111 關務特考三等 電機工程 電力系統 考古題詳解

111 年・關務特考・三等・電機工程
試題代碼 電力系統

第 一 題20 分

一雙回路之三相輸電線，由 S\mathrm{S} 端送電至 R\mathrm{R} 端，單線圖如圖一(a)所示，每個導體直徑為 2 cm2\text{ cm}，若導體排列方式如圖一(b)所示，回路 2 之 S\mathrm{S} 端接地且 R\mathrm{R} 端開路，回路 1 三相平衡電流有效值為 500 A500\text{ A}，忽略導線電阻。

(一) 求回路 2 之 R\mathrm{R} 端 A\mathrm{A} 相電壓有效值。（10 分） (二) 若回路 2 之 R\mathrm{R} 端接地，試求回路 2 的 A\mathrm{A} 相電流有效值。（10 分）

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核心觀念

本題考查雙回路架空輸電線的：

  • 導線對地鏡像法
  • 三相線路的互感
  • 平衡三相電流
  • 開路感應電壓
  • 短路時以阻抗矩陣求感應電流

導線半徑為

r=1 cm=0.01 mr=1\text{ cm}=0.01\text{ m}

導線的幾何平均半徑取

r′=0.7788r=0.007788 mr'=0.7788r=0.007788\text{ m}

台灣電力系統頻率取 f=60 Hzf=60\text{ Hz}，故

ω=2πf=376.99 rad/s\omega=2\pi f=376.99\text{ rad/s}

線路長度為

ℓ=60 km=60000 m\ell=60\text{ km}=60000\text{ m}

一、回路 2 的 R 端 A 相電壓

1. 導線位置與距離

由圖可知：

  • AA 導線距地面 32 m32\text{ m}
  • BB 導線距地面 26 m26\text{ m}
  • CC 導線距地面 20 m20\text{ m}
  • 左、右兩回路水平距離為 8 m8\text{ m}

利用地面鏡像法，兩導線間的互感電感為

Mij=2×10−7ℓln⁡(Dij′Dij)M_{ij}=2\times10^{-7}\ell \ln\left(\frac{D'_{ij}}{D_{ij}}\right)

其中 DijD_{ij} 為實際導線間距離，Dij′D'_{ij} 為一條導線與另一條導線鏡像間的距離。

對回路 2 的 A2A_2 導線：

DA2A1′DA2A1=648=8,DA2B1′DA2B1=82+58210=5.855,DA2C1′DA2C1=82+52282+122=3.647.\begin{aligned} \frac{D'_{A_2A_1}}{D_{A_2A_1}} &=\frac{64}{8}=8,\\ \frac{D'_{A_2B_1}}{D_{A_2B_1}} &=\frac{\sqrt{8^2+58^2}}{10}=5.855,\\ \frac{D'_{A_2C_1}}{D_{A_2C_1}} &=\frac{\sqrt{8^2+52^2}}{\sqrt{8^2+12^2}} =3.647. \end{aligned}

因此相對應的對數值為

ln⁡8=2.0794,ln⁡5.855=1.767,ln⁡3.647=1.294.\ln 8=2.0794,\qquad \ln 5.855=1.767,\qquad \ln 3.647=1.294.

2. 回路 1 的三相電流

令

IA1=500∠0∘,IB1=500∠−120∘,IC1=500∠120∘.\begin{aligned} I_{A1}&=500\angle0^\circ,\\ I_{B1}&=500\angle-120^\circ,\\ I_{C1}&=500\angle120^\circ. \end{aligned}

回路 2 的 SS 端接地、RR 端開路，因此 A2A_2 導線中沒有電流，R 端電壓即為回路 1 電流所造成的互感感應電壓：

VA2=jω(2×10−7)ℓ[2.0794IA1+1.767IB1+1.294IC1].V_{A2} =j\omega(2\times10^{-7})\ell \left[ 2.0794I_{A1} +1.767I_{B1} +1.294I_{C1} \right].

先計算括號內的相量：

2.0794+1.767∠(−120∘)+1.294∠120∘=0.548−j0.410.\begin{aligned} &2.0794 +1.767\angle(-120^\circ) +1.294\angle120^\circ\\ &\qquad=0.548-j0.410. \end{aligned}

其大小為

∣0.548−j0.410∣=0.685.\left|0.548-j0.410\right|=0.685.

又

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第 二 題20 分

一電力系統單線圖如圖二所示：

(一) 試以變壓器容量及線路電壓為基準，繪出標么等效電路。（10 分） (二) 試以 Gauss 法求出經 2 次疊代後的 V2\mathrm{V}_2 實際值（V\mathrm{V}）。（10 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 標么值基準的選定與換算。
  2. 三相系統基準阻抗： Zbase=Vbase2SbaseZ_{\mathrm{base}}=\frac{V_{\mathrm{base}}^2}{S_{\mathrm{base}}}
  3. 負載潮流中，PQ 負載以 Gauss 法求解電壓。
  4. 負載功率與電流關係： S=VI∗⇒I=S∗V∗S=VI^* \quad\Rightarrow\quad I=\frac{S^*}{V^*}

以變壓器容量 10 MVA10\ \mathrm{MVA} 為容量基準，線路側電壓 138 kV138\ \mathrm{kV} 為電壓基準。

（一）標么等效電路

1. 基準值

容量基準：

Sbase=10 MVAS_{\mathrm{base}}=10\ \mathrm{MVA}

線路側電壓基準：

Vbase,2=138 kVV_{\mathrm{base},2}=138\ \mathrm{kV}

變壓器低壓側電壓基準依匝數比為：

Vbase,1=13.8 kVV_{\mathrm{base},1}=13.8\ \mathrm{kV}

線路阻抗基準：

Zbase=(138)210=1904.4 ΩZ_{\mathrm{base}} =\frac{(138)^2}{10} =1904.4\ \Omega

因此線路標么阻抗為：

ZLpu=j4761904.4=j0.25 puZ_L^{pu} =\frac{j476}{1904.4} =j0.25\ pu

變壓器漏抗已給為：

XT=j0.1 puX_T=j0.1\ pu

負載功率為：

S2=8+j6 MVAS_2=8+j6\ \mathrm{MVA}

換算成標么值：

S2pu=8+j610=0.8+j0.6 puS_2^{pu} =\frac{8+j6}{10} =0.8+j0.6\ pu

由於負載為消耗功率，注入系統的功率為：

S2,inj=−0.8−j0.6 puS_{2,\mathrm{inj}}=-0.8-j0.6\ pu

2. 標么等效電路

標么等效電路可表示為：

E1  −  j0.1  −  V1  −  j0.25  −  V2  −  S2E_1 \;-\;j0.1\;-\;V_1 \;-\;j0.25\;-\;V_2 \;-\;S_2

其中：

  • 變壓器漏抗：j0.1 puj0.1\ pu
  • 線路阻抗：j0.25 puj0.25\ pu
  • ∣V1∣=138 kV=1 pu|V_1|=138\ \mathrm{kV}=1\ pu
  • 負載：S2=0.8+j0.6 puS_2=0.8+j0.6\ pu
  • 變壓器之 Δ\Delta—Y 接線，其相位關係由變壓器接線決定；本題已指定 V1V_1 為電壓基準，求 V2V_2 時直接以 V1=1∠0∘ puV_1=1\angle0^\circ\ pu 計算。

（二）以 Gauss 法求 V2V_2

1. Gauss 迭代公式

線路電流為：

I2=S2∗V2∗=0.8−j0.6V2∗I_2=\frac{S_2^*}{V_2^*} =\frac{0.8-j0.6}{V_2^*}

線路壓降為：

V1−V2=j0.25I2V_1-V_2=j0.25I_2

因此：

V2(k+1)=V1−j0.250.8−j0.6(V2(k))∗V_2^{(k+1)} =V_1-j0.25\frac{0.8-j0.6}{\left(V_2^{(k)}\right)^*}

又因為：

j0.25(0.8−j0.6)=0.15+j0.2j0.25(0.8-j0.6)=0.15+j0.2

故迭代式為：

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第 三 題20 分

某三相 60 Hz60\text{ Hz} 電力系統，以線路側 100 MVA100\text{ MVA}、115 kV115\text{ kV} 為基值計算系統元件各相序阻抗標么值如圖三(a)單線圖所示。若忽略故障前之電流，並假設發電機電動勢為 1.0∠0∘ pu1.0\angle 0^\circ\text{ pu}。

(一) 試繪出正序、負序、零序電路圖。（6 分） (二) 若匯流排 A\mathrm{A} 相發生阻抗接地故障，如圖三(b)所示，試求短路電流 If\mathrm{I}_{\mathrm{f}} 實際值（A\mathrm{A}）。（7 分） (三) 若匯流排 BC\mathrm{BC} 相發生短路故障，如圖三(c)所示，試求短路電流 If\mathrm{I}_{\mathrm{f}} 實際值（A\mathrm{A}）。（7 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 三相故障的對稱分量法。
  2. 正序、負序、零序等值電路。
  3. A\mathrm{A}相阻抗接地故障與BC\mathrm{BC}兩相短路故障。
  4. 標么值轉換為實際短路電流。

圖三(a)中：

  • 發電機：X1=X2=0.10X_1=X_2=0.10 pu，X0=0.03X_0=0.03 pu。
  • 變壓器：X1=X2=X0=0.05X_1=X_2=X_0=0.05 pu。
  • 變壓器左側為Δ\Delta接，右側為接地YY接，故右側匯流排可通過變壓器接地，但零序電流不能通過Δ\Delta側流入發電機。
  • 故障前電流忽略，發電機內電勢為E=1∠0∘E=1\angle0^\circ pu。

（一）正序、負序、零序電路

1. 正序電路

正序電路包含發電機正序電抗與變壓器正序電抗，並有發電機內電勢：

E=1∠0∘E=1\angle0^\circ Z1=jX1G+jX1T=j0.10+j0.05=j0.15 puZ_1=jX_{1G}+jX_{1T} =j0.10+j0.05=j0.15\ \text{pu}

等值電路為：

E⟶j0.10⟶j0.05⟶匯流排E \longrightarrow j0.10 \longrightarrow j0.05 \longrightarrow \text{匯流排}

2. 負序電路

負序電路沒有電源，只有負序阻抗：

Z2=jX2G+jX2T=j0.10+j0.05=j0.15 puZ_2=jX_{2G}+jX_{2T} =j0.10+j0.05=j0.15\ \text{pu}

等值電路為：

匯流排⟶j0.05⟶j0.10⟶接地\text{匯流排} \longrightarrow j0.05 \longrightarrow j0.10 \longrightarrow \text{接地}

3. 零序電路

由於變壓器為Δ−Y\Delta-Y接，且匯流排側為接地YY接：

  • 零序電流可由匯流排流入變壓器接地中性點。
  • 零序電流無法通過Δ\Delta側流入發電機。
  • 因此發電機的X0=0.03X_0=0.03 pu不會列入匯流排端零序阻抗。

故：

Z0=jX0T=j0.05 puZ_0=jX_{0T}=j0.05\ \text{pu}

零序等值電路為：

匯流排⟶j0.05⟶接地\text{匯流排} \longrightarrow j0.05 \longrightarrow \text{接地}

（二）匯流排A相阻抗接地故障

解題方法

單相接地故障時，正序、負序、零序電路串聯，且三個序電流相等：

I1=I2=I0I_1=I_2=I_0

故障阻抗為：

Zf=j0.1 puZ_f=j0.1\ \text{pu}

由於三個序網路串聯，故障阻抗在序網路中須乘以33。

因此：

If=Ia=3I1I_f=I_a=3I_1 I1=EZ1+Z2+Z0+3ZfI_1= \frac{E}{Z_1+Z_2+Z_0+3Z_f}

代入：

I1=1j0.15+j0.15+j0.05+3(j0.1)I_1= \frac{1} {j0.15+j0.15+j0.05+3(j0.1)} I1=1j0.65=−j1.5385 puI_1= \frac{1}{j0.65} =-j1.5385\ \text{pu}

所以故障電流：

If=3I1=−j4.6154 puI_f=3I_1 =-j4.6154\ \text{pu}

其標么值大小為：

∣If∣=4.6154 pu|I_f|=4.6154\ \text{pu}

標么電流基值

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第 四 題20 分

一個電力系統具三匯流排，如圖四所示。在基值容量為 1000 MVA1000\text{ MVA} 時，各機組／負載的參數如下表所示：

機組／負載發電量／用電量頻率特性
機組 1400 MW400\text{ MW}速率調整率 R1=6%R_1 = 6\%
機組 2600 MW600\text{ MW}速率調整率 R2=4%R_2 = 4\%
負載 1300 MW300\text{ MW}頻率增加 1%1\%，負載增加 1.5%1.5\%
負載 2300 MW300\text{ MW}頻率增加 1%1\%，負載增加 1.2%1.2\%
負載 3400 MW400\text{ MW}頻率增加 1%1\%，負載增加 0.8%0.8\%

所有機組並聯運轉在標稱頻率 60 Hz60\text{ Hz}，若負載 3 突然增加 100 MW100\text{ MW}，且兩部機組均有能力進行調整，試求：

(一) 系統穩態工作頻率。（8 分） (二) P13\mathrm{P}_{13} 新的傳送功率。（6 分） (三) P23\mathrm{P}_{23} 新的傳送功率。（6 分）

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核心觀念

本題考查：

  1. 發電機速率調整率（droop）與頻率變動的關係。
  2. 負載頻率特性所造成的負載變化。
  3. 系統穩態功率平衡。
  4. 各區域發電與負載變化對聯絡線功率 P13P_{13}、P23P_{23} 的影響。

以 1000 MVA1000\text{ MVA} 為基值，頻率變動採標么值表示：

Δfpu=Δf60\Delta f_{\text{pu}}=\frac{\Delta f}{60}

發電機之功率變化為：

ΔPGi=−ΔfpuRi\Delta P_{Gi}=-\frac{\Delta f_{\text{pu}}}{R_i}

頻率下降時，發電機增加輸出功率。

解題方法

1. 負載頻率特性

負載 1、2、3 的頻率敏感度分別為：

D1=0.3(1.5)=0.45D_1=0.3(1.5)=0.45 D2=0.3(1.2)=0.36D_2=0.3(1.2)=0.36 D3=0.4(0.8)=0.32D_3=0.4(0.8)=0.32

因此系統總負載頻率特性為：

D=D1+D2+D3=0.45+0.36+0.32=1.13D=D_1+D_2+D_3=0.45+0.36+0.32=1.13

負載 3 突然增加：

ΔPL,dist=1001000=0.1 pu\Delta P_{L,\text{dist}}=\frac{100}{1000}=0.1\text{ pu}

兩部發電機的總調速特性為：

1R1+1R2=10.06+10.04=41.6667\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} =\frac{1}{0.06}+\frac{1}{0.04} =41.6667

2. 系統穩態頻率

穩態功率平衡式為：

−(1R1+1R2)Δfpu=0.1+DΔfpu-\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)\Delta f_{\text{pu}} = 0.1+D\Delta f_{\text{pu}}

代入數值：

−41.6667Δfpu=0.1+1.13Δfpu-41.6667\Delta f_{\text{pu}} = 0.1+1.13\Delta f_{\text{pu}}

因此：

Δfpu=−0.141.6667+1.13=−0.0023366\Delta f_{\text{pu}} = -\frac{0.1}{41.6667+1.13} = -0.0023366

換算為實際頻率變化：

Δf=60(−0.0023366)=−0.1402 Hz\Delta f=60(-0.0023366) =-0.1402\text{ Hz}

所以系統穩態工作頻率為：

f=60−0.1402=59.8598 Hzf=60-0.1402 =\boxed{59.8598\text{ Hz}}

（二）P13P_{13} 新的傳送功率

由圖四，初始時：

P13=PG1−PL1=400−300=100 MWP_{13}=P_{G1}-P_{L1}=400-300=100\text{ MW}

機組 1 輸出變化

ΔPG1=−−0.00233660.06(1000)=38.9438 MW\Delta P_{G1} = -\frac{-0.0023366}{0.06}(1000) = 38.9438\text{ MW}

負載 1 變化

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第 五 題20 分

試繪接線圖，並說明工作原理：

(一) 試繪零相比流器（ZCT）之接線圖，並說明其工作原理。（10 分） (二) 試繪接地比壓器（GPT）之接線圖，並說明其工作原理。（10 分）

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核心觀念

本題旨在考驗電力系統中零相分量檢測元件之電路接線圖與工作原理，屬於非接地系統（或高電阻接地系統）接地保護的必考經典題型。主要核心觀念包含：

  1. 對稱分量法（Symmetrical Components）與零相分量：
  • 零相電流：I˙0=13(I˙A+I˙B+I˙C)\dot{I}_0 = \frac{1}{3}(\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C)
  • 零相電壓：V˙0=13(V˙A+V˙B+V˙C)\dot{V}_0 = \frac{1}{3}(\dot{V}_A + \dot{V}_B + \dot{V}_C)
  1. 零相比流器（Zero-Phase-Sequence Current Transformer, ZCT）：基於安培環路定律與克希荷夫電流定律（KCL），利用環形鐵心同時貫穿三相導線。正常運轉時三相電流向量和為零；單線接地故障（SLG）時，三相不平衡產生 3I˙03\dot{I}_0 淨磁通，激磁二次側繞組驅動接地故障繼電器（GFR / 51G）。
  2. 接地比壓器（Ground Potential Transformer, GPT）：一次側為 YY 接線且中性點直接接地，二次側具備主二次繞組（YY 接線，供系統對地電壓與線電壓測量）與輔助二次繞組（開口三角接線 Open-Delta，供 3V˙03\dot{V}_0 電壓檢測）。單線接地故障時，非故障相對地電壓上升，開口三角兩端產生殘留零相電壓，驅動接地過電壓繼電器（GVR / 64G / 59N）動作。

解題方法

本題分為兩個小題，解題切入點為分別說明 ZCT 與 GPT 的結構佈局，並透過三相平衡與不平衡故障狀態下的向量推導說明其工作原理。

(一) 零相比流器（ZCT）

  1. 接線佈局：
  • 三相電源導線（A相、B相、C相）共同貫穿 ZCT 之環形鐵心（Toroidal Core）。
  • 二次繞組均勻纏繞於環形鐵心上，兩端接至接地故障繼電器（GFR）形成閉合迴路。
  • 若為高壓電纜，電纜金屬遮蔽層接地線必須先穿過 ZCT 鐵心孔洞後，再折回穿越 ZCT 鐵心外側接地，防止故障地回流抵消 ZCT 之磁通。
  1. 工作原理推導：
  • 正常運轉或相間短路時： 三相電流向量和為零： I˙A+I˙B+I˙C=0\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = 0 穿過 ZCT 鐵心之淨磁束為零（Φnet=0\Phi_\text{net} = 0），二次側繞組無感應電動勢（E2=0E_2 = 0），GFR 無電流通過而不動作。
  • 單線接地故障（SLG）時： 故障電流經大地形成迴路，三相電流向量和不為零： I˙A+I˙B+I˙C=3I˙0≠0\dot{I}_A + \dot{I}_B + \dot{I}_C = 3\dot{I}_0 \neq 0 鐵心內產生與 3I˙03\dot{I}_0 成正比之交變零相磁通 Φ0\Phi_0，於二次側感應出二次電流 I2∝3I0I_2 \propto 3I_0，驅動 GFR 動作發出跳脫信號。

(二) 接地比壓器（GPT）

  1. 接線佈局：
  • 一次側（Primary）：YY 接線，端子分別接系統三相電源 A、B、C，中性點 N 直接接地。
  • 主二次側（Primary Secondary）：YY 接線，中性點接地，連接電壓表（V）提供相對地與相間電壓監測。
  • 輔助二次側（Auxiliary Secondary）：開口三角接線（Open-Delta / 破碎三角），將三相繞組首尾相串聯，留一開口兩端串接限流電阻（CLR）與接地過電壓繼電器（GVR / 64G）。
  1. 工作原理推導：
  • 正常運轉時： 三相電壓對地平衡： V˙A=Vn∠0∘,V˙B=Vn∠−120∘,V˙C=Vn∠120∘\dot{V}_A = V_n \angle 0^\circ, \quad \dot{V}_B = V_n \angle -120^\circ, \quad \dot{V}_C = V_n \angle 120^\circ 開口三角兩端電壓為三相二次電壓之向量和： V˙open=V˙a+V˙b+V˙c=3V˙0=0 V\dot{V}_\text{open} = \dot{V}_a + \dot{V}_b + \dot{V}_c = 3\dot{V}_0 = 0\text{ V} GVR 兩端無電壓，不動作。
  • 單線接地故障（設 A 相完全接地, V˙A=0\dot{V}_A = 0）時： 非故障相（B、C 相）對地電壓升高為原相電壓之 3\sqrt{3} 倍（即升至線電壓 VLV_L），且兩者相位差變為 60∘60^\circ： V˙B′=3Vn∠−150∘,V˙C′=3Vn∠150∘\dot{V}_B' = \sqrt{3}V_n \angle -150^\circ, \quad \dot{V}_C' = \sqrt{3}V_n \angle 150^\circ 開口三角兩端出現之殘留電壓（Residual Voltage）： V˙open=V˙a′+V˙b′+V˙c′=0+Vn2∠−150∘+Vn2∠150∘=−3V0\dot{V}_\text{open} = \dot{V}_a' + \dot{V}_b' + \dot{V}_c' = 0 + V_{n2} \angle -150^\circ + V_{n2} \angle 150^\circ = -3V_0 開口三角兩端電壓升高至正常單相二次相電壓之 3 倍（標稱二次額定通常為 110 V110\text{ V} 或 190.5 V190.5\text{ V}），驅動 GVR 動作發出接地警告或跳脫信號；串接之限流電阻（CLR）同時用以抑制系統鐵磁諧振過電壓。

選項分析

本題非選擇題，針對 ZCT 與 GPT 之結構特性、組件功用及運轉狀態進行重點剖析：

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