108 關務特考三等 電機工程 電力系統 考古題詳解

108 年・關務特考・三等・電機工程
試題代碼 電力系統

第 一 題25 分

圖一為一種變壓器接線之示意圖，同時供應單相用戶及三相用戶。圖中包含一次側 A、B 相及二次側 a、b、c、n 端，並標示電流 IAI_A、IBI_B、IabI_{ab}、IbcI_{bc}、IanI_{an}、IbnI_{bn}、IcnI_{cn}。

(一) 如欲供應單相用戶負載 75 kVA75\ \mathrm{kVA}、三相用戶負載 40 kVA40\ \mathrm{kVA}，則該兩具變壓器之最小組合容量為多少？（6 分）

(二) 假設二次側之三相用戶為三相平衡之電感性負載，功因為 0.90.9 滯後，而無單相用戶負載。假設每個變壓器均為理想變壓器，一次側與二次側之匝數比為 aa。請問一次側 A 相變壓器之複數功率與 B 相變壓器之複數功率各為多少？（12 分）

(三) 若二次側同時供應單相用戶及三相平衡用戶，二次側 a 相與 b 相之單相負載均為 25 kVA25\ \mathrm{kVA}，三相用戶負載為 40 kVA40\ \mathrm{kVA}，請問一次側是否可三相平衡供電？（7 分）

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核心觀念

圖一是兩具單相變壓器組成的開口三角形（V-V）接線，並由其中一具變壓器的中心抽頭供應單相負載。三相負載的總複數功率會分配到兩具變壓器，兩者分配量一般不相等；單相負載則由中心抽頭那具變壓器承擔。

題目未指定單相負載及第（三）小題三相負載的功率因數，以下依常見考題慣例，將這些負載視為功率因數 1。複數功率以負載吸收為正，並依圖中 A、B 變壓器及相序標示計算。

解題方法

設三相負載總複數功率為

S3ϕ=P+jQ=∣S3ϕ∣∠ϕS_{3\phi}=P+jQ=|S_{3\phi}|\angle\phi

對平衡三相負載，開口三角形兩具變壓器所承受的複數功率為

SA=S3ϕ3∠30∘,SB=S3ϕ3∠(−30∘)S_A=\frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}}\angle 30^\circ,\qquad S_B=\frac{S_{3\phi}}{\sqrt{3}}\angle(-30^\circ)

也就是

SA=(P2−Q23)+j(P23+Q2)S_A=\left(\frac P2-\frac{Q}{2\sqrt3}\right) +j\left(\frac{P}{2\sqrt3}+\frac Q2\right) SB=(P2+Q23)+j(−P23+Q2)S_B=\left(\frac P2+\frac{Q}{2\sqrt3}\right) +j\left(-\frac{P}{2\sqrt3}+\frac Q2\right)

且 SA+SB=S3ϕS_A+S_B=S_{3\phi}。各變壓器的容量需求是其複數功率的大小。

（一）最小組合容量

三相負載為 40 kVA40\ \mathrm{kVA}，依假設功率因數為 1，故 P=40P=40、Q=0Q=0：

SA,3ϕ=20+j203=20+j11.547 kVAS_{A,3\phi}=20+j\frac{20}{\sqrt3} =20+j11.547\ \mathrm{kVA} SB,3ϕ=20−j203=20−j11.547 kVAS_{B,3\phi}=20-j\frac{20}{\sqrt3} =20-j11.547\ \mathrm{kVA}

單相負載 75 kVA75\ \mathrm{kVA} 由中心抽頭變壓器供應，因此加到 A 變壓器的複數功率上：

SA=75+20+j11.547=95+j11.547 kVAS_A=75+20+j11.547=95+j11.547\ \mathrm{kVA} SB=20−j11.547 kVAS_B=20-j11.547\ \mathrm{kVA}

兩具變壓器所需容量分別為

∣SA∣=952+11.5472=95.70 kVA|S_A|=\sqrt{95^2+11.547^2}=95.70\ \mathrm{kVA} ∣SB∣=202+11.5472=23.09 kVA|S_B|=\sqrt{20^2+11.547^2}=23.09\ \mathrm{kVA}

故最小組合容量為

∣SA∣+∣SB∣=95.70+23.09=118.79 kVA|S_A|+|S_B|=95.70+23.09=\boxed{118.79\ \mathrm{kVA}}

（二）一次側 A、B 相變壓器的複數功率

三相平衡負載功率因數為 0.9 滯後，因此

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第 二 題25 分

考慮如圖二之電力系統單線圖。基準電壓值為 138 kV138\ \mathrm{kV}，基準複數功率值為 100 MVA100\ \mathrm{MVA}。傳輸線導納為 Bii=−9.95 p.u.B_{ii}=-9.95\ \mathrm{p.u.} 與 Bij=5 p.u.B_{ij}=5\ \mathrm{p.u.}，i≠ji\ne j，i,j=1,2,3i,j=1,2,3。經計算電力潮流方程式後，個別匯流排電壓資訊如下：

  • 匯流排 1：V1=1∠0∘V_1=1\angle 0^\circ，SG1SG_1 為 Slack。
  • 匯流排 2：V2=1.05∠−3∘V_2=1.05\angle -3^\circ，SG2SG_2。
  • 匯流排 3：V3=0.95∠−10∘V_3=0.95\angle -10^\circ，SG3SG_3。

(一) 描繪各傳輸線 π\pi 型模型之等效電路與相關參數之實際值。（6 分）

(二) 請撰寫電力潮流方程式，並說明何者是未知變數。（8 分）

(三) 計算匯流排 1 所注入之有效功率與無效功率。（5 分）

(四) 請說明每條傳輸線有效功率之流動方向。（6 分）

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核心觀念

本題考查交流電力潮流、匯流排功率注入，以及傳輸線的 π\pi 型等效模型。採用匯流排注入功率為正的慣例，並以 Ybus=G+jBY_{\text{bus}}=G+jB 表示匯流排導納矩陣。

題目只給出電納，故視為線路無電阻、Gij=0G_{ij}=0。三匯流排的導納矩陣為

Ybus=j[−9.95555−9.95555−9.95] p.u.Y_{\text{bus}} =j\begin{bmatrix} -9.95&5&5\\ 5&-9.95&5\\ 5&5&-9.95 \end{bmatrix}\text{ p.u.}

其中非對角元素 Bij=5B_{ij}=5 對應線路串聯電納 −j5-j5 p.u.；對角元素則包含相連線路的串聯電納與線路充電電納。

（一）各傳輸線的 π\pi 型模型與實際參數

解題方法

任一匯流排與其他兩匯流排各有一條線。若每條線的兩端各有充電電納 jbc/2jb_c/2，則對角元素為

Bii=−5−5+2(bc2)=−9.95.B_{ii}=-5-5+2\left(\frac{b_c}{2}\right)=-9.95.

因此

bc=0.05 p.u.,bc2=0.025 p.u.b_c=0.05\text{ p.u.}, \qquad \frac{b_c}{2}=0.025\text{ p.u.}

每條線的 π\pi 型模型為：串聯阻抗 j0.2j0.2 p.u.，兩端各並聯 j0.025j0.025 p.u. 的電納。

換算實際值

三相基準容量 Sbase=100 MVAS_{\text{base}}=100\text{ MVA}、線電壓基準 Vbase=138 kVV_{\text{base}}=138\text{ kV}，故

Zbase=Vbase2Sbase=1382100=190.44 Ω,Ybase=1Zbase=5.251 mS.Z_{\text{base}}=\frac{V_{\text{base}}^2}{S_{\text{base}}} =\frac{138^2}{100}=190.44\ \Omega, \qquad Y_{\text{base}}=\frac{1}{Z_{\text{base}}}=5.251\text{ mS}.

串聯阻抗為

Zseries=j0.2Zbase=j38.088 Ω.Z_{\text{series}}=j0.2Z_{\text{base}} =j38.088\ \Omega.

串聯導納為

yseries=1j0.2=−j5 p.u.=−j26.255 mS.y_{\text{series}}=\frac{1}{j0.2} =-j5\text{ p.u.} =-j26.255\text{ mS}.

每端並聯電納為

yshunt,end=j0.025Ybase=j0.1313 mS.y_{\text{shunt,end}} =j0.025Y_{\text{base}} =j0.1313\text{ mS}.

等效電路可表示為：

匯流排 i  −  j38.088 Ω  −  匯流排 j,兩端各接 j0.1313 mS 至中性點.\text{匯流排 }i \;-\;\boxed{j38.088\ \Omega}\;-\; \text{匯流排 }j, \qquad \text{兩端各接 }j0.1313\text{ mS}\text{ 至中性點}.

若以並聯電容電抗表示，每端等效為 −j7.616 kΩ-j7.616\text{ k}\Omega。

（二）潮流方程式與未知變數

潮流方程式

匯流排 ii 的注入有效功率與無效功率為

Pi=Vi∑j=13Vj[Gijcos⁡(δi−δj)+Bijsin⁡(δi−δj)],P_i=V_i\sum_{j=1}^{3}V_j \left[G_{ij}\cos(\delta_i-\delta_j) +B_{ij}\sin(\delta_i-\delta_j)\right], Qi=Vi∑j=13Vj[Gijsin⁡(δi−δj)−Bijcos⁡(δi−δj)].Q_i=V_i\sum_{j=1}^{3}V_j \left[G_{ij}\sin(\delta_i-\delta_j) -B_{ij}\cos(\delta_i-\delta_j)\right].

本題 Gij=0G_{ij}=0，所以可簡化為

Pi=Vi∑j=13VjBijsin⁡(δi−δj),P_i=V_i\sum_{j=1}^{3}V_jB_{ij}\sin(\delta_i-\delta_j), Qi=−Vi∑j=13VjBijcos⁡(δi−δj).Q_i=-V_i\sum_{j=1}^{3}V_jB_{ij}\cos(\delta_i-\delta_j).
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第 三 題25 分

假設單相變壓器等效電路如圖三所示。圖中包含一次側串聯電阻 rr、漏感 L1L_1、勵磁電感 LmL_m、二次側電流 i2i_2、一次側電流 i1i_1、一次側電壓 V1V_1、二次側電壓 V2V_2，以及匝數為 N1N_1、N2N_2 之理想變壓器。

(一) 繪出三相 Y 接地–Δ\Delta 連接變壓器之三相電路。（10 分）

(二) 求解三相 Y 接地–Δ\Delta 連接變壓器之零序等效電路。（15 分）

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核心觀念

本題考查變壓器接線組別與對稱分量的零序網路。零序電流在三相線路中大小相等、相位相同：

Ia=Ib=Ic=I0.I_a=I_b=I_c=I_0.

Y 側中性點接地時，零序電流可由三相繞組流向中性點，再經地線返回。若 Δ 側有零序感應電勢，則可在封閉的 Δ 繞組內形成循環電流；但 Δ 側外部線端沒有零序電流通路。

解題方法

（一）三相 Y 接地–Δ 連接電路

依圖三的單相等效電路，Y 側每相包含串聯電阻 rr、漏感 L1L_1，以及跨接在理想變壓器一次側的勵磁電感 LmL_m。三相一次側接成 Y，星點接地；二次側三個繞組首尾相接成 Δ。

Y 側（接地） Δ 側

A ── r ── jωL₁ ──●──[理想繞組 A]──┐
 │ │
 jωLₘ │
 │ │
B ── r ── jωL₁ ──●──[理想繞組 B]──┼── N ── ⏚
 │ │
 jωLₘ │
 │ │
C ── r ── jωL₁ ──●──[理想繞組 C]──┘
 │
 jωLₘ
 │
 N

二次側三個理想繞組相接成閉合三角形： a ──[繞組 ab]── b
 \ /
 [繞組 ca] [繞組 bc]
 \ /
 c

圖中 jωL1j\omega L_1 與 jωLmj\omega L_m 分別代表漏感及勵磁電感的阻抗；一次、二次繞組匝數比為 N1:N2N_1:N_2。

（二）零序等效電路

在 Y 側，零序電流由三相流向接地中性點，因此一次側可形成零序電流回路。Δ 繞組內部允許零序感應電流循環，理想變壓器模型下，這個閉合回路使理想繞組一次側零序電壓為零；

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第 四 題25 分

三部三相火力發電機組並聯運轉於一工作頻率為 60 Hz60\ \mathrm{Hz} 之電力系統中，系統總負載為 1300 MW1300\ \mathrm{MW}。

第一部機額定輸出為 650 MW650\ \mathrm{MW}，速度–下垂率（Speed-Droop Characteristic）為 5%5\%，供應負載為 500 MW500\ \mathrm{MW}。

第二部機額定輸出為 500 MW500\ \mathrm{MW}，速度–下垂率為 5%5\%，供應負載為 400 MW400\ \mathrm{MW}。

第三部機額定輸出為 500 MW500\ \mathrm{MW}，速度–下垂率為 4.5%4.5\%，供應負載為 400 MW400\ \mathrm{MW}。

(一) 若總負載增加至 1400 MW1400\ \mathrm{MW}，且忽略損失。假設其他輔助控制均未啟動下，系統頻率將改變為多少？（10 分）

(二) 在此情境下各機組出力將修正各為多少？（15 分）

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核心觀念

本題考查並聯發電機組的調速器下垂特性，以及負載變動時各機組如何依下垂率分攤有功功率變化。

速度下垂率 RR 定義為額定負載變化所對應的頻率變化比例：

R=Δf/f0ΔP/PratedR=\frac{\Delta f/f_0}{\Delta P/P_{\mathrm{rated}}}

因此，對第 ii 部機組：

ΔPi=−Prated,iRiΔff0\Delta P_i=-\frac{P_{\mathrm{rated},i}}{R_i}\frac{\Delta f}{f_0}

式中的負號表示：負載增加時，頻率下降，機組出力增加。此處假設機組在調速器的線性下垂範圍內運轉，且無損失、無其他輔助控制介入。

解題方法

三部機組初始總出力為

500+400+400=1300 MW500+400+400=1300\ \mathrm{MW}

負載增加至 1400 MW1400\ \mathrm{MW}，故需由機組合計增加

ΔPtotal=1400−1300=100 MW\Delta P_{\mathrm{total}}=1400-1300=100\ \mathrm{MW}

以各機組的「功率頻率斜率」Prated/RP_{\mathrm{rated}}/R 加總，求出系統頻率變化，再依相同下垂關係計算各機組增出力。

（一）負載增加後的系統頻率

各機組的功率頻率斜率為：

Prated,1R1=6500.05=13000 MW,Prated,2R2=5000.05=10000 MW,Prated,3R3=5000.045=11111.11 MW.\begin{aligned} \frac{P_{\mathrm{rated},1}}{R_1}&=\frac{650}{0.05}=13000\ \mathrm{MW},\\ \frac{P_{\mathrm{rated},2}}{R_2}&=\frac{500}{0.05}=10000\ \mathrm{MW},\\ \frac{P_{\mathrm{rated},3}}{R_3}&=\frac{500}{0.045}=11111.11\ \mathrm{MW}. \end{aligned}

依下垂特性，三部機組合計增加 100 MW100\ \mathrm{MW}：

100=−(13000+10000+11111.11)Δf60100=-\left(13000+10000+11111.11\right)\frac{\Delta f}{60}

因此

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