107 關務特考三等 機械工程 自動控制 考古題詳解

核心觀念

本題為電樞控制直流馬達（Armature-Controlled DC Motor）帶動齒輪負載系統之經典機電整合控制問題，主要涵蓋以下核心觀念：

1. 電樞控制直流馬達之機電轉換模型：

• 電樞迴路克希荷夫電壓定律（KVL，忽視電樞電感 $L_a \approx 0$）：$e_a(t) = R_a i_a(t) + v_b(t)$。
• 反電動勢關係式：$v_b(t) = K_b \omega_m(t)$。
• 馬達電磁產生扭力：$T_m(t) = K_t i_a(t)$。

2. 馬達扭力—轉速（$T-\omega$）特性曲線與機電參數對應：

• 由 $T_m = \frac{K_t}{R_a} e_a - \frac{K_t K_b}{R_a} \omega_m$ 可知，特性曲線之斜率即為馬達電氣阻尼效應 $-\frac{K_t K_b}{R_a}$，縱軸截距為堵轉扭力（Stall Torque）$T_{\text{stall}} = \frac{K_t}{R_a} e_a$。

3. 齒輪系等效機械阻抗反射原理：

• 轉速與位移關係：$\frac{\theta_L}{\theta_m} = \frac{\omega_L}{\omega_m} = \frac{N_1}{N_2}$。
• 轉動慣量與黏滯阻尼折算：自負載端折算至馬達軸端時，等效值為原值乘上齒輪比平方 $\left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2$。

4. 二階系統時域響應規格與極點配置法：

• 標準二階系統特徵方程式：$s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$。
• 2% 誤差準則之穩定時間公式：$T_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n}$。
• 透過閉迴路特徵多項式係數比對，反求 PD 控制器增益 $K_P$ 與 $K_D$。

解題方法

(一) 推導系統轉移函數 $G(s) = \frac{\theta_L(s)}{E_a(s)}$

1. 馬達電氣方程式與扭力表示式： 忽略電樞電感（$L_a = 0$），電樞迴路電壓方程式為： $e_a(t) = R_a i_a(t) + V_b(t) = R_a i_a(t) + K_b \omega_m(t)$ 解出電樞電流： $i_a(t) = \frac{e_a(t) - K_b \omega_m(t)}{R_a}$ 馬達產生的電磁扭力為： $T_m(t) = K_t i_a(t) = \frac{K_t}{R_a} e_a(t) - \frac{K_t K_b}{R_a} \omega_m(t)$

2. 由扭力—轉速特性曲線決定參數比值： 特性曲線通過 $(\omega=0,\ T=100\ \mathrm{N\cdot m})$ 與 $(\omega=150\ \mathrm{rad/s},\ T=50\ \mathrm{N\cdot m})$。

• 曲線斜率代表電氣反電動勢阻尼係數： $\text{Slope} = -\frac{K_t K_b}{R_a} = \frac{50 - 100}{150 - 0} = -\frac{50}{150} = -\frac{1}{3}\ \mathrm{N\cdot m\cdot s/rad} \implies \frac{K_t K_b}{R_a} = \frac{1}{3}\ \mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}$
• 特性曲線係於額定端電壓 $e_a = 100\ \mathrm{V}$ 下測得（此為經典控制教材之標準測量條件），堵轉扭力為 $T_{\text{stall}} = \frac{K_t}{R_a} e_a = 100\ \mathrm{N\cdot m}$，故得： $\frac{K_t}{R_a} = \frac{100}{100} = 1\ \mathrm{N\cdot m/V}$

3. 機械負載等效折算（折算至馬達側）： 齒輪比為： $\frac{\theta_L(t)}{\theta_m(t)} = \frac{N_1}{N_2} = \frac{50}{150} = \frac{1}{3} \implies \theta_m(t) = 3\theta_L(t)$ 將負載側轉動慣量 $J_2$ 及阻尼係數 $D_2$ 折算至馬達軸端： $J_{m,eq} = J_1 + J_2 \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 = 2 + 18 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 2 + 2 = 4\ \mathrm{kg\cdot m^2}$ $D_{m,eq} = D_1 + D_2 \left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2 = 2 + 36 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 2 + 4 = 6\ \mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}$

4. 建立運動方程式並推導轉移函數： 馬達軸端之動態平衡方程式為： $T_m(t) = J_{m,eq} \ddot{\theta}_m(t) + D_{m,eq} \dot{\theta}_m(t)$ 將 $T_m(t) = \frac{K_t}{R_a} e_a(t) - \frac{K_t K_b}{R_a} \dot{\theta}_m(t)$ 代入： $J_{m,eq} \ddot{\theta}_m(t) + \left(D_{m,eq} + \frac{K_t K_b}{R_a}\right) \dot{\theta}_m(t) = \frac{K_t}{R_a} e_a(t)$ 定義總等效阻尼係數 $D_{\text{total}}$： $D_{\text{total}} = D_{m,eq} + \frac{K_t K_b}{R_a} = 6 + \frac{1}{3} = \frac{19}{3}\ \mathrm{N\cdot m\cdot s/rad}$ 對上式進行拉氏轉換（假設初始條件為零）： $\left(4s^2 + \frac{19}{3}s\right) \theta_m(s) = 1 \cdot E_a(s)$ $\frac{\theta_m(s)}{E_a(s)} = \frac{1}{4s^2 + \frac{19}{3}s} = \frac{3}{12s^2 + 19s}$ 因負載端角位移為 $\theta_L(s) = \frac{1}{3}\theta_m(s)$，故此動力系統之轉移函數為：

核心觀念

本題評量控制系統之閉迴路穩定度分析與根軌跡作圖技巧，主要涵蓋下列核心觀念與公式：

1. 閉迴路特徵方程式（Characteristic Equation）： 在單位負迴授系統（$H(s)=1$）下，閉迴路轉移函數為 $\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$，其極點由特徵方程式決定： $1 + G(s) = 0 \implies 1 + \frac{K(s+17)}{s(s+3)(s+10)} = 0$ 整理成標準多項式形式： $s(s+3)(s+10) + K(s+17) = 0 \implies s^3 + 13s^2 + (30+K)s + 17K = 0$

2. 羅斯—赫維茲穩定性準則（Routh-Hurwitz Stability Criterion）： 透過建立羅斯表（Routh Array），由第一行（first column）所有元素的符號變化次數判定右半平面極點個數。系統閉迴路穩定之充要條件為第一行所有元素均嚴格大於零。

3. 根軌跡基本原理（Root Locus Rules）：

• 分支數：系統共有 $n=3$ 條根軌跡分支（對應 3 個開迴路極點：$0, -3, -10$）。
• 終點特性：當 $K \to \infty$ 時，有 $m=1$ 條分支趨近於有限開迴路零點（$s=-17$），其餘 $n-m=2$ 條分支沿著漸近線趨向無窮遠處。
• 漸近線角度與實軸交點（重心）： $\theta_a = \frac{(2q+1)\times 180^\circ}{n-m}, \quad q = 0, 1, \dots, (n-m-1)$ $\sigma_a = \frac{\sum \text{開迴路極點} - \sum \text{開迴路零點}}{n-m}$
• 實軸上的根軌跡：實軸上一點右側之實數開迴路極點與零點總數為奇數者，該區間屬於根軌跡。
• 分離點（Breakaway Point）：由特徵方程式表示出 $K(s)$ 後，令 $\frac{dK}{ds} = 0$ 求解。
• 虛軸交點（$j\omega$-axis Crossing）：利用臨界穩定增益時之羅斯表輔助方程式（Auxiliary Equation）或令 $s=j\omega$ 代入特徵方程式求解。

解題方法

(一) 計算系統穩定之 $K$ 值範圍與 $K \to \infty$ 時之三個根值

1. 建立羅斯表： 特徵方程式為 $s^3 + 13s^2 + (30+K)s + 17K = 0$。 依降冪排列建立羅斯表如下：

2. 由羅斯準則求解穩定範圍： 為維持系統閉迴路穩定，羅斯表第一行各元素必須全為正數：

• $s^1$ 列元素：$\frac{390 - 4K}{13} > 0 \implies 390 - 4K > 0 \implies K < \frac{390}{4} = 97.5$
• $s^0$ 列元素：$17K > 0 \implies K > 0$

綜合上述條件，閉迴路系統維持穩定之增益範圍為： $0 < K < 97.5 \quad \left(\text{或 } 0 < K < \frac{195}{2}\right)$

3. 求 $K \to \infty$ 時之閉迴路系統三個根值：

• 開迴路極點數 $n=3$（$s = 0, -3, -10$），零點數 $m=1$（$s = -17$）。
• 當 $K \to \infty$ 時，閉迴路極點會趨近於開迴路零點： 其中 1 個根趨近於有限零點： $s_1 = -17$
• 另 $n-m = 3-1 = 2$ 個根將沿著根軌跡漸近線趨向無窮遠： 漸近線與實軸交點（重心 $\sigma_a$）為： $\sigma_a = \frac{[0 + (-3) + (-10)] - (-17)}{3 - 1} = \frac{-13 + 17}{2} = 2$ 漸近線夾角 $\theta_a$ 為： $\theta_a = \frac{(2q+1)\times 180^\circ}{2} = \pm 90^\circ \quad (q = 0, 1)$ 漸近線方程式為垂直於實軸之直線 $s = 2 \pm j\omega$。因此，當 $K \to \infty$ 時，這兩個根沿著漸近線走向無窮遠處，其極限值為： $s_{2, 3} = 2 \pm j\infty$

(二) 根軌跡各項要素計算與作圖

1. 分離點（Breakaway Point）計算： 由特徵方程式可將增益 $K$ 寫為 $s$ 的函數： $K = -\frac{s(s+3)(s+10)}{s+17} = -\frac{s^3 + 13s^2 + 30s}{s+17}$ 對 $s$ 微分並令其為零： $\frac{dK}{ds} = -\frac{(3s^2 + 26s + 30)(s+17) - (s^3 + 13s^2 + 30s)(1)}{(s+17)^2} = 0$ 展開分子項： $(3s^3 + 51s^2 + 26s^2 + 442s + 30s + 510) - (s^3 + 13s^2 + 30s) = 0$ $2s^3 + 64s^2 + 442s + 510 = 0 \implies s^3 + 32s^2 + 221s + 255 = 0$ 解此三次多項式方程，得三個根： $s \approx -1.441, \quad s \approx -7.766, \quad s \approx -22.793$

核心觀念

本題主要測驗古典控制理論中一階系統之時域暫態響應與單位負迴授系統之穩態誤差常數兩大核心觀念：

1. 一階系統時域響應與時間常數（Time Constant）：

• 轉速為位置對時間之微分，即 $\Omega_m(s) = s \theta_m(s)$。因此，馬達由電樞電壓至轉速的轉換函數為典型一階系統：

• 當輸入為步階函數（Step Input）時，一階系統輸出達到穩態值之 $1 - e^{-1} \approx 63.2\%$ 所需的時間，定義為時間常數 $\tau = \frac{1}{\alpha}$。

2. 終值定理（Final Value Theorem）與穩態響應：

• 穩態轉速 $\omega_{ss} = \lim_{s \to 0} s \Omega_m(s)$。

3. 靜態速度誤差常數（Velocity Error Constant, $K_v$）：

• 對於開迴路傳遞函數為 $G(s)$ 的單位負迴授系統（$H(s) = 1$），其速度常數定義為：

解題方法

第一部分：求解馬達參數 $\alpha$ 與 $K$

1. 建立電樞電壓至馬達轉速之轉換函數： 題目給定馬達位置轉換函數為：

因轉速 $\omega_m(t) = \frac{d\theta_m(t)}{dt}$，在拉氏轉換中對應 $\Omega_m(s) = s\theta_m(s)$，兩端同乘以 $s$ 可得轉速轉換函數：

2. 利用時域步階響應求時間常數及 $\alpha$： 當輸入為 $10\ \mathrm{V}$ 的步階電壓時，$E_a(s) = \frac{10}{s}$，轉速響應之拉氏轉換為：

取拉氏反轉換得到時域轉速響應：

由一階系統特性可知，當 $t = \tau = \frac{1}{\alpha}$ 時，$\omega_m(\tau) = \omega_{ss}(1 - e^{-1}) \approx 0.632\,\omega_{ss}$。 題目指出在 $t = 0.5\ \mathrm{s}$ 時達到穩態轉速之 $63\%$，故時間常數 $\tau = 0.5\ \mathrm{s}$：

核心觀念

本題屬於現代控制理論之「狀態迴授極點配置（State Feedback Pole Placement）」與古典控制「二階系統時域性能規格（Time-Domain Specifications）」的整合題型，主要考核以下重點：

1. 狀態空間表示法與閉迴路系統矩陣： 系統狀態方程式為 $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}u$。導入狀態全狀態迴授控制律 $u = -\mathbf{K}\mathbf{x}$ 後，閉迴路系統動態為 $\dot{\mathbf{x}} = (\mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K})\mathbf{x}$。

2. 閉迴路特徵方程式（Characteristic Equation）： 閉迴路系統之極點由特徵方程式決定：

3. 標準二階系統時域響應規格公式： 標準二階系統特徵方程式為：

其中 $\zeta$ 為阻尼比（damping ratio），$\omega_n$ 為無阻尼自然頻率（undamped natural frequency）。

• 2% 誤差準則之穩定時間（Settling Time, $T_s$）：

• 峰值時間（Peak Time, $T_p$）：

其中 $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ 為阻尼自然頻率（damped natural frequency）。

解題方法

步驟一：建立矩陣形式並推導閉迴路特徵多項式

將題目給定之狀態方程式以向量矩陣表示：

即：

狀態迴授控制器 $u = -k_1 x_1 - k_2 x_2 = -\mathbf{K}\mathbf{x}$，其中增益向量 $\mathbf{K} = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix}$。

計算閉迴路系統矩陣 $\mathbf{A}_{cl} = \mathbf{A} - \mathbf{B}\mathbf{K}$：

閉迴路系統之特徵方程式為：

展開行列式：

將 (式 1) 與標準二階特徵方程式 $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$ 比較各項係數，可得：