111 關務特考三等 電機工程 電子學與電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 理想運算放大器的虛短特性： $v_+=v_-$
2. 理想運算放大器輸入端電流為零： $i_+=i_-=0$
3. 儀表放大器由兩級構成：

• 第一級為兩個非反相放大器，提供高輸入阻抗與差動放大。
• 第二級為差動放大器，將第一級兩輸出相減。

令第一級上方、下方運算放大器輸出分別為 $v_{o1}$、$v_{o2}$。

解題方法

先利用理想運算放大器的虛短特性，求出第一級兩個輸出電壓，再利用第二級差動放大器求得 $v_o$。

一、第一級輸出電壓

上方運算放大器的反相端電壓為 $v_{i1}$。在該節點寫 KCL：

整理得：

因此：

下方運算放大器的反相端電壓為 $v_{i2}$。同理：

整理得：

即：

兩輸出相減：

二、第二級差動放大器

第二級的非反相端電壓由分壓器得到：

由虛短特性：

在反相端寫 KCL：

整理：

代入 $v_-= \dfrac{R_4}{R_3+R_4}v_{o2}$：

因此：

再代入第一級結果：

核心觀念

本題考查二極體的導通／截止判斷、電容充電與電壓倍增器（voltage doubler）。

以理想二極體分析：

• 導通時：$v_D=0$。
• 截止時：二極體相當於開路。
• $C_1$ 先在正半週建立電壓，使輸入電壓與電容電壓疊加。
• $C_2$ 再於負半週被充電，形成約兩倍峰值的直流輸出。

圖中 $v_o$ 的極性為「下正、上負」，因此輸出端上方實際電位為負，但 $v_o$ 的讀值為正。

解題方法與二極體動作

令輸入電壓為

其中 $V_p$ 為輸入峰值。

1. 正半週：$D_1$ 導通

當輸入電壓為正半週時，$D_1$ 導通，左側電容右端節點被箝位在接近地電位：

因此在輸入達到正峰值 $V_p$ 時，$C_1$ 充電至

其左端電位高於右端 $V_p$。

2. 負半週：電壓疊加

輸入電壓變為負值時，$D_1$ 截止，電容電壓不能突變，因此節點 $A$ 的電壓為

理想情況下 $v_{C_1}=V_p$，故

當輸入達到負峰值 $v_i=-V_p$ 時，

3. $D_2$ 導通並充電 $C_2$

當節點 $A$ 變成負電位時，$D_2$ 導通，將 $C_2$ 的上端充至約 $-2V_p$。

由於 $C_2$ 下端接地，且圖示輸出極性為下正上負，所以

在沒有負載的理想條件下，$C_2$ 充電後可保持此電壓。

$v_{D1}$ 波形

圖中 $v_{D1}$ 的正端在上方、負端在下方，因此

穩態時：

所以其最大值與最小值為

核心觀念

本題考查二階無源 $RLC$ 電路的自然響應。$t=0$ 時開關切換，使 $10\text{ V}$ 電壓源與右側電路分離；其後 $12\Omega$ 電阻接地，電路呈現無源衰減響應。

電感電流具有連續性，題目已給定：

其中 $i(t)$ 為流經 $6\Omega$ 電阻及 $2\text{ H}$ 電感的電流。

解題方法

令流經 $3\text{ H}$ 電感向下的電流為 $j(t)$，題目所求電流 $i(t)$ 向右流經 $6\Omega$ 電阻。

設中間節點電壓為 $v_a$，右側節點電壓為 $v_b$。

由 $2\text{ H}$ 電感之端電壓：

由 $6\Omega$ 電阻：

因此：

又因 $3\text{ H}$ 電感電流為 $j(t)$，所以：

故有：

即：

在中間節點套用 KCL，流經 $12\Omega$ 電阻的電流為 $\dfrac{v_a}{12}$，因此：

代入 $v_a=3j'$，得：

對上式微分：

由

可得：

核心觀念

圖四為串聯 RLC 電路：

• $R=1\ \Omega$
• $L=2\ \mu\text{H}=2\times10^{-6}\ \text{H}$
• $C=50\ \text{pF}=50\times10^{-12}\ \text{F}$
• 電源 $\dot V_s=25\angle0^\circ\ \text{mV}$

串聯 RLC 電路的主要公式為：

（一）諧振頻率

先求諧振角頻率：

因此諧振頻率為：

（二）品質因數

串聯 RLC 電路：

代入數值：

（三）頻寬

串聯 RLC 電路的頻寬為：

代入數值：

亦可由

驗算：

（四）高頻及低頻截止頻率

半功率頻率的條件為：

其中

因此兩截止角頻率為：

先計算：

故：