110 年關務特考三等電機工程考古題與詳解

Question 1

圖一中，$Q1$ 偏壓於主動區，$IC=0.24\,\mathrm{mA}$，熱等效電壓（thermal equivalent voltage）$VT=25\,\mathrm{mV}$，$RC=3\,\mathrm{k}\Omega$，$R{EE}=540\,\Omega$，$\beta=24$，$ro=\infty$。基極電壓 $vB$ 含輸入小訊號 $v{in}$ 以及必要的直流電壓 $VB$，耦合電容 $C	o\infty$。 先算出電晶體小訊號參數 $gm$ 與 $r\pi$，畫出整個放大器的小訊號模型電路，再求算小訊號輸入電阻 $R{in}$、輸出電阻 $Ro$ 及電壓增益 $vo/v{in}$。（25 分） 【圖一】🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

本題考查 BJT 共射極放大器的小訊號混合 $\pi$ 模型。交流分析時，直流電源視為交流接地；耦合電容 $C\to\infty$ 視為短路； $r_o=\infty$ 表示集極至射極的小訊號輸出電阻開路。

未旁路的射極電阻 $R_{EE}$ 會形成射極退化，使基極輸入電阻增加，並降低電壓增益。

解題方法

1. 求電晶體小訊號參數

g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{0.24\,\mathrm{mA}}{25\,\mathrm{mV}} =9.6\,\mathrm{mS}

r_\pi=\frac{\beta}{g_m} =\frac{24}{9.6\,\mathrm{mS}} =2.5\,\mathrm{k}\Omega

2. 畫小訊號模型

交流等效電路中， $+V_{CC}$ 與 $-V_{EE}$ 均接地，耦合電容以短路取代。晶體管以 $r_\pi$ 、受控電流源 $g_m v_\pi$ 和開路的 $r_o$ 表示：

 RC = 3 kΩ
 集極 o──/\/\/──地
 │
 ↓ gm·vπ
 │
輸入 vin ─────基極 o──rπ──o 射極
 │
 REE = 540 Ω
 │
 地

其中 $v_\pi=v_b-v_e$ ，受控電流源方向由集極流向射極。

3. 求輸入電阻 $R_{in}$

從基極看入，射極電阻反映至基極時乘上 $(\beta+1)$ ，因此

R_{in}=r_\pi+(\beta+1)R_{EE}

R_{in}=2.5\,\mathrm{k}\Omega+25(540\,\Omega) =16\,\mathrm{k}\Omega

4. 求輸出電阻 $R_o$

Question 2

圖二（a）與圖二（b）均為線性電路，$R1=R2=R6=2\,\mathrm{k}\Omega$，$R3=3\,\mathrm{k}\Omega$，$R4=4\,\mathrm{k}\Omega$，$R5=R7=1\,\mathrm{k}\Omega$。 對電路 $N$ 而言，圖二（a）與圖二（b）虛線框內電路完全等效，求算 $Rx$ 之值及 $Vx$ 與 $Vs$ 之關係。（25 分） 【圖二】🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 圖二（a）與圖二（b）對電路 $N$ 完全等效，表示從 $N$ 的輸入端看進去，兩者須有相同的戴維寧等效電壓與等效電阻： - $Vx$ 為圖二（a）輸出端的開路電壓。 - $Rx$ 為將獨立電壓源 $Vs$ 設為零（理想電壓源短路）後，從輸出端看入的等效電阻。 解題方法 以下電阻以 $\mathrm{k}\Omega$ 為單位。輸出開路時，$R7$ 中沒有電流，因此 $R7$ 上沒有壓降。 先由右向左化簡電阻梯形網路。從 $R3$ 右端看向地： $$ R4\parallel(R5+R6) =4\parallel(1+2) =\frac{12}{7} $$ 因此，$R1$ 右端的對地等效電阻為 $$ R2\parallel\left(R3+\frac{12}{7}\right) =2\parallel\frac{33}{7} =\frac{66}{47} $$ $R1$ 與此等效電阻形成分壓，所以 $R1$ 右端電壓為 $$ V1=Vs\frac{66/47}{2+66/47} =\frac{33}{80}Vs $$ 再由分壓求得 $R3$ 右端及輸出端電壓： $$ V2=V1\frac{12/7}{3+12/7} =\frac{4}{11}V1 =\frac{3}{20}Vs $$

Question 3

圖三網路 $Rs=RL=1\,\Omega$，$L=1\,\mu\mathrm{H}$，$C=1\,\mu\mathrm{F}$。時間 $t\leq 0$ 時，$L$ 與 $C$ 無儲存能量，輸入電壓 $Vs(t)=u(t)$，其中 $u(t)$ 為單位步級函數（$t<0$ 時，$u(t)=0\,\mathrm{V}$；$t0$ 時，$u(t)=+1\,\mathrm{V}$）。 先說明 $L$ 與 $C$ 阻抗與頻率的關係，再據此說明理由，以判斷在 $t=0^+$ 與 $t	o\infty$ 時，$Vo(t)$ 分別為何值。（25 分） 【圖三】🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 電感與電容的阻抗會隨頻率改變： $$ ZL=j\omega L,\qquad |ZL|=\omega L $$ 頻率愈高，電感阻抗愈大；直流穩態時 $\omega=0$，電感等效為短路。 $$ ZC=\frac{1}{j\omega C},\qquad |ZC|=\frac{1}{\omega C} $$ 頻率愈高，電容阻抗愈小；直流穩態時，電容等效為開路。 此外，電感電流不能瞬間改變，電容電壓不能瞬間改變。本題在 $t\leq 0$ 時兩者均無儲存能量，因此 $iL(0^-)=0$、$vC(0^-)=0$。 解題方法 在 $t=0^+$：剛接上步階電壓時，電感電流仍須為零，電感等效為開路；電容電壓仍須為零，電容等效為短路。輸出端與電容並聯，因此輸出電壓被短路至零：

Question 4

畫出轉換函數（transfer function） $$ H(s)=\frac{3	imes10^4}{(s+10)(s+100)} $$ 其中 $s=j\omega$，相位頻率響應（以度（°）表示）的直線近似波德圖（Bode plot）。 橫軸角頻率對數範圍至少包含 $\omega=10^{-2}$ 至 $10^4\,\mathrm{rad/sec}$，縱軸須涵蓋 $\angle H(\omega)$ 在上述頻率範圍內的角度。必須標註橫座標軸與縱座標軸之變數與單位、各線段轉折點的橫軸與縱座標，以及各直線的斜率。（25 分）

Accepted Answer

核心觀念 相位波德圖以 $\log{10}\omega$ 為橫軸、相位角 $\angle H(j\omega)$ 為縱軸。每個一階極點因子 $1/(1+j\omega/\omegap)$ 的精確相位為 $$ -	an^{-1}\left(\frac{\omega}{\omegap}ight), $$ 直線近似則在 $0.1\omegap$ 至 $10\omegap$ 之間，以斜率 $-45^\circ/	ext{dec}$ 由 $0^\circ$ 線性降至 $-90^\circ$；區間外分別近似為 $0^\circ$ 與 $-90^\circ$。 解題方法 先將轉換函數寫成標準形式： $$ H(j\omega)= \frac{3	imes10^4}{(10+j\omega)(100+j\omega)} = 30\cdot\frac{1}{1+j\omega/10}\cdot\frac{1}{1+j\omega/100}. $$ 常數 $30$ 為正實數，不貢獻相位。兩個極點頻率為 $\omega{p1}=10$ 與 $\omega{p2}=100\ \mathrm{rad/sec}$，因此總相位是兩個一階極點相位的直線近似相加。 第一個極點的轉折範圍為 $1$ 至 $100\ \mathrm{rad/sec}$；第二個極點的轉折範圍為 $10$ 至 $1000\ \mathrm{rad/sec}$。相加後各區段如下： | 角頻率 $\omega$（rad/sec） | 相位近似 | 斜率 | |---|---:|---:| | $10^{-2}\leq\omega\leq1$ | $0^\circ$ | $0^\circ/	ext{dec}$ | | $1\leq\omega\leq10$ | $-45\log{10}(\omega/1)^\circ$ | $-45^\circ/	ext{dec}$ | | $10\leq\omega\leq100$ | $-45^\circ-90\log{10}(\omega/10)^\circ$ | $-90^\circ/	ext{dec}$ |

110 關務特考三等電機工程電子學與電路學考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

1. 求電晶體小訊號參數

2. 畫小訊號模型

3. 求輸入電阻 $R_{in}$

4. 求輸出電阻 $R_o$

第二題25 分

第三題25 分

核心觀念

解題方法

第四題25 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

110 年電機工程的其他科目

電機工程《電子學與電路學》其他年度

角頻率 $\omega$ （rad/sec）	相位近似	斜率
$10^{-2}\leq\omega\leq1$	$0^\circ$	$0^\circ/\text{dec}$
$1\leq\omega\leq10$	$-45\log_{10}(\omega/1)^\circ$	$-45^\circ/\text{dec}$
$10\leq\omega\leq100$	$-45^\circ-90\log_{10}(\omega/10)^\circ$	$-90^\circ/\text{dec}$

110 關務特考三等 電機工程 電子學與電路學 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

解題方法

1. 求電晶體小訊號參數

2. 畫小訊號模型

3. 求輸入電阻 RinR_{in}Rin​

4. 求輸出電阻 RoR_oRo​

第 二 題25 分

第 三 題25 分

核心觀念

解題方法

第 四 題25 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

110 年電機工程的其他科目

電機工程《電子學與電路學》其他年度

110 關務特考三等電機工程電子學與電路學考古題詳解

第一題25 分

3. 求輸入電阻 $R_{in}$

4. 求輸出電阻 $R_o$

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分