107 關務特考三等 電機工程 電子學與電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考查**電晶體放大器之電壓轉移特性曲線（Voltage Transfer Characteristic, VTC）與小訊號電壓增益（Small-Signal Voltage Gain）**的解析能力，其物理背景為典型的 N 通道增強型 MOSFET（NMOS）共源極放大電路：

1. 工作區間邊界與極值分析：

• 特性曲線為開口向下的二次拋物線：$v_o = 10 - 4(v_i - 2)^2$。
• 截止邊界（Cutoff boundary）：$v_i = 2\text{ V}$（相當於門檻電壓 $V_t = 2\text{ V}$）。當 $v_i = 2\text{ V}$ 時，放大器輸出最大電壓，即為上限值。
• 飽和區邊界（Edge of Saturation）：限制式 $v_o + 2\text{ V} \ge v_i$ 相當於 $v_{DS} \ge v_{GS} - V_t$。當 $v_o + 2 = v_i$ 時，電晶體到達夾斷點邊界，若輸入電壓再增加，元件將脫離本式描述的飽和操作區，此交點決定輸出的下限值。

2. 小訊號電壓增益定義：

• 放大器在特定直流工作點 $Q$（Bias Point）的小訊號電壓增益 $A_v$，定義為轉移特性曲線在該點的切線斜率（一階導數）： $A_v = \left. \frac{d v_o}{d v_i} \right|_{Q}$

解題方法

(一) 求輸出電壓上限值與下限值對應之輸入電壓

1. 輸出電壓上限值（Upper Limit）： 轉移特性方程式為： $v_o = 10 - 4(v_i - 2)^2$ 依題目限制條件 $v_i \ge 2\text{ V}$，當 $v_i - 2 = 0$，即輸入電壓為： $v_i = 2\text{ V}$ 此時平方項為零，輸出電壓達最大值（上限值）： $v_{o,\max} = 10 - 4(2 - 2)^2 = 10\text{ V}$ 檢驗限制條件：

• $v_i = 2\text{ V} \ge 2\text{ V}$（符合）
• $v_o = 10\text{ V} > 0$（符合正值條件）
• $v_o + 2\text{ V} = 12\text{ V} \ge v_i = 2\text{ V}$（符合不等式） 故輸出電壓上限值為 $10\text{ V}$，對應之輸入電壓為 $v_i = 2\text{ V}$。

2. 輸出電壓下限值（Lower Limit）： 當輸入電壓 $v_i > 2\text{ V}$ 且持續增大時，$v_o$ 單調遞減。受限於操作範圍 $v_o + 2\text{ V} \ge v_i$ 與 $v_o > 0$，其下限發生在飽和操作區臨界點，即等號成立時： $v_o + 2 = v_i \implies v_o = v_i - 2$ 將 $v_o = v_i - 2$ 代入轉移特性方程式： $v_i - 2 = 10 - 4(v_i - 2)^2$ 令輔助變數 $x = v_i - 2$（依題意 $x \ge 0$），方程式化為一元二次方程式： $4x^2 + x - 10 = 0$ 由公式解可得： $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 4 \times (-10)}}{2 \times 4} = \frac{-1 \pm \sqrt{161}}{8}$ 因 $x \ge 0$，負根不合，取正根： $x = \frac{\sqrt{161}-1}{8} \approx \frac{12.689 - 1}{8} \approx 1.461\text{ V}$ 故對應之輸入電壓值為： $v_i = 2 + x = 2 + \frac{\sqrt{161}-1}{8} = \frac{15 + \sqrt{161}}{8} \approx 3.461\text{ V}$ 此時對應之輸出電壓下限值為： $v_{o,\min} = v_i - 2 = x = \frac{\sqrt{161}-1}{8} \approx 1.461\text{ V} > 0$

核心觀念

本題考查**並聯式稽納穩壓器（Zener Shunt Regulator）**之直流工作點分析與小訊號靈敏度評估，核心觀念涵蓋以下四項：

1. 稽納二極體之分段線性模型（Piecewise-Linear Model）： 稽納二極體在崩潰穩壓區（Breakdown Region）之端電壓 $V_Z$ 與電流 $I_Z$ 關係式為： $V_Z = V_{Z0} + I_Z \cdot r_Z$ 其中 $V_{Z0}$ 為外插膝點電壓（虛擬直流偏壓源），$r_Z$ 為稽納動態電阻（動態阻抗）。
2. 穩壓條件判斷： 稽納二極體欲維持穩壓功能，其逆向電流必須大於膝點電流，即 $I_Z > I_{ZK}$。
3. 線路調整率（Line Regulation）： 衡量電源電壓變動 $\Delta V_S$ 對輸出端電壓 $\Delta V_O$ 的影響程度，小訊號模型下由分壓定理決定： $\text{Line Regulation} = \frac{\Delta V_O}{\Delta V_S} = \frac{r_Z}{R + r_Z} \quad (\text{單位通常為 }\text{mV/V})$
4. 負載調整率（Load Regulation）： 衡量負載電流變動 $\Delta I_L$ 對輸出端電壓 $\Delta V_O$ 的拉低效應，等於由輸出端看入穩壓電路之戴維寧等效輸出阻抗 $R_o$ 的負值： $\text{Load Regulation} = \frac{\Delta V_O}{\Delta I_L} = -(r_Z \parallel R) \quad (\text{單位為 }\Omega\text{ 或 }\text{mV/mA})$

解題方法

步驟零：求取稽納二極體線性模型參數 $V_{Z0}$

已知當 $I_Z = 6\text{ mA}$ 時，$V_Z = 6.9\text{ V}$，且動態電阻 $r_Z = 10\,\Omega$： $V_{Z0} = V_Z - I_Z \cdot r_Z = 6.9\text{ V} - (6\times 10^{-3}\text{ A} \times 10\,\Omega) = 6.9\text{ V} - 0.06\text{ V} = 6.84\text{ V}$

(一) 標稱電源電壓且無載條件下之輸出電壓

1. 電路狀態：標稱電源 $V_S = +12\text{ V}$，限流電阻 $R = 600\,\Omega$，無載條件下 $I_L = 0$。
2. 計算迴路電流 $I_Z$： $I_Z = \frac{V_S - V_{Z0}}{R + r_Z} = \frac{12\text{ V} - 6.84\text{ V}}{600\,\Omega + 10\,\Omega} = \frac{5.16\text{ V}}{610\,\Omega} \approx 8.459\text{ mA}$
3. 穩壓驗證： $I_Z \approx 8.459\text{ mA} > I_{ZK} = 0.5\text{ mA}$ 稽納二極體確實工作於崩潰穩壓區。
4. 輸出電壓 $V_O$： $V_O = V_{Z0} + I_Z \cdot r_Z = 6.84\text{ V} + (8.459\text{ mA} \times 10\,\Omega) = 6.84\text{ V} + 0.0846\text{ V} = 6.9246\text{ V} \approx 6.925\text{ V}$

(二) 電源電壓變動 $\pm1\text{ V}$ 下之輸出電壓變動與線路調整率

1. 線路調整率（Line Regulation）： 將直流電源視為輸入交流訊號 $v_s$，無載條件下對應之小訊號輸出電壓為 $v_o = v_s \cdot \frac{r_Z}{R + r_Z}$： $\text{Line Regulation} = \frac{\Delta V_O}{\Delta V_S} = \frac{r_Z}{R + r_Z} = \frac{10\,\Omega}{600\,\Omega + 10\,\Omega} = \frac{1}{61} \approx 0.01639\text{ V/V} = 16.39\text{ mV/V}$
2. 輸出電壓變動 $\Delta V_O$： 當輸入電源產生 $\Delta V_S = \pm 1\text{ V}$ 變動時： $\Delta V_O = (\Delta V_S) \times (\text{Line Regulation}) = \pm 1\text{ V} \times \frac{1}{61} \approx \pm 0.0164\text{ V} = \pm 16.39\text{ mV}$ 此時輸出電壓變動範圍為 $6.925\text{ V} \pm 16.39\text{ mV}$（即 $6.908\text{ V} \sim 6.941\text{ V}$）。

核心觀念

1. 負相序（$acb$ 相序）之線電壓相量關係：

• 題目指定為「負相序」（Negative Phase Sequence，$A-C-B$ 順序）。
• 當以 $\boldsymbol{V}_{AB}$ 為參考相量（$\boldsymbol{V}_{AB} = V_L \angle 0^\circ$）時，$C$ 相滯後 $A$ 相 $120^\circ$，$B$ 相滯後 $C$ 相 $120^\circ$（即 $B$ 相超前 $A$ 相 $120^\circ$）。
• 對應之對稱三相線電壓關係為：

• 務必特別注意：正相序（$abc$）下 $\boldsymbol{V}_{BC}$ 滯後 $\boldsymbol{V}_{AB}$ $120^\circ$（即 $-120^\circ$），但負相序（$acb$）下 $\boldsymbol{V}_{BC}$ 則是超前 $\boldsymbol{V}_{AB}$ $120^\circ$（即 $+120^\circ$）。

2. $\Delta$-連接負載之相電流：

• 線路阻抗為零時，負載各相之端電壓即為電源線電壓：

3. 各相功率與複數功率守恆定理（Boucherot's Theorem）：

• 各相吸收的複數功率為：

其中實功 $P = |\boldsymbol{I}|^2 R$，虛功 $Q = |\boldsymbol{I}|^2 X$（感性取正、容性取負）。

• 不論三相系統是否平衡，三相總功率均滿足功率代數守恆：

• 總視在功率 $S_T = |\boldsymbol{S}_T| = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2}$。
• 總功率因數 $\mathrm{PF}_T = \frac{P_T}{S_T} = \cos\theta_T$。

解題方法

步驟一：確定負相序三相電源電壓相量

已知線電壓大小為 $V_L = 240\text{ V}_{\mathrm{rms}}$，負相序，且以 $\boldsymbol{V}_{AB}$ 為 $0^\circ$ 參考：

步驟二：計算各相負載之相電流相量（第 (一) 小題）

將各相阻抗化為極座標形式：

• $Z_{AB} = 8 + j6 = 10\angle 36.87^\circ\,\Omega$
• $Z_{BC} = 5 - j12 = 13\angle -67.38^\circ\,\Omega$
• $Z_{CA} = j8 = 8\angle 90^\circ\,\Omega$

計算相電流相量：

1. $AB$ 相電流：

2. $BC$ 相電流：

化為主值角（$-180^\circ < \theta \le 180^\circ$）或直角座標：

3. $CA$ 相電流：

化為直角座標：

步驟三：計算各相負載吸收之實功與虛功（第 (一) 小題）

利用 $P = |\boldsymbol{I}|^2 R$ 與 $Q = |\boldsymbol{I}|^2 X$：

1. $AB$ 相功率（$|\boldsymbol{I}_{AB}| = 24\text{ A}$）：

2. $BC$ 相功率（$|\boldsymbol{I}_{BC}| = \frac{240}{13}\text{ A}$）：

核心觀念

本題旨在評量雙埠網路（Two-Port Network）之**開路阻抗參數（Impedance Parameters，簡稱 $z$ 參數）**的定義與求解能力。

1. 雙埠網路 $z$ 參數定義： 以埠電壓 $V_1$、$V_2$ 與埠電流 $I_1$、$I_2$ 表示之線性關係式如下： $V_1 = z_{11} I_1 + z_{12} I_2$ $V_2 = z_{21} I_1 + z_{22} I_2$ 以矩陣形式表示為： $\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z_{11} & z_{12} \\ z_{21} & z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \end{bmatrix}$

2. 各項 $z$ 參數之定義公式（開路測試法）：

• $z_{11} = \left. \dfrac{V_1}{I_1} \right|_{I_2 = 0}$（第二埠開路時，第一埠之輸入阻抗）
• $z_{21} = \left. \dfrac{V_2}{I_1} \right|_{I_2 = 0}$（第二埠開路時，第一埠至第二埠之轉移阻抗）
• $z_{12} = \left. \dfrac{V_1}{I_2} \right|_{I_1 = 0}$（第一埠開路時，第二埠至第一埠之轉移阻抗）
• $z_{22} = \left. \dfrac{V_2}{I_2} \right|_{I_1 = 0}$（第一埠開路時，第二埠之輸入阻抗）

3. 互易網路（Reciprocal Network）性質： 由線性非時變且無相依電源之被動電阻器所構成之網路，必然滿足互易定理，即： $z_{12} = z_{21}$

解題方法

由題意電路架構可知：

• 第一埠（左側）之上、下端點分別為正極與負極，端電壓為 $V_1$，電流 $I_1$ 由正極端流入、負極端流出；電阻器 $R_3$ 並聯跨接於第一埠兩端。
• 第二埠（右側）之上、下端點分別為正極與負極，端電壓為 $V_2$，電流 $I_2$ 由正極端流入、負極端流出；電阻器 $R_4$ 並聯跨接於第二埠兩端。
• 上方支路電阻器 $R_1$ 連接第一埠正極端與第二埠正極端；下方支路電阻器 $R_2$ 連接第一埠負極端與第二埠負極端。

採用標準的「開路測試法」分兩階段推導：

步驟一：令第二埠開路（$I_2 = 0$），求解 $z_{11}$ 與 $z_{21}$

1. 當第二埠開路時，端點無外接電流進出（$I_2 = 0$）。
2. 自第一埠注入電流 $I_1$，該電流於第一埠正極端點分為兩路：

• 路徑一：直接經由左側電阻器 $R_3$ 流至第一埠負極端。
• 路徑二：經由上方電阻器 $R_1$ 流向第二埠正極端，因 $I_2 = 0$，電流全數向下流經電阻器 $R_4$ 至第二埠負極端，再經由下方電阻器 $R_2$ 流回第一埠負極端。

3. 因此，路徑二為 $R_1$、$R_4$、$R_2$ 三者之串聯支路，其總等效阻抗為： $R_{\text{path2}} = R_1 + R_2 + R_4$
4. 第一埠兩端所見之等效輸入阻抗即為 $R_3$ 與該串聯支路之並聯值： $z_{11} = \left. \frac{V_1}{I_1} \right|_{I_2 = 0} = R_3 \parallel (R_1 + R_2 + R_4) = \frac{R_3(R_1 + R_2 + R_4)}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4}$
5. 根據分流定則（Current Divider Rule），流經路徑二（包含 $R_4$）之電流 $I_{R_4}$ 為： $I_{R_4} = I_1 \cdot \frac{R_3}{R_3 + (R_1 + R_2 + R_4)} = \frac{R_3}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} I_1$
6. 電流 $I_{R_4}$ 由正極端向下流經電阻器 $R_4$，產生之第二埠開路端電壓 $V_2$ 為： $V_2 = I_{R_4} \cdot R_4 = \frac{R_3 R_4}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} I_1$
7. 由轉移阻抗定義求得 $z_{21}$： $z_{21} = \left. \frac{V_2}{I_1} \right|_{I_2 = 0} = \frac{R_3 R_4}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4}$