108 關務特考三等 電機工程 電機機械 考古題詳解

核心觀念

1. 變壓器電感之折算關係： 電感器之電感值與繞組匝數平方成正比，與磁路磁阻成反比（$L = \frac{N^2}{\mathcal{R}}$）。在同一鐵心結構下，高壓側與低壓側繞組的磁路磁阻相同，因此電感值與匝數平方成正比。低壓側電感 $L_L$ 與高壓側電感 $L_H$ 滿足阻抗折算關係： $\frac{L_L}{L_H} = \left(\frac{N_L}{N_H}\right)^2 = \frac{1}{a^2}$ 其中 $a = \frac{V_H}{V_L}$ 為變壓器之電壓比（匝數比）。

2. 電感器額定電壓之訂定： 由法拉第電磁感應定律，鐵心磁通峰值滿足： $V \approx 4.44 f N \Phi_{\max} = 4.44 f N B_{\max} A$ 在相同工作頻率（$60\ \mathrm{Hz}$）下，電感器之工作電壓上限受限於「鐵心磁通密度飽和極限」及「繞組層間絕緣耐壓強度」，因此其額定電壓不可超過原低壓繞組之額定電壓。

3. 電感器額定電流之訂定： 額定電流之訂定有兩個主要物理視角：

• 交流工作電流視角（感抗限制）：在額定工作電壓與額定頻率下，通過該電感器之電流由其交流感抗決定： $I = \frac{V_{\text{rated}}}{X_L} = \frac{V_{\text{rated}}}{2\pi f L_L}$
• 導線熱極限視角（容量限制）：繞組導線線徑所允許之長期最大連續安全載流量，即為原變壓器低壓側之額定電流： $I_{\text{thermal}} = \frac{S_{\text{rated}}}{V_{L,\text{rated}}}$

解題方法

步驟一：計算變壓器匝數比 $a$

由變壓器之高壓側與低壓側額定電壓求得匝數比： $a = \frac{V_H}{V_L} = \frac{12\ \mathrm{kV}}{400\ \mathrm{V}} = \frac{12000}{400} = 30$

步驟二：計算低壓側繞組之電感值 $L_L$

已知低壓側開路時，由高壓側測得之電感值為 $L_H = 144\ \mathrm{H}$。利用匝數平方反比折算至低壓側： $L_L = \frac{L_H}{a^2} = \frac{144}{30^2} = \frac{144}{900} = 0.16\ \mathrm{H}\quad (\text{即 } 160\ \mathrm{mH})$

步驟三：訂定電感器之額定電壓 $V_{\text{rated}}$

由於該電感器係由低壓側繞組充當，並投入相同頻率（$60\ \mathrm{Hz}$）之電力系統中：

• 為確保鐵心不進入深度磁飽和狀態（避免激磁電流畸變與鐵損急遽劇增），且不超出原繞組之絕緣設計等級，其額定電壓應訂為原低壓側之額定電壓： $V_{\text{rated}} = 400\ \mathrm{V}$

步驟四：訂定電感器之額定電流 $I_{\text{rated}}$

1. 工作額定電流（施加額定電壓下之穩態電流）： 在 $f = 60\ \mathrm{Hz}$ 時，該電感器之感抗為：

核心觀念

本題主要測驗三相感應電動機在**變頻控制（Variable Frequency Control）**下的運轉特性，涉及以下基本定義與公式：

1. 同步轉速（Synchronous Speed, $N_s$）： 定子旋轉磁場之轉速取決於電源頻率 $f$ 與電機極數 $P$： $N_s = \frac{120 f}{P}\quad (\mathrm{rpm})$

2. 轉差率（Slip, $s$）與轉子實際轉速（$N_r$）： 轉差率表示旋轉磁場與轉子間的相對轉速比率： $s = \frac{N_s - N_r}{N_s}$ 整理可得轉子轉速公式： $N_r = N_s(1 - s) = \frac{120 f}{P}(1 - s)$

3. 轉子電路頻率（Rotor Frequency, $f_r$）： 轉子導體切割旋轉磁場的相對速度決定了轉子感應電勢及電流的頻率，該頻率等於電源頻率與轉差率之乘積： $f_r = s \cdot f$

解題方法

步驟一：求解原電源頻率（$60\ \mathrm{Hz}$）下的轉差率 $s$

1. 計算原系統之同步轉速 $N_{s1}$（$P = 4$，$f_1 = 60\ \mathrm{Hz}$）： $N_{s1} = \frac{120 \times 60}{4} = 1800\ \mathrm{rpm}$
2. 已知原轉子轉速 $N_{r1} = 1728\ \mathrm{rpm}$，求出此時之轉差率 $s$： $s = \frac{N_{s1} - N_{r1}}{N_{s1}} = \frac{1800 - 1728}{1800} = \frac{72}{1800} = 0.04\ (4\%)$

步驟二：計算變頻至 $30\ \mathrm{Hz}$ 時之感應電動機轉速 $N_{r2}$

1. 計算變頻後（$f_2 = 30\ \mathrm{Hz}$）之新同步轉速 $N_{s2}$： $N_{s2} = \frac{120 \times f_2}{P} = \frac{120 \times 30}{4} = 900\ \mathrm{rpm}$
2. 題目給定「轉差率不變」（$s = 0.04$），代入轉子轉速公式：

核心觀念

本題的核心在於「三相感應電動機之戴維寧等效電路模型」以及「電磁轉矩與轉子電阻之相依關係」。主要牽涉以下觀念與公式：

1. 轉差率（Slip, $s$）的定義： $s = \frac{n_s - n_r}{n_s}$ 其中 $n_s$ 為同步轉速，$n_r$ 為轉子實際轉速。在電動機啟動瞬間，$n_r = 0$，故啟動轉差率 $s = 1$。

2. 轉子折算至定子側之啟動電流（Starting Current, $I_{st}$）： 感應機以戴維寧等效電路表示時，轉子每相電流有效值為： $I_2' = \frac{V_{TH}}{\sqrt{\left(R_{TH} + \frac{R_2' + R_{ext}'}{s}\right)^2 + (X_{TH} + X_2')^2}}$ 在啟動時（$s = 1$），啟動電流大小為： $I_{st} = \frac{V_{TH}}{\sqrt{(R_{TH} + R_2' + R_{ext}')^2 + (X_{TH} + X_2')^2}}$ 其中 $V_{TH}$、$R_{TH}$、$X_{TH}$ 為定子戴維寧等效電壓、電阻與電抗；$R_2'$ 為轉子本身電阻折算值；$R_{ext}'$ 為轉子外加電阻折算值；$X_2'$ 為轉子漏電抗折算值。

3. 電磁轉矩公式（Torque Equation）： 內生電磁轉矩 $T_{ind}$ 為轉子氣隙功率 $P_{AG}$ 除以同步機械角速度 $\omega_s$： $T_{ind} = \frac{P_{AG}}{\omega_s} = \frac{3 V_{TH}^2 \left(\frac{R_2' + R_{ext}'}{s}\right)}{\omega_s \left[\left(R_{TH} + \frac{R_2' + R_{ext}'}{s}\right)^2 + (X_{TH} + X_2')^2\right]}$

4. 最大電磁轉矩（Breakdown Torque, $T_{max}$）及其發生之轉差率（$s_{max}$）： 依據最大功率轉移定理，當 $\frac{R_2' + R_{ext}'}{s} = \sqrt{R_{TH}^2 + (X_{TH} + X_2')^2}$ 時產生最大轉矩： $s_{max} = \frac{R_2' + R_{ext}'}{\sqrt{R_{TH}^2 + (X_{TH} + X_2')^2}}$ $T_{max} = \frac{3 V_{TH}^2}{2\omega_s \left[R_{TH} + \sqrt{R_{TH}^2 + (X_{TH} + X_2')^2}\right]}$ 由上式可知：最大轉矩的大小 $T_{max}$ 與轉子總電阻無關，但發生最大轉矩的轉差率 $s_{max}$ 與轉子總電阻 $(R_2' + R_{ext}')$ 成正比。

解題方法

本題需從「電流式推導」、「轉矩與轉差率之數學關係」、以及「轉矩對轉速特性曲線的幾何位移」三個維度進行完整說明。

一、 啟動時降低電流之成因

1. 啟動瞬間，電動機轉速為零（$n_r = 0$），轉差率 $s = 1$。
2. 未加外接電阻時，感應機的轉子電阻 $R_2'$ 通常設計得極小以降低正常運轉時的銅損並提高效率。但在 $s = 1$ 時，阻抗僅剩 $(R_{TH} + R_2') + j(X_{TH} + X_2')$，分母阻抗非常小，導致啟動電流高達額定電流的 $5 \sim 8$ 倍。
3. 當轉子藉由滑環與電刷串接外部電阻 $R_{ext}'$ 後，啟動時的分母總阻抗： $Z_{st} = \sqrt{(R_{TH} + R_2' + R_{ext}')^2 + (X_{TH} + X_2')^2}$ 隨著 $R_{ext}'$ 的加入而顯著增加，因此啟動電流 $I_{st} = \frac{V_{TH}}{|Z_{st}|}$ 大幅下降，有效達成限制啟動電流的目的。

二、 啟動時提高電磁轉矩之成因

1. 啟動轉矩公式：將 $s = 1$ 代入轉矩方程式： $T_{st} = \frac{3 V_{TH}^2 (R_2' + R_{ext}')}{\omega_s \left[(R_{TH} + R_2' + R_{ext}')^2 + (X_{TH} + X_2')^2\right]}$
2. 阻抗角與功率因數的改善：

• 未外加電阻前，啟動時 $X_{TH} + X_2' \gg R_{TH} + R_2'$，轉子電路呈高度感性，啟動功率因數 $\cos\theta_2$ 極低，致使轉子電流與氣隙磁通的同相位分量小，產生之有效啟動轉矩 $T_{st}$ 不高。
• 串入外加電阻 $R_{ext}'$ 後，轉子總電阻提高，轉子電路的功率因數提高，使得電流中能產生有效轉矩的有功分量增加。

3. 最大轉矩點向啟動點平移：

• 由於 $s_{max} \propto (R_2' + R_{ext}')$，增加外接電阻會使 $s_{max}$ 往大轉差率（低轉速）方向移動。

核心觀念

本題的核心在於凸極／隱極同步發電機的單機負載特性與電樞反應（Armature Reaction）的物理效應。涉及的重要觀念與公式如下：

1. 單相等效電路與克希荷夫電壓定律（KVL）： 同步發電機單相交流穩態等效電路中，內感應電動勢 $\mathbf{E}_A$、輸出端相電壓 $\mathbf{V}_\phi$、電樞電流 $\mathbf{I}_A$、電樞電阻 $R_a$ 及同步電抗 $X_s$ 的相量關係式為： $\mathbf{E}_A = \mathbf{V}_\phi + \mathbf{I}_A(R_a + jX_s)$ 因實務上大容量同步發電機之電樞電阻遠小於同步電抗（$R_a \ll X_s$），常忽略 $R_a$，簡化為： $\mathbf{E}_A \approx \mathbf{V}_\phi + j\mathbf{I}_A X_s$ 亦即輸出端相電壓為： $\mathbf{V}_\phi = \mathbf{E}_A - j\mathbf{I}_A X_s$

2. 不調整磁場與原動機轉速固定之條件： 內感應電動勢大小為 $E_A = K \phi \omega$。在「不調整磁場（激磁電流 $I_f$ 不變）」且原動機維持額定轉速（$\omega$ 為常數）的條件下，轉子主磁通 $\phi_f$ 固定，故內感應電動勢的大小 $| \mathbf{E}_A | = E_A$ 恆為定值。

3. 電樞反應對端電壓的影響：

• 落後功率因數（感性負載）：電樞電流落後端電壓，電樞反應磁通主要對轉子主磁通產生去磁作用（Demagnetizing Effect），使氣隙合成磁通減少，導致端電壓下降。
• 超前功率因數（容性負載）：電樞電流超前端電壓，電樞反應磁通對轉子主磁通產生增磁作用（Magnetizing Effect），使氣隙合成磁通增加，促使端電壓上升。

解題方法

一、 同步發電機單相等效電路

同步發電機單相等效電路如下圖所示。電路由理想內部感應電勢源 $\mathbf{E}_A$ 串聯同步阻抗 $\mathbf{Z}_s = R_a + jX_s$（通常忽略 $R_a$，僅計同步電抗 $X_s$），再並接至輸出端負載兩端（端電壓為 $\mathbf{V}_\phi$）：

 + o-----[ R_a ≈ 0 ]-----[ jX_s ]-----+o +
 | |
 (~) E_A ∠δ I_A | 負載端電壓 V_φ ∠0°
 | ──> |
 - o----------------------------------+o -

其相量電壓方程式為： $\mathbf{E}_A = \mathbf{V}_\phi + j\mathbf{I}_A X_s$

二、 相量圖比較分析

以負載端相電壓為參考相量，設 $\mathbf{V}_\phi = V_\phi \angle 0^\circ$。

1. 原運轉狀況：落後功率因數（Lagging PF, $\cos\theta$ 落後）

• 電樞電流落後端電壓 $\theta$ 角：$\mathbf{I}_A = I_A \angle -\theta$
• 同步電抗壓降相量：$j\mathbf{I}_A X_s = I_A X_s \angle(90^\circ - \theta)$
• 相量圖幾何關係： $\mathbf{E}_A = \mathbf{V}_\phi + j\mathbf{I}_A X_s$ 沿實軸與虛軸分解： $E_A^2 = (V_\phi + I_A X_s \sin\theta)^2 + (I_A X_s \cos\theta)^2$
• 相量幾何特徵： 壓降相量 $j\mathbf{I}_A X_s$ 的實軸投影為正值（$+I_A X_s \sin\theta$），此分量方向與 $\mathbf{V}_\phi$ 相同，代表產生去磁作用。為了維持定值 $E_A$，輸出端電壓 $V_\phi$ 必然被大幅壓低，滿足： $V_\phi < E_A$