比為 $240:600$，匝數比為

$$a=\frac{600}{240}=2.5$$

以變壓器額定值為基值，低壓側基阻抗為

$$Z_{\mathrm{base,LV}}=\frac{240^2}{24\,000}=2.4\ \Omega$$

高壓側基阻抗為

$$Z_{\mathrm{base,HV}}=\frac{600^2}{24\,000}=15\ \Omega$$

解題方法

開路試驗在低壓側進行，故直接求得的激磁支路參數位於低壓側。開路功率視為鐵損，且激磁電流分解為鐵損分量與磁化分量：

$$R_c=\frac{V_{\mathrm{oc}}^2}{P_{\mathrm{oc}}},\qquad I_c=\frac{P_{\mathrm{oc}}}{V_{\mathrm{oc}}},\qquad I_m=\sqrt{I_{\mathrm{oc}}^2-I_c^2},\qquad X_m=\frac{V_{\mathrm{oc}}}{I_m}$$

代入 $V_{\mathrm{oc}}=240\ \mathrm{V}$、$I_{\mathrm{oc}}=5\ \mathrm{A}$、$P_{\mathrm{oc}}=600\ \mathrm{W}$：

$$R_c=\frac{240^2}{600}=96\ \Omega$$ $$I_c=\frac{600}{240}=2.5\ \mathrm{A},\qquad I_m=\sqrt{5^2-2.5^2}=4.330\ \mathrm{A}$$ $$X_m=\frac{240}{4.330}=55.43\ \Omega$$

因此，並聯參數以低壓側為基準為 $R_c=96\ \Omega$、$X_m=55.43\ \Omega$。

短路試驗在高壓側量測，故直接求得的串聯等效參數位於高壓側。短路時加壓低，激磁支路電流可忽略，使用：

$$Z_{\mathrm{eq}}=\frac{V_{\mathrm{sc}}}{I_{\mathrm{sc}}},\qquad R_{\mathrm{eq}}=\frac{P_{\mathrm{sc}}}{I_{\mathrm{sc}}^2},\qquad X_{\mathrm{eq}}=\sqrt{Z_{\mathrm{eq}}^2-R_{\mathrm{eq}}^2}$$

代入 $V_{\mathrm{sc}}=56\ \mathrm{V}$、$I_{\mathrm{sc}}=40\ \mathrm{A}$、$P_{\mathrm{sc}}=1200\ \mathrm{W}$：

$$Z_{\mathrm{eq}}=\frac{56}{40}=1.4\ \Omega$$ $$R_{\mathrm{eq}}=\frac{1200}{40^2}=0.75\ \Omega,\qquad X_{\mathrm{eq}}=\sqrt{1.4^2-0.75^2}=1.182\ \Omega$$

因此，串聯參數以高壓側為基準為 $R_{\mathrm{eq}}=0.75\ \Omega$、$X_{\mathrm{eq}}=1.182\ \Omega$。

以變壓器額定為基值之參數

以各側額定電壓計算阻抗基值，將實際參數除以該側阻抗基值，即為標麼值：

$$R_{\mathrm{eq,pu}}=\frac{0.75}{15}=0.05,\qquad X_{\mathrm{eq,pu}}=\frac{1.182}{15}=0.0788$$ $$R_{c,\mathrm{pu}}=\frac{96}{2.4}=40,\qquad X_{m,\mathrm{pu}}=\frac{55.43}{2.4}=23.10$$

核心觀念

感應電動機在頻率固定、滑差相同時，啟動轉矩與端電壓平方成正比，啟動電流則與端電壓成正比：

$$T_{\mathrm{st}}\propto V^2,\qquad I_{\mathrm{st}}\propto V$$

因此，降壓啟動時，若電壓變為原來的 $k$ 倍，則啟動轉矩變為原來的 $k^2$ 倍，啟動電流變為原來的 $k$ 倍。題目所給的電壓都是線電壓；電動機為 Y 接，線電流等於相電流，且降壓比例可直接用線電壓計算。

解題方法

額定頻率下，以額定電壓 $220\ \mathrm{V}$ 啟動時：

$$V_1=220\ \mathrm{V},\qquad I_{\mathrm{st},1}=150\ \mathrm{A},\qquad T_{\mathrm{st},1}=100\ \mathrm{N\cdot m}$$

(一) 啟動轉矩等於額定轉矩

令降壓啟動電壓為 $V_2$。由轉矩與電壓平方成正比：

$$\frac{T_{\mathrm{st},2}}{T_{\mathrm{st},1}} =\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2$$

題目要求 $T_{\mathrm{st},2}=50\ \mathrm{N\cdot m}$，故

$$\frac{50}{100}=\left(\frac{V_2}{220}\right)^2 \quad\Longrightarrow\quad V_2=220\sqrt{\frac{1}{2}} \approx 155.6\ \mathrm{V}$$

再由啟動電流與電壓成正比：

核心觀念

本題考查同步發電機的開路、短路試驗，以及以每相相量計算感應電勢與功率角。

同步發電機的每相電壓方程式為

$$\underline E_A=\underline V_\phi+(R_A+jX_s)\underline I_A$$

題目忽略電樞電阻，故化為

$$\underline E_A=\underline V_\phi+jX_s\underline I_A$$

Y 接時，線電壓與相電壓、線電流與相電流的關係為

$$V_\phi=\frac{V_L}{\sqrt{3}},\qquad I_A=I_L$$

解題方法

（一）計算每相同步電抗

開路與短路試驗須取相同激磁場電流的開路電壓與短路電流，計算每相同步阻抗：

$$Z_s=\frac{E_{\mathrm{OC},\phi}}{I_{\mathrm{SC},\phi}}$$

題目給定開路試驗激磁電流 $2.8\ \mathrm{A}$、線電壓 $220\ \mathrm{V}$；短路試驗數據則是激磁電流 $2.0\ \mathrm{A}$、電流 $52.5\ \mathrm{A}$。因兩組試驗的激磁電流不同，須依題目所給數據將短路電流換算至 $2.8\ \mathrm{A}$。忽略磁飽和時，短路電流與激磁電流成正比：

$$I_{\mathrm{SC},\,2.8} =52.5\left(\frac{2.8}{2.0}\right) =73.5\ \mathrm{A}$$

Y 接時，開路相電壓為

$$E_{\mathrm{OC},\phi}=\frac{220}{\sqrt{3}}\ \mathrm{V}$$

短路相電流等於線電流，因此

$$Z_s=\frac{220/\sqrt{3}}{73.5} \approx 1.728\ \Omega$$

題目未提供電樞電阻，並要求同步電抗；依忽略電樞電阻的假設，$X_s\approx Z_s$。

（二）計算感應電勢、功率角與激磁場電流

額定視在功率為 $20\ \mathrm{kVA}$，端線電壓為 $220\ \mathrm{V}$，故線電流為

$$I_A=I_L=\frac{20\,000}{\sqrt{3}(220)} \approx 52.49\ \mathrm{A}$$

Y 接相電壓為

$$V_\phi=\frac{220}{\sqrt{3}}\approx127.02\ \mathrm{V}$$

功率因數為 $0.9$ 滯後，電流落後端電壓的角度為

$$\phi=\cos^{-1}(0.9)\approx25.84^\circ$$

核心觀念

此題考查他激式直流電動機的反電動勢、電磁轉矩與磁通的關係。忽略鐵心及機械旋轉損失時，電磁轉矩等於負載轉矩，且電樞端電壓方程式為

$V_a=E_a+I_aR_a$

其中反電動勢與電磁轉矩分別為

$E_a=k\phi\omega,\qquad T_e=k\phi I_a$

場繞組電阻固定時，場電流與場繞組電壓成正比。若磁路未飽和，磁通 $\phi$ 與場電流成正比，因此在額定場電壓下磁通為額定值。

解題方法

先由額定資料求出額定反電動勢、額定電磁轉矩及每轉速的反電動勢常數。再依各小題的速度與負載轉矩求出所需電樞電流，最後利用電樞電壓方程式及磁通與場電壓的比例關係求未知量。

額定反電動勢為

=200-(120)(0.12)=185.6\ \mathrm{V}$$ 額定轉速 $600\ \mathrm{rpm}$ 對應角速度 $$\omega_r=\frac{2\pi(600)}{60}=20\pi\ \mathrm{rad/s}$$ 額定電磁轉矩為 $$T_{e,r}=\frac{E_{a,r}I_{a,r}}{\omega_r} =\frac{(185.6)(120)}{20\pi} \approx354.6\ \mathrm{N\cdot m}$$ 由於額定場電壓為 $200\ \mathrm{V}$，場電流為 $$I_{f,r}=\frac{200}{20}=10\ \mathrm{A}$$ ### （一）場電壓額定，轉速 $450\ \mathrm{rpm}$ 場電壓維持額定值，故磁通維持額定值。負載轉矩為 $$T_L=350-0.15(450)=282.5\ \mathrm{N\cdot m}$$ 穩態下 $T_e=T_L$，且磁通不變，故轉矩與電樞電流成正比： $$I_a=I_{a,r}\frac{T_L}{T_{e,r}} =120\frac{282.5}{354.6} \approx95.6\ \mathrm{A}$$ 反電動勢與轉速成正比，因此 $$E_a=E_{a,r}\frac{450}{600} =185.6\frac{450}{600}=139.2\ \mathrm{V}$$ 電樞電壓為 $$V_a=E_a+I_aR_a =139.2+(95.6)(0.12) \approx150.7\ \mathrm{V}$$ ### （二）電樞電壓額定，轉速 $700\ \mathrm{rpm}$ 負載轉矩為 $$T_L=350-0.15(700)=245\ \mathrm{N\cdot m}$$