107 關務特考三等 電機工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

本題評量三相平衡電力系統中「功率因數改善（Power Factor Correction）」與「負載線路電流計算」的核心觀念，主要涵蓋以下定義與公式：

1. 三相功率關係式： 三相平衡負載汲取的視在功率 $S$、實功率（有功功率）$P$、虛功率（無功功率）$Q$ 與功率因數角 $\theta$ 的關係為： $P = S \cos\theta$ $Q = S \sin\theta = P \tan\theta$ $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$

2. 併聯電容器改善功率因數原理：

• 馬達負載所需的機械輸出不變，故負載端汲取的實功率 $P$ 保持恆定。
• 併聯純電容器僅提供進相（leading）虛功率 $Q_C$，用以抵消感性負載汲取的部分落後（lagging）虛功率，使系統總虛功率由改善前的 $Q_1$ 降低至改善後的 $Q_2$。
• 所需併聯三相電容器額定容量 $Q_C$ 為： $Q_C = Q_1 - Q_2 = P(\tan\theta_1 - \tan\theta_2)$

3. 三相平衡電路之線路電流公式： 在三相平衡系統中，線電壓為 $V_L$，線電流為 $I_L$，其功率與電流關係式為： $S = \sqrt{3} V_L I_L \implies I_L = \frac{S}{\sqrt{3} V_L} = \frac{P}{\sqrt{3} V_L \cos\theta}$

解題方法

步驟一：計算電容器加入前（改善前）之電氣參數

已知三相線電壓 $V_L = 220\ \mathrm{V}$，原負載視在功率 $S_1 = 20\ \mathrm{kVA}$，功率因數 $\mathrm{PF}_1 = \cos\theta_1 = 0.707$ 落後：

1. 實功率 $P$： $P = S_1 \cos\theta_1 = 20 \times 0.707 = 14.14\ \mathrm{kW}$

2. 改善前虛功率 $Q_1$： 由 $\cos\theta_1 = 0.707$ 可得 $\theta_1 = \arccos(0.707) \approx 45.0^\circ$： $\tan\theta_1 = \tan(45.0^\circ) = 1.0$ $Q_1 = P \tan\theta_1 = 14.14 \times 1.0 = 14.14\ \mathrm{kVAR}$

3. 改善前線路電流 $I_{L1}$： $I_{L1} = \frac{S_1}{\sqrt{3} V_L} = \frac{20 \times 10^3}{\sqrt{3} \times 220} = \frac{20000}{381.05} \approx 52.49\ \mathrm{A}$

步驟二：計算電容器加入後（改善後）所需電容器額定 $\mathrm{kVA}$

目標將功率因數提升至 $\mathrm{PF}_2 = \cos\theta_2 = 0.95$ 落後，且實功率 $P$ 維持 $14.14\ \mathrm{kW}$：

1. 改善後之功率因數角正切值 $\tan\theta_2$：

核心觀念

本題考查電力系統分析中利用**高斯賽得負載潮流法（Gauss-Seidel Power Flow Method）**求解電力網路節點電壓之基本流程，核心要點包含：

1. 匯流排類型與淨注入功率定義：

• 匯流排①為搖擺匯流排（Slack / Swing Bus），電壓大小與相角固定為已知：$V_1 = 1.04\angle 0^\circ\text{ p.u.}$。
• 匯流排②與③為負載匯流排（PQ Bus），無發電機連接（$S_{Gi} = 0$）。因此淨注入功率為負載功率的負值： $S_2 = P_2 + jQ_2 = -P_{D2} - jQ_{D2} = -0.6 - j0.5\text{ p.u.}$ $S_3 = P_3 + jQ_3 = -P_{D3} - jQ_{D3} = -0.9 - j0.8\text{ p.u.}$ 對應的共軛功率項為： $P_2 - jQ_2 = -0.6 + j0.5$ $P_3 - jQ_3 = -0.9 + j0.8$

2. 匯流排導納矩陣（Bus Admittance Matrix, $Y_{bus}$）： 依據網路支路導納 $y_{13} = -j8$、$y_{23} = -j12$ 及無直接相連的 $y_{12} = 0$：

• 自導納（對角項）： $Y_{11} = y_{13} = -j8$ $Y_{22} = y_{23} = -j12$ $Y_{33} = y_{13} + y_{23} = -j8 - j12 = -j20$
• 互導納（非對角項）： $Y_{12} = Y_{21} = 0$ $Y_{13} = Y_{31} = -y_{13} = j8$ $Y_{23} = Y_{32} = -y_{23} = j12$

3. 高斯賽得迭代公式： 對於 PQ 匯流排 $i$，第 $(k+1)$ 次疊代的電壓計算公式為： $V_i^{(k+1)} = \frac{1}{Y_{ii}} \left[ \frac{P_i - jQ_i}{(V_i^{(k)})^*} - \sum_{j=1}^{i-1} Y_{ij} V_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^n Y_{ij} V_j^{(k)} \right]$ 高斯賽得法之關鍵特性在於即時更新（in-place update），當計算編號較後的匯流排時，前面已求得的最新電壓值必須立即代入。

解題方法

一、推導各匯流排專屬迭代運算式

1. 匯流排②迭代式： 因 $Y_{21} = 0$，僅與匯流排③相連： $V_2^{(k+1)} = \frac{1}{Y_{22}} \left[ \frac{P_2 - jQ_2}{(V_2^{(k)})^*} - Y_{23} V_3^{(k)} \right] = \frac{1}{-j12} \left[ \frac{-0.6 + j0.5}{(V_2^{(k)})^*} - j12 V_3^{(k)} \right]$ 化簡後可得： $V_2^{(k+1)} = \frac{j}{12} \left[ \frac{-0.6 + j0.5}{(V_2^{(k)})^*} \right] + V_3^{(k)}$

2. 匯流排③迭代式： 與匯流排①及匯流排②相連，代入最新算出的 $V_2^{(k+1)}$ 與固定的 $V_1$： $V_3^{(k+1)} = \frac{1}{Y_{33}} \left[ \frac{P_3 - jQ_3}{(V_3^{(k)})^*} - Y_{31} V_1 - Y_{32} V_2^{(k+1)} \right] = \frac{1}{-j20} \left[ \frac{-0.9 + j0.8}{(V_3^{(k)})^*} - j8 V_1 - j12 V_2^{(k+1)} \right]$ 化簡後可得： $V_3^{(k+1)} = \frac{j}{20} \left[ \frac{-0.9 + j0.8}{(V_3^{(k)})^*} \right] + 0.4 V_1 + 0.6 V_2^{(k+1)}$ 其中常數項 $0.4 V_1 = 0.4 \times (1.04\angle 0^\circ) = 0.416$。

二、第一次疊代（$k=0 \to 1$）

初始條件：$V_2^{(0)} = 1.0\angle 0^\circ = 1.0$，$V_3^{(0)} = 1.0\angle 0^\circ = 1.0$。

1. 計算 $V_2^{(1)}$： $(V_2^{(0)})^* = 1.0$ $\frac{j}{12} \left( \frac{-0.6 + j0.5}{1.0} \right) = \frac{-0.5 - j0.6}{12} = -0.041667 - j0.050000$ $V_2^{(1)} = (-0.041667 - j0.050000) + 1.0 = 0.958333 - j0.050000\text{ p.u.}$ 轉換為極座標： $|V_2^{(1)}| = \sqrt{0.958333^2 + (-0.050000)^2} \approx 0.9596\text{ p.u.}$ $\theta_2^{(1)} = \tan^{-1}\left( \frac{-0.050000}{0.958333} \right) \approx -2.99^\circ$

2. 計算 $V_3^{(1)}$： $(V_3^{(0)})^* = 1.0$ $\frac{j}{20} \left( \frac{-0.9 + j0.8}{1.0} \right) = \frac{-0.8 - j0.9}{20} = -0.040000 - j0.045000$ 代入線路傳輸項： $0.4 V_1 = 0.416$ $0.6 V_2^{(1)} = 0.6 \times (0.958333 - j0.050000) = 0.575000 - j0.030000$ 加總各項： $V_3^{(1)} = (-0.040000 - j0.045000) + 0.416000 + (0.575000 - j0.030000) = 0.951000 - j0.075000\text{ p.u.}$ 轉換為極座標：

核心觀念

本題旨在測驗電力系統分析中**對稱成分法（Symmetrical Components）**應用於電力網路相序模型建立的能力，核心觀念包含：

1. 正相序網路（Positive-Sequence Network）：

• 旋轉電機（發電機與馬達）具有平衡的三相內部感應電動勢（$E_g$、$E_{m1}$、$E_{m2}$），以理想電壓源串聯正相序阻抗（$Z_{g1}$、$Z_{m1,1}$、$Z_{m2,1}$）表示，接於該機匯流排與零電位參考匯流排（Reference Bus）之間。
• 靜止元件（變壓器、輸電線）呈現正相序串聯阻抗。
• 由於正相序三相電流對稱平衡，中性線電流 $I_n = I_a + I_b + I_c = 0$，故中性點接地阻抗 $Z_n$ 不出現在正相序網路中。

2. 負相序網路（Negative-Sequence Network）：

• 拓撲結構與正相序網路完全相同。
• 旋轉電機僅感應正相序電動勢，無負相序電壓源，故所有內部電壓源均視為短路（電位等於參考匯流排電位）。
• 靜止元件的負相序阻抗等於正相序阻抗（$Z_{T2} = Z_{T1}$、$Z_{L2} = Z_{L1}$）；旋轉電機則以負相序阻抗（$Z_{g2}$、$Z_{m1,2}$、$Z_{m2,2}$）表示。
• 負相序三相電流亦平衡，中性線電流為零，故中性點接地阻抗 $Z_n$ 不出現在負相序網路中。

3. 零相序網路（Zero-Sequence Network）：

• 零相序電流為同大小、同相位的單相電流，必須經由中性點與大地形成閉合迴路；零相序等效單相電路中，流經中性點接地阻抗 $Z_n$ 的電流為 $3I_{a0}$，產生之壓降為 $3I_{a0}Z_n$，因此中性點接地阻抗在等效電路中必須放大為 $3Z_n$。
• 變壓器零相序等效模型（串並聯開關法則）：
• 串聯開關：該側為**中性點接地星形（$\text{Y}_g$）**時閉合，電流可穿透流向線路；若為不接地星形（$\text{Y}$）或三角形（$\Delta$）則開路。
• 並聯（對地）開關：該側為**三角形（$\Delta$）**時閉合（接地），代表零相序電流可在該側 $\Delta$ 繞組內循環流動；若為星形接線（$\text{Y}$ 或 $\text{Y}_g$）則對地開路。
• 旋轉電機若為中性點接地，其零相序阻抗為 $Z_0 + 3Z_n$；若中性點未接地，則對參考匯流排開路。

解題方法

題目圖形細節若未標明繞組型式，依國考命題慣例與教科書經典題型，採合理標準設定：發電機 $G$（連接匯流排 $k$）為 $\text{Y}_g$ 接（經阻抗 $Z_{ng}$ 接地）；升壓變壓器 $T_1$ 為 $\Delta-\text{Y}_g$ 接（匯流排 $k$ 側為 $\Delta$，匯流排 $l$ 側為固體接地 $\text{Y}_g$）；輸電線連接匯流排 $l$ 與 $m$；降壓變壓器 $T_2$ 為 $\text{Y}_g-\text{Y}_g$ 接（兩側中性點皆固體接地）；匯流排 $n$ 分別經線路饋電至馬達 $M_1$（匯流排 $p$）與 $M_2$（匯流排 $r$）；馬達 $M_1$ 為 $\text{Y}_g$ 接（經阻抗 $Z_{nm1}$ 接地）；馬達 $M_2$ 為 $\text{Y}$ 接不接地。

1. 正相序網路繪製步驟

1. 繪出全系統之零電位參考匯流排（Reference Bus）。
2. 發電機 $G$ 端：以電壓源 $E_g$ 串聯阻抗 $Z_{g1}$ 連接於參考匯流排與匯流排 $k$ 之間。
3. 變壓器 $T_1$：串聯阻抗 $Z_{T1}$ 跨接於匯流排 $k$ 與 $l$ 之間。
4. 輸電線 $TL$：串聯阻抗 $Z_{L1}$ 跨接於匯流排 $l$ 與 $m$ 之間。
5. 變壓器 $T_2$：串聯阻抗 $Z_{T2}$ 跨接於匯流排 $m$ 與 $n$ 之間。
6. 饋線與馬達：

• 匯流排 $n$ 經線路阻抗 $Z_{np1}$ 連至匯流排 $p$；馬達 $M_1$ 以反電動勢 $E_{m1}$ 串聯阻抗 $Z_{m1,1}$ 連接於匯流排 $p$ 與參考匯流排之間。
• 匯流排 $n$ 經線路阻抗 $Z_{nr1}$ 連至匯流排 $r$；馬達 $M_2$ 以反電動勢 $E_{m2}$ 串聯阻抗 $Z_{m2,1}$ 連接於匯流排 $r$ 與參考匯流排之間。

【正相序網路拓撲圖】

參考匯流排 (Reference Bus)
════════════════════╤═══════════════════════════════════════╤═════════════════════╤════
 │ │ │
 (Eg) (Em1) (Em2)
 │ │ │
 [Zg1] [Zm1,1] [Zm2,1]
 │ │ │
匯流排 k ───────────┴───[ZT1]─── 匯流排 l ───[ZL1]─── 匯流排 m ───[ZT2]─── 匯流排 n ─┬─[Znp1]─ 匯流排 p
 │
 └─[Znr1]─ 匯流排 r

2. 負相序網路繪製步驟

1. 將正相序網路中所有獨立電壓源（$E_g$、$E_{m1}$、$E_{m2}$）直接短路接地（接至參考匯流排）。
2. 保留原電路所有匯流排與支路連接結構。
3. 將所有元件阻抗符號換成負相序阻抗（$Z_{g2}$、$Z_{T1}$、$Z_{L2}$、$Z_{T2}$、$Z_{np2}$、$Z_{nr2}$、$Z_{m1,2}$、$Z_{m2,2}$）。

【負相序網路拓撲圖】

參考匯流排 (Reference Bus)
════════════════════╤═══════════════════════════════════════╤═════════════════════╤════
 │ │ │
 [Zg2] [Zm1,2] [Zm2,2]
 │ │ │
匯流排 k ───────────┴───[ZT1]─── 匯流排 l ───[ZL2]─── 匯流排 m ───[ZT2]─── 匯流排 n ─┬─[Znp2]─ 匯流排 p
 │
 └─[Znr2]─ 匯流排 r

3. 零相序網路繪製步驟

1. 發電機 $G$（匯流排 $k$）：

• 繞組 $\text{Y}_g$ 經 $Z_{ng}$ 接地，其零相序支路阻抗為 $Z_{g0} + 3Z_{ng}$，接於匯流排 $k$ 與參考匯流排之間。

2. 變壓器 $T_1$（匯流排 $k$ 至 $l$，$\Delta-\text{Y}_g$）：

• $\Delta$ 側（匯流排 $k$）：串聯開關打開（匯流排 $k$ 對變壓器本體開路），並聯開關閉合（變壓器阻抗 $Z_{T1,0}$ 靠近 $k$ 側之一端直接接至參考匯流排）。
• $\text{Y}_g$ 側（匯流排 $l$）：串聯開關閉合，並聯開關打開。
• 故 $Z_{T1,0}$ 跨接於匯流排 $l$ 與參考匯流排之間，阻斷匯流排 $k$ 與 $l$ 間的零相序流通。

核心觀念

1. 搖擺方程式（Swing Equation）：描述同步發電機轉子動態特性的二階微分方程式：

• 轉子角 $\delta$ 以**電弧度（$\mathrm{rad}$）**表示時： $\frac{2H}{\omega_s} \frac{d^2\delta}{dt^2} = P_m - P_e \quad \text{或} \quad \frac{H}{\pi f_0} \frac{d^2\delta}{dt^2} = P_m - P_e$
• 轉子角 $\delta$ 以**電度（$\mathrm{deg}$ 或 $^\circ$）**表示時： $\frac{H}{180 f_0} \frac{d^2\delta}{dt^2} = P_m - P_e$ 其中 $H$ 為慣性常數（$\mathrm{MJ/MVA}$ 或 $\mathrm{s}$）、$f_0$ 為系統額定頻率（台灣系統標準為 $60\ \mathrm{Hz}$）、$\omega_s = 2\pi f_0 = 377\ \mathrm{rad/s}$ 為同步電角速度、$P_m$ 為機械輸入功率（$\text{p.u.}$）、$P_e$ 為電氣輸出功率（$\text{p.u.}$）。

2. 穩態平衡與初始轉子角（$\delta_0$）：

• 故障發生前，系統運轉於穩態平衡點，加速功率為零，即機械輸入功率等於故障前之電氣實功率：$P_m = P_{e0}$。
• 發電機暫態內生電壓 $E'\angle \delta_0$ 可由端電壓 $V_t$、電抗及故障前電流 $I$ 推導求得。

3. 三相短路故障時之電氣功率（$P_e$）：

• 故障點 $P$ 發生對地三相短路時，$P$ 點電壓降為零（$V_P = 0$）。
• 由於系統各元件皆為純電抗（電阻忽略為零），發電機端至故障點間無實功率消耗，且故障點切斷了發電機與無限匯流排間的實功率傳送路徑（轉移電抗 $X_{12} \to \infty$），故故障期間之電氣實功率輸出為： $P_e = 0\ \text{p.u.}$

解題方法

步驟一：計算故障前系統等效電抗與穩態潮流

故障點 $P$ 至無限匯流排為兩條併聯輸電線路，其等效電抗為： $X_{P-\infty} = j0.44 \parallel j0.44 = j0.22\ \text{p.u.}$

發電機端（端電壓 $V_t$）至無限匯流排（電壓 $V_\infty$）之外部等效電抗為： $X_{ext} = X_{t-P} + X_{P-\infty} = 0.11 + 0.22 = 0.33\ \text{p.u.}$

以無限匯流排為參考相量，即 $V_\infty = 1.0\angle 0^\circ\ \text{p.u.}$。已知發電機傳送之實功率 $P = 1.2\ \text{p.u.}$，端電壓 $|V_t| = 1.0\ \text{p.u.}$： $P = \frac{|V_t| |V_\infty|}{X_{ext}} \sin\theta_t \implies 1.2 = \frac{1.0 \times 1.0}{0.33} \sin\theta_t$ $\sin\theta_t = 1.2 \times 0.33 = 0.396$ $\theta_t = \arcsin(0.396) \approx 23.33^\circ$ $\cos\theta_t = \sqrt{1 - 0.396^2} \approx 0.91825$

端電壓相量為 $V_t = 1.0\angle 23.33^\circ = 0.91825 + j0.396\ \text{p.u.}$。流向系統之線路電流 $I$ 為： $I = \frac{V_t - V_\infty}{j X_{ext}} = \frac{(0.91825 - 1.0) + j0.396}{j0.33} = 1.2 + j0.2477\ \text{p.u.}$

步驟二：計算發電機暫態內生電壓 $E'$ 與初始轉子角度 $\delta_0$

發電機內部暫態電抗為 $X'_d = 0.20\ \text{p.u.}$，從暫態電勢 $E'$ 到無限匯流排的總電抗為： $X_{total} = X'_d + X_{ext} = 0.20 + 0.33 = 0.53\ \text{p.u.}$

發電機暫態內生電壓相量 $E'$ 為： $E' = V_\infty + j X_{total} I = 1.0 + j0.53 (1.2 + j0.2477) = 1.0 - 0.1313 + j0.6360 = 0.8687 + j0.6360\ \text{p.u.}$

其大小與初始轉子角度（相角）為： $|E'| = \sqrt{0.8687^2 + 0.6360^2} \approx 1.077\ \text{p.u.}$ $\delta_0 = \arctan\left(\frac{0.6360}{0.8687}\right) \approx 36.21^\circ \approx 0.632\ \mathrm{rad}$