109 關務特考三等 電機工程 電力系統 考古題詳解

核心觀念

本題考查平衡三相負載的兩瓦特計法，以及由三相功率求每相等效串聯電阻與電感。

對平衡三相負載，兩瓦特計讀值與總實功率、總虛功率的關係為：

$$P=W_1+W_2,\qquad Q=\sqrt{3}(W_2-W_1)$$

題目採正確接線且為 $abc$ 正相序；依常用接法，$W_2>W_1$ 表示負載吸收感性無功功率。總視在功率為 $|S|=\sqrt{P^2+Q^2}$，功率因數為 $P/|S|$。

馬達定子為 $\Delta$ 連接，因此每相電壓等於線電壓 $V_\phi=V_L$；每相電流則由每相阻抗求得。

解題方法

先由瓦特計讀值求總實功率與無功功率：

$$P=1560+2100=3660\ \mathrm{W}$$ $$Q=\sqrt{3}(2100-1560) =540\sqrt{3} \approx 935.3\ \mathrm{var}$$

$Q>0$，故負載為感性。

總視在功率為：

$$|S|=\sqrt{P^2+Q^2} =\sqrt{3660^2+935.3^2} \approx 3777.6\ \mathrm{VA}$$

總功率因數為：

$$\mathrm{pf}=\frac{P}{|S|} =\frac{3660}{3777.6} \approx 0.9688$$

由於無功功率為正，功率因數為滯後。

接著求每相阻抗。平衡三相負載的每相複功率為：

$$S_\phi=\frac{P+jQ}{3}$$

因此每相電阻與電抗可由 $S_\phi=V_\phi I_\phi^*$ 求得。利用 $P_\phi=I_\phi^2R_\phi$、$Q_\phi=I_\phi^2X_\phi$，可直接得到：

$$R_\phi=\frac{V_\phi^2P_\phi}{P_\phi^2+Q_\phi^2} =\frac{V_\phi^2P}{|S|^2}$$

核心觀念

本題考查並聯輸電線的功率分配，以及調整變壓器改變線路等效電壓後，如何使指定線路對匯流排 $B$ 的無功功率為零。

對純電抗線路，若線路兩端電壓分別為 $V_s$、$V_r$，線路阻抗為 $jX$，則送端流向受端的電流為

$$I=\frac{V_s-V_r}{jX}$$

受端複功率為 $S_r=V_r I^*$，因此受端無功功率可由 $Q_r=\operatorname{Im}(S_r)$ 求得。調整變壓器串接在線路與匯流排 $B$ 之間，會改變 2 號線路端點的等效電壓；本題要求的是 1 號線路送至 $B$ 的無功功率為零，所以先由 1 號線路求出所需的 $B$ 側電壓，再用 2 號線路功率平衡求變壓器變比。

解題方法

令 $B$ 匯流排電壓為 $V_B=1\angle0^\circ$，$A$ 匯流排電壓為 $V_A=1.05\angle10^\circ$，1 號線路電抗為 $X_1=0.1$。

1 號線路由 $A$ 流向 $B$ 的電流為

$$I_1=\frac{V_A-V_B}{jX_1}$$

其送至 $B$ 端的複功率為

$$S_{1B}=V_B I_1^* =\frac{V_B(V_A^*-V_B^*)}{-jX_1}$$

由 $V_B=1\angle0^\circ$，可得

$$Q_{1B} =\frac{|V_A||V_B|\cos\delta-|V_B|^2}{X_1}$$

核心觀念

本題考查同步發電機三相端點短路時的最初對稱有效電流。故障剛發生的瞬間，以發電機次暫態電抗 $X_d^{\prime\prime}$ 表示其內部電勢至端點間的等效電抗，因此可用次暫態電勢除以次暫態電抗求出最初對稱短路電流。

題目給定故障前負載端電壓為 $1.0\angle 0^\circ$ 標麼，且負載為純電阻，所以故障前電流與電壓同相。發電機次暫態電勢可由故障前端電壓與次暫態電抗上的電壓降相加求得：

$$\underline{E}^{\prime\prime} =\underline{V}_t+jX_d^{\prime\prime}\underline{I}$$

解題方法

先將負載功率換算成題目指定基準下的標麼值。發電機基準為 $625\ \mathrm{kVA}$，負載實功率為 $500\ \mathrm{kW}$，故障前負載為純電阻，功率因數為 $1$：

$$P_{\mathrm{pu}}=\frac{500\ \mathrm{kW}}{625\ \mathrm{kVA}}=0.8$$

由於故障前端電壓為 $1.0$ 標麼，三相複功率關係為

$$\underline{S}_{\mathrm{pu}} =\underline{V}_{\mathrm{pu}}\underline{I}_{\mathrm{pu}}^{*}$$

且電壓、電流同相，因此故障前電流為

$$\underline{I}_{\mathrm{pu}}=0.8\angle 0^\circ$$

計算次暫態電勢：

核心觀念

自由調速動作（free governor action）下，兩部機組的調速機都會依頻率變化調整實功率輸出。並聯機組穩態時具有相同的頻率變化量，因此各機組的增量輸出依其調速特性分配。

速度調整率 $R_i$ 定義為機組由無載到滿載時的速度變化百分比。若機組額定容量為 $P_{ri}$，則其實功率變化量與頻率變化量的關係為

$$\Delta P_i = \frac{P_{ri}}{R_i} \left|\frac{\Delta f}{f_0}\right|$$

其中 $f_0$ 為額定頻率。由於兩部機組的 $\left|\Delta f/f_0\right|$ 相同，輸出增量的比例為

$$\Delta P_1:\Delta P_2 = \frac{P_{r1}}{R_1}:\frac{P_{r2}}{R_2}$$

解題方法

設第一部機組額定容量為 $250\ \mathrm{MW}$，速度調整率為 $6.0\%=0.06$；第二部機組額定容量為 $400\ \mathrm{MW}$，速度調整率為 $6.4\%=0.064$。

兩部機組的功率分配權重分別為

$$\frac{P_{r1}}{R_1} = \frac{250}{0.06} = 4166.67$$