112 關務特考三等 電機工程 電子學與電路學 考古題詳解

核心觀念

本題適合使用節點電壓法，關鍵觀念如下：

1. 理想電壓源可直接決定其兩端電壓。
2. 以底部導線為接地端，右側 $60\text{ V}$ 電壓源上端為正，因此右上節點電壓為 $60\text{ V}$。
3. 圖中 $50\text{ V}$ 電壓源右端為正，故其左端電壓比右端低 $50\text{ V}$。
4. 左側 $10\text{ A}$ 理想電流源會將固定的 $10\text{ A}$ 注入左上節點；串聯的 $6\Omega$ 電阻不影響該節點的注入電流。

解題方法

設左上節點電壓為 $V_A$，$5\Omega$ 電阻與 $50\text{ V}$ 電壓源之間的節點電壓為 $V_C$。

由右側 $60\text{ V}$ 電壓源：

由 $50\text{ V}$ 電壓源右端為正：

因此：

由 $40\text{ V}$ 電壓源上端為正，$4\Omega$ 電阻下端電壓為：

在左上節點 $A$ 套用 KCL。流出節點 $A$ 的電流包括：

• 經由上方 $5\Omega$ 電阻流向節點 $C$ 的電流；
• 題目所求經由 $4\Omega$ 電阻向下的電流 $I$。

因為左側電流源注入 $10\text{ A}$，所以：

核心觀念

本題考查一階 $RL$ 暫態電路，使用：

1. 電感電流連續性： $i_L(0^+)=i_L(0^-).$

2. 電感電流響應： $i_L(t)=i_L(\infty)+\left[i_L(0^+)-i_L(\infty)\right]e^{-t/\tau}.$

3. 時間常數： $\tau=\frac{L}{R_{\text{th}}}.$

其中 $R_{\text{th}}$ 為將獨立電壓源短路後，從電感端看入的等效電阻。

一、求 $i_L(0^-)$

在 $t<0$ 時，開關 $SW$ 尚未閉合，且直流穩態下電感視為短路。

電感右端等效接地，因此上方兩條電阻支路皆連接於 $10\text{ V}$ 電源兩端：

• 上方支路：$10\Omega$
• 中間支路：$10\Omega+20\Omega=30\Omega$

電感電流為兩支路電流之和：

由電感電流連續性：

電流方向與圖中箭頭相同，向下。

二、求 $i_L(\infty)$

在 $t>0$ 且達到穩態時，電感仍視為短路。

此時右上端節點等於接地，因此：

• 上方 $10\Omega$ 電阻直接接在 $10\text{ V}$ 與地之間；
• 中間支路為 $10\Omega+20\Omega=30\Omega$，亦接在 $10\text{ V}$ 與地之間；
• 開關閉合後的下方 $10\Omega$ 電阻，接在中間兩電阻的接點與地之間。

求電感端的戴維寧等效電壓較為直接。將電感開路後，右端節點沒有電流流出，因此上方 $10\Omega$ 電阻無壓降，故：

將獨立電壓源短路，求電感端看入的等效電阻：

因為：

所以：

核心觀念

本題考查 n-channel enhancement MOSFET 的直流偏壓分析，使用：

1. 飽和區電流公式 $I_D=K_n(V_{GS}-V_{TN})^2$

2. 汲極電阻的電壓降 $V_D=V_{DD}-I_DR_D$

3. 汲源電壓關係 $V_{DS}=V_D-V_S$

4. 分壓電路求閘極電壓 $V_G=V_{DD}\frac{R_2}{R_1+R_2}$

由圖可知 $V_{DD}=10\ \mathrm{V}$、$R_D=6\ \mathrm{k\Omega}$、$R_1=5\ \mathrm{M\Omega}$。

解題方法

1. 求 $V_{GS}$

已知

$I_D=0.5\ \mathrm{mA},\qquad K_n=0.5\ \mathrm{mA/V^2}$

代入 MOSFET 飽和區公式：

$0.5=0.5(V_{GS}-1)^2$

因此

$(V_{GS}-1)^2=1$

取導通所需的正值：

$V_{GS}-V_{TN}=1\ \mathrm{V}$

所以

$V_{GS}=2\ \mathrm{V}$

2. 求源極電壓 $V_S$

汲極電阻上的電壓降為

$I_DR_D=(0.5\ \mathrm{mA})(6\ \mathrm{k\Omega})=3\ \mathrm{V}$

故汲極電壓

$V_D=10-3=7\ \mathrm{V}$

又已知 $V_{DS}=5\ \mathrm{V}$：

$V_{DS}=V_D-V_S$

$5=7-V_S$

得到

$V_S=2\ \mathrm{V}$

3. 求源極電阻 $R_S$

因為

$V_S=I_DR_S$

所以

核心觀念

本題考查 BJT 共射極放大器的小訊號模型，需使用：

• 互導參數 $g_m=\frac{I_{CQ}}{V_T}$
• 混合 $\pi$ 型模型的擴散電阻 $r_\pi=\frac{\beta}{g_m}=\frac{\beta V_T}{I_{CQ}}$
• 中頻時耦合電容視為短路。
• 直流電源 $9\ \mathrm{V}$ 在小訊號分析中視為交流接地。
• 因 $V_A=\infty$，故小訊號輸出電阻 $r_o=\infty$

（一）求 $r_\pi$ 與 $g_m$

已知

互導參數為

擴散電阻為

因此

（二）小訊號等效電路

中頻小訊號分析時：

1. 輸入、輸出耦合電容視為短路。
2. $9\ \mathrm{V}$ 電源接交流地。
3. $V_A=\infty$，因此省略 $r_o$。
4. 基極偏壓電阻變成接地的並聯電阻：

5. 集極負載為 $R_C\parallel R_L=25\ \mathrm{k}\Omega\parallel3\ \mathrm{k}\Omega$

小訊號等效電路可用文字表示如下：

• $v_s$ 經過 $8\ \mathrm{k}\Omega$ 串聯電阻接至基極。
• 基極至地有 $r_\pi=2.261\ \mathrm{k}\Omega$ 與 $25\ \mathrm{k}\Omega\parallel12.5\ \mathrm{k}\Omega$。
• 發射極直接接地。
• 集極至地接 $25\ \mathrm{k}\Omega\parallel3\ \mathrm{k}\Omega$。
• 集極與發射極間為受控電流源 $g_mv_\pi$，方向由集極流向發射極。
• 輸出電壓 $v_o$ 取自集極。

（三）求小訊號電壓增益 $A_v=v_o/v_s$

1. 求基極輸入電阻

偏壓電阻的交流等效值為

因此，信號源看到的放大器輸入電阻為