107 關務特考三等 電機工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

本題評量單相變壓器簡化等效電路分析、標麼值（per-unit, pu）與歐姆值之轉換，以及交流穩態電路之相量計算。核心公式與定義包含：

1. 阻抗基值與實體歐姆值轉換公式： $Z_{\mathrm{base}} = \frac{V_{\mathrm{base}}^2}{S_{\mathrm{base}}}$ $\hat{Z}_{\Omega} = \hat{Z}_{\mathrm{pu}} \times Z_{\mathrm{base}}$
2. 交流穩態歐姆定律與相量功率： $\hat{I} = \frac{\hat{V}}{\hat{Z}}$ $P = V I \cos\theta = I^2 R$ $Q = V I \sin\theta = I^2 X$
3. 理想變壓器折算關係（忽略激磁導納）： $a = \frac{N_1}{N_2} = \frac{V_{1,\mathrm{rated}}}{V_{2,\mathrm{rated}}}$ $\hat{V}_1 = a \hat{V}_2',\quad \hat{I}_1 = \frac{\hat{I}_2'}{a}$
4. 電源側功率因數定義： $\mathrm{PF}_S = \cos(\theta_v - \theta_i) = \frac{P_S}{S_S}$

解題方法

(一) 負載的電流及實功率

1. 設定參考相量： 以負載端電壓為參考相量，設 $\hat{V}_L = 220\angle 0^\circ\ \mathrm{V}$。
2. 負載阻抗轉換為極座標式： $\hat{Z}_L = 4 + j3 = 5\angle 36.87^\circ\ \Omega$
3. 計算負載電流 $\hat{I}_L$： $\hat{I}_L = \frac{\hat{V}_L}{\hat{Z}_L} = \frac{220\angle 0^\circ}{5\angle 36.87^\circ} = 44\angle -36.87^\circ\ \mathrm{A} = (35.2 - j26.4)\ \mathrm{A}$ 負載電流大小（有效值）為： $I_L = 44\ \mathrm{A}$
4. 計算負載消耗之實功率 $P_L$： $P_L = I_L^2 \times R_L = 44^2 \times 4 = 7744\ \mathrm{W} = 7.744\ \mathrm{kW}$

(二) 電源側的電壓、電流及功率因數

1. 計算二次側阻抗基值與變壓器等效漏電抗： 變壓器額定容量 $S_{\mathrm{base}} = 12\ \mathrm{kVA} = 12000\ \mathrm{VA}$，低壓（二次）側額定電壓 $V_{2,\mathrm{base}} = 240\ \mathrm{V}$。 二次側阻抗基值為： $Z_{B2} = \frac{V_{2,\mathrm{base}}^2}{S_{\mathrm{base}}} = \frac{240^2}{12000} = 4.8\ \Omega$ 變壓器折算至二次側的等效電抗歐姆值為： $\hat{X}_{\mathrm{eq},2} = \hat{X}_{\mathrm{eq,pu}} \times Z_{B2} = j0.05 \times 4.8 = j0.24\ \Omega$

2. 計算折算至二次側之電源電壓 $\hat{V}_S'$： 依克希荷夫電壓定律（KVL）： $\hat{V}_S' = \hat{V}_L + \hat{I}_L \hat{X}_{\mathrm{eq},2}$ 代入數值： $\hat{V}_S' = 220\angle 0^\circ + (35.2 - j26.4)(j0.24) = 220 + (6.336 + j8.448) = 226.336 + j8.448\ \mathrm{V}$ 轉換為極座標式： $|\hat{V}_S'| = \sqrt{226.336^2 + 8.448^2} \approx 226.49\ \mathrm{V}$ $\angle \hat{V}_S' = \tan^{-1}\left(\frac{8.448}{226.336}\right) \approx 2.14^\circ$

核心觀念

本題考查**直流分激（並激）電動機（DC Shunt Motor）**之穩態電路分析、感應反電動勢、轉速及電磁轉矩（內生轉矩）之關聯。核心公式與觀念如下：

1. 電路電流關係： 直流分激電動機的電源電流（線電流）$I_L$ 分流為電樞電流 $I_a$ 與場電流 $I_f$： $I_L = I_a + I_f$ 其中分激場繞組直接並聯於端電壓 $V_t$，故場電流為： $I_f = \frac{V_t}{R_f}$

2. 電樞反電動勢方程式： 電動機運轉時，電樞導體切割磁場產生反電動勢 $E_a$： $E_a = V_t - I_a R_a$ 同時，反電動勢與每極磁通 $\Phi$ 及機械轉速 $n$（或角速度 $\omega_m$）成正比： $E_a = K_a \Phi \omega_m = K_e \Phi n$ 其中 $K_a = \frac{P Z}{2\pi a}$ 為機電機常數，$K_e = \frac{P Z}{60 a}$。若端電壓 $V_t$ 固定且忽略電樞反應與磁飽和效應，因 $R_f$ 為定值，場電流 $I_f$ 不變，每極磁通 $\Phi$ 亦維持固定常數，故反電動勢與轉速成正比： $\frac{E_{a2}}{E_{a1}} = \frac{n_2}{n_1}$

3. 電磁轉矩（發展轉矩，Developed Torque）方程式： 電磁轉矩可由轉矩公式或電磁功率轉換計算： $T = K_a \Phi I_a$ 或由電磁功率 $P_{dev} = E_a I_a = T \omega_m$ 推導： $T = \frac{P_{dev}}{\omega_m} = \frac{E_a I_a}{\omega_m}$ 其中機械角速度 $\omega_m = \frac{2\pi n}{60}\ (\mathrm{rad/s})$。在磁通 $\Phi$ 維持定值之前提下，電磁轉矩直接正比於電樞電流： $\frac{T_2}{T_1} = \frac{I_{a2}}{I_{a1}}$

解題方法

(一) 計算直流電源電壓 $100\ \mathrm{V}$、電源電流 $10\ \mathrm{A}$、轉速 $1800\ \mathrm{rpm}$ 時的電磁轉矩

1. 求分激場電流 $I_f$： $I_f = \frac{V_t}{R_f} = \frac{100}{100} = 1\ \mathrm{A}$

2. 求電樞電流 $I_{a1}$： $I_{a1} = I_{L1} - I_f = 10 - 1 = 9\ \mathrm{A}$

3. 求反電動勢 $E_{a1}$： $E_{a1} = V_t - I_{a1} R_a = 100 - (9 \times 0.4) = 100 - 3.6 = 96.4\ \mathrm{V}$

4. 求電磁功率 $P_{dev1}$ 與機械角速度 $\omega_{m1}$：

• 內生電磁功率： $P_{dev1} = E_{a1} I_{a1} = 96.4 \times 9 = 867.6\ \mathrm{W}$
• 機械角速度： $\omega_{m1} = \frac{2\pi \times n_1}{60} = \frac{2\pi \times 1800}{60} = 60\pi \approx 188.50\ \mathrm{rad/s}$

5. 計算電磁轉矩 $T_1$： $T_1 = \frac{P_{dev1}}{\omega_{m1}} = \frac{867.6}{60\pi} = \frac{14.46}{\pi} \approx 4.60\ \mathrm{N\cdot m}$

(二) 增加負載後電源電流變為 $20\ \mathrm{A}$，計算電動機之轉速及電磁轉矩

1. 求新負載下的電樞電流 $I_{a2}$： 因端電壓 $V_t = 100\ \mathrm{V}$ 不變，場電流仍為 $I_f = 1\ \mathrm{A}$： $I_{a2} = I_{L2} - I_f = 20 - 1 = 19\ \mathrm{A}$

核心觀念

本題評量三相感應電動機（Three-Phase Induction Motor）的運轉特性與**功率流程（Power Flow）**分析，涉及核心觀念與公式如下：

1. 同步轉速與滑差率（轉差率）：

• 同步轉速：$n_s = \frac{120f}{P}$
• 滑差率：$s = \frac{n_s - n_r}{n_s}$

2. 三相實功輸入： $P_{\text{in}} = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta$
3. 定子銅損（Stator Copper Loss）： 三相 Y 接線電流等於相電流（$I_1 = I_L$），每相定子電阻為 $R_1$： $P_{\text{cu1}} = 3 I_1^2 R_1$
4. 感應機功率流程關係：

• 氣隙功率（Air-gap Power）：$P_{\text{ag}} = P_{\text{in}} - P_{\text{cu1}}$
• 轉子銅損（Rotor Copper Loss）：$P_{\text{cu2}} = s P_{\text{ag}}$
• 電磁轉換功率（Converted/Developed Mechanical Power）： $P_{\text{conv}} = P_{\text{ag}} - P_{\text{cu2}} = (1 - s)P_{\text{ag}}$
• 機械輸出功率（Shaft Output Power）：扣除題目給定之鐵心損失與旋轉損失（$P_{\text{core}} + P_{\text{rot}}$） $P_{\text{out}} = P_{\text{conv}} - (P_{\text{core}} + P_{\text{rot}})$

5. 電動機效率與輸出轉矩：

• 運轉效率：$\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\%$
• 輸出軸轉矩（Output Torque）： $T_{\text{out}} = \frac{P_{\text{out}}}{\omega_m} = \frac{P_{\text{out}}}{\frac{2\pi n_r}{60}}$

解題方法

(一) 求電動機的滑差率 $s$ 及效率 $\eta$

1. 計算同步轉速 $n_s$ 與滑差率 $s$：

• 極數 $P = 6$、電源頻率 $f = 60\ \mathrm{Hz}$： $n_s = \frac{120 \times 60}{6} = 1200\ \mathrm{rpm}$
• 額定轉速 $n_r = 1150\ \mathrm{rpm}$，代入滑差率公式： $s = \frac{n_s - n_r}{n_s} = \frac{1200 - 1150}{1200} = \frac{50}{1200} = \frac{1}{24} \approx 0.04167\ (4.17\%)$

2. 計算輸入功率 $P_{\text{in}}$：

• 線電壓 $V_L = 460\ \mathrm{V}$、線電流 $I_L = 25\ \mathrm{A}$、功率因數 $\cos\theta = 0.8$： $P_{\text{in}} = \sqrt{3} \times 460 \times 25 \times 0.8 = 9200\sqrt{3} \approx 15934.87\ \mathrm{W}$

3. 計算定子銅損 $P_{\text{cu1}}$ 與氣隙功率 $P_{\text{ag}}$：

• 因電動機為 Y 接，定子相電流 $I_1 = I_L = 25\ \mathrm{A}$： $P_{\text{cu1}} = 3 \times I_1^2 \times R_1 = 3 \times 25^2 \times 0.25 = 468.75\ \mathrm{W}$
• 題目將鐵心損失與旋轉損失合併給定（$520\ \mathrm{W}$），依標準功率流分析，鐵心損未於等效電路激磁支路單獨分離時，氣隙功率為輸入功率扣除定子銅損：

核心觀念

本題評量三相同步發電機的基本運轉特性，包含同步轉速、單相等效電路分析、感應電勢相量關係、功率角以及電壓調整率。所涉及的核心公式如下：

1. 同步轉速公式： $n_s = \frac{120 f}{P}$ 其中 $f$ 為電源頻率（$\mathrm{Hz}$），$P$ 為磁極數，$n_s$ 單位為 $\mathrm{rpm}$（每分鐘轉速）。

2. 三相 Y 接系統之電壓與電流關係：

• 線電壓 $V_L$ 與相電壓 $V_\phi$ 之關係：$V_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}}$。
• 線電流 $I_L$ 等於相電流（電樞電流）$I_a$：$I_a = I_L$。
• 三相實功率公式：$P_{3\phi} = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta = 3 V_\phi I_a \cos\theta$。

3. 同步發電機每相等效電路方程式（忽略電樞電阻 $R_a = 0$）： $\mathbf{E}_A = \mathbf{V}_\phi + j \mathbf{I}_a X_s$ 其中 $\mathbf{E}_A = E_A \angle \delta$ 為內部感應電勢，$\delta$ 為功率角（亦稱轉矩角或負載角），$\mathbf{V}_\phi = V_\phi \angle 0^\circ$ 為端相電壓，$X_s$ 為同步電抗。

4. 電壓調整率（Voltage Regulation, $VR$）： $VR = \frac{V_{\text{nl}} - V_{\text{fl}}}{V_{\text{fl}}} \times 100\% = \frac{|\mathbf{E}_A| - |\mathbf{V}_\phi|}{|\mathbf{V}_\phi|} \times 100\%$ （無載時端電壓等於內部感應電勢大小 $|\mathbf{E}_A|$，滿載端電壓為額定值 $|\mathbf{V}_\phi|$）。

解題方法

(一) 計算額定頻率時之轉速

代入同步轉速公式： $n_s = \frac{120 \times 60}{4} = 1800\ \mathrm{rpm}$

(二) 計算發電機的感應電勢（內部電壓）及功率角

1. 求端相電壓 $\mathbf{V}_\phi$： 以端相電壓為參考相量（$\angle 0^\circ$）： $\mathbf{V}_\phi = \frac{V_L}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ = \frac{440}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ \approx 254.034 \angle 0^\circ\ \mathrm{V}$

2. 求電樞電流 $\mathbf{I}_a$： 由負載實功率 $P_{3\phi} = 50\ \mathrm{kW}$ 及滯後功率因數 $\cos\theta = 0.85$： $\theta = \cos^{-1}(0.85) \approx 31.79^\circ$ 電流大小為： $I_a = \frac{P_{3\phi}}{\sqrt{3} V_L \cos\theta} = \frac{50000}{\sqrt{3} \times 440 \times 0.85} \approx 77.186\ \mathrm{A}$ 因負載功因為「滯後」（Lagging），電流相位落後電壓： $\mathbf{I}_a = 77.186 \angle -31.79^\circ\ \mathrm{A} = 77.186 \times (0.85 - j0.5268) \approx 65.608 - j40.662\ \mathrm{A}$