107 關務特考三等 機械工程 熱工學 考古題詳解

核心觀念

本題考核蒸氣動力循環（Vapor Power Cycles）的基礎理論與工程實務改良，涉及以下核心觀念與熱力學定義：

1. 卡諾循環（Carnot Cycle）：在相同最高溫 $T_H$ 與最低溫 $T_L$ 限制下，卡諾循環具有理論上的最高熱效率： $\eta_{\text{th, Carnot}} = 1 - \frac{T_L}{T_H}$

2. 理想朗肯循環（Ideal Rankine Cycle）：蒸汽動力廠的標準理想參考循環，由四個可逆過程組成。

3. 平均有效吸熱溫度（Mean Effective Temperature of Heat Addition, $T_{H,\text{avg}}$）： $T_{H,\text{avg}} = \frac{q_{\text{in}}}{\Delta s_{\text{in}}} = \frac{h_3 - h_2}{s_3 - s_2}$ 朗肯循環之熱效率可表示為： $\eta_{\text{th, Rankine}} = 1 - \frac{T_{L}}{T_{H,\text{avg}}}$ 任何能提高平均吸熱溫度 $T_{H,\text{avg}}$ 或降低放熱溫度 $T_L$ 的手段，皆能提升循環熱效率。

4. 超臨界（Supercritical, SC）與超超臨界（Ultra-Supercritical, USC）熱力狀態： 水的臨界點為 $P_c = 22.064\text{ MPa}$、$T_c = 373.95^\circ\text{C}$。當運轉壓力與溫度超越臨界點時，相變化過程不再穿越兩相飽和區，消除了定溫汽化平台，大幅提升整體的平均吸熱溫度。

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解題方法

一、循環組成過程與 $T$-$s$ 圖

1. 卡諾蒸氣循環（Carnot Cycle）之組成過程

卡諾循環在 $T$-$s$ 圖上呈現完美的矩形：

• 過程 $1 \to 2$：等熵壓縮（Isentropic compression，於壓縮機中將低壓濕蒸汽壓縮為飽和液體）。
• 過程 $2 \to 3$：等溫定壓吸熱（Isothermal heat addition，於鍋爐內以定溫 $T_H$ 蒸發為飽和蒸汽）。
• 過程 $3 \to 4$：等熵膨脹（Isentropic expansion，於渦輪機中膨脹作功至低壓濕蒸汽狀態）。
• 過程 $4 \to 1$：等溫定壓放熱（Isothermal heat rejection，於冷凝器中以定溫 $T_L$ 冷凝）。

 T (溫度)
 ^
 TH | 2 -------------- 3
 | /| |\
 | / | (Carnot) | \
 | / | | \
 TL | / 1 -------------- 4 \ <-- 兩相飽和界限線 (Dome)
 | / \
 +-----------------------------------> s (比熵)

2. 理想朗肯循環（Ideal Rankine Cycle）之組成過程

採用過熱蒸汽之標準理想朗肯循環：

• 過程 $1 \to 2$：給水泵中的可逆等熵壓縮（Isentropic compression），將狀態 1 的飽和水加壓至鍋爐壓力下的過冷水（狀態 2）。
• 過程 $2 \to 3$：鍋爐中的定壓吸熱（Isobaric heat addition），水經定壓預熱、飽和蒸發至過熱蒸汽（狀態 3）。
• 過程 $3 \to 4$：渦輪機中的可逆等熵膨脹（Isentropic expansion），蒸汽膨脹作功至冷凝器壓力（狀態 4）。
• 過程 $4 \to 1$：冷凝器中的定壓等溫放熱（Isobaric heat rejection），排汽冷凝為飽和液體（狀態 1）。

 T (溫度)
 ^
 | 3 (過熱蒸汽)
 | /
 | 飽和線 /
 | /\ c ---- b (定壓吸熱線)
 | / \/ /
 | / /\ /
 | 2 / \ /
 TL | 1---a----+--4 (定壓定溫冷凝線)
 | / \
 +-----------------------------------> s (比熵)
 註：2->a為定壓加熱液體，a->b為飽和汽化，b->3為過熱階段。

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(一) 兩循環熱效率之比較與原因

在相同的最高運轉溫度（$T_{\max} = T_H$）與最低冷凝溫度（$T_{\min} = T_L$）限制條件下：

1. 結論：卡諾循環的熱效率高於理想朗肯循環（$\eta_{\text{Carnot}} > \eta_{\text{Rankine}}$）。
2. 理論原因：

• 卡諾循環的所有吸熱過程均在絕對最高溫度 $T_H$ 下以等溫方式進行，其吸熱平均溫度即為最高溫： $T_{H,\text{avg, Carnot}} = T_H$
• 理想朗肯循環的吸熱過程為定壓過程（過程 $2 \to 3$）。工作流體從給水泵出口的低溫過冷水（狀態 2）開始升溫至飽和水（狀態 a），再蒸發（過程 $a \to b$）並過熱至最高溫度（狀態 3）。因此，其有效平均吸熱溫度 $T_{H,\text{avg, Rankine}}$ 必定小於循環的最高溫度： $T_{H,\text{avg, Rankine}} < T_H$
• 由於兩循環的放熱過程均在相同低溫 $T_L$ 下進行，由效率公式比較： $\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_L}{T_H} > \eta_{\text{Rankine}} = 1 - \frac{T_L}{T_{H,\text{avg, Rankine}}}$
• 故卡諾循環之熱效率必然高於理想朗肯循環。

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(二) 提升理想朗肯循環熱效率的兩種方法與 $T$-$s$ 圖說明

方法一：提高鍋爐主蒸汽過熱溫度（Superheating Steam to Higher Temperature）

核心觀念

理想鄂圖循環（Ideal Otto Cycle）為四行程火星點火式內燃機的理想空氣標準循環（Air-Standard Cycle），其由四個可逆過程所組成：

1. 過程 $1 \to 2$：等熵壓縮（Isentropic Compression） 空氣進行可逆絕熱壓縮，熵值守恆（$s_1 = s_2$）。壓縮比定義為 $r = \frac{v_1}{v_2}$。 利用理想氣體等熵關係式： $T v^{k-1} = \text{常數} \implies T_2 = T_1 \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{k-1} = T_1 r^{k-1}$ $P v^k = \text{常數} \implies P_2 = P_1 \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^k = P_1 r^k$
2. 過程 $2 \to 3$：定容加熱（Constant-Volume Heat Addition） 工作介質在比容不變下（$v_2 = v_3$）吸收熱量 $q_{in}$。熱力學第一定律閉式系統分析（忽略動能與位能變化）： $q_{in} = \Delta u = u_3 - u_2 = C_{vo}(T_3 - T_2)$
3. 過程 $3 \to 4$：等熵膨脹（Isentropic Expansion） 高溫高壓氣體推動活塞作功，熵值守恆（$s_3 = s_4$），膨脹比為 $\frac{v_4}{v_3} = \frac{v_1}{v_2} = r$。
4. 過程 $4 \to 1$：定容排熱（Constant-Volume Heat Rejection） 在比容不變下（$v_4 = v_1$）將廢熱 $q_{out}$ 排至外界環境，使系統回復至初始狀態。

循環最高溫度與最高壓力之判斷： 在熱機循環中，壓縮過程使得溫度與壓力自狀態 1 上升至狀態 2；接著進行燃燒加熱（入熱過程 $2 \to 3$），溫度與壓力持續陡升；隨後進行絕熱膨脹作功（$3 \to 4$），溫度與壓力皆下降。因此，狀態 3 為整個循環中溫度最高（$T_{max} = T_3$）與壓力最高（$P_{max} = P_3$）的狀態點。

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解題方法

一、$T$-$s$ 圖繪製與過程特徵

在 $T$-$s$ 平面上，等容線的斜率為 $\left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_v = \frac{T}{C_{vo}} > 0$，呈向右上方揚起的指數曲線；等熵過程則為垂直線。

 T (溫度)
 ^
 | 3 (最高溫、最高壓點)
 | /|
 | q_in / |
 | --> / |
 | 2 |
 | | |
 | | | --> q_out
 | | 4
 | | /
 | | /
 | 1/
 +-------------------> s (比熵)
 s1=s2 s3=s4

• 過程 $1 \to 2$：垂直向上線段（$s_1 = s_2$），代表可逆絕熱壓縮，溫度由 $T_1$ 升至 $T_2$。
• 過程 $2 \to 3$：沿定容線（$v_2 = v_3 = \frac{v_1}{r}$）向右上方上升之曲線，吸收熱量 $q_{in}$，抵達最高溫點 $T_3$。
• 過程 $3 \to 4$：垂直向下線段（$s_3 = s_4$），代表可逆絕熱膨脹作功，溫度由 $T_3$ 降至 $T_4$。
• 過程 $4 \to 1$：沿定容線（$v_4 = v_1$）向左下方下降之曲線，排出廢熱 $q_{out}$，回到起始狀態 1。

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二、推導循環最高溫度 $T_{max}$

1. 計算壓縮終點（狀態 2）之溫度 $T_2$： 空氣經等熵壓縮自狀態 1 至狀態 2，壓縮比 $r = \frac{v_1}{v_2}$： $T_2 = T_1 \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{k-1} = T_1 r^{k-1}$

2. 利用定容加熱過程求最高溫度 $T_3$： 定容加熱過程 $2 \to 3$ 之入熱量為： $q_{in} = C_{vo} (T_3 - T_2)$ 移項可得： $T_3 = T_2 + \frac{q_{in}}{C_{vo}}$ 將 $T_2 = T_1 r^{k-1}$ 代入，得最高溫度計算式： $T_{max} = T_3 = T_1 r^{k-1} + \frac{q_{in}}{C_{vo}}$

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三、推導循環最高壓力 $P_{max}$

【解法一：利用定容過程之壓力與溫度關係（推薦法）】

1. 計算壓縮終點（狀態 2）之壓力 $P_2$： $P_2 = P_1 \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^k = P_1 r^k$

核心觀念

本題考查實際空氣標準布雷登循環（Brayton Cycle）​之熱力狀態分析與性能指標計算。涉及之重要定義與公式如下：

1. 等熵過程之溫壓關係： 工作流體為理想氣體且視為冷空氣標準（比熱為常數），在可逆絕熱（等熵）過程中，溫度與壓力比（$r_p = P_{\text{high}} / P_{\text{low}}$）之關係式為： $\frac{T_{2s}}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}} = r_p^{\frac{k-1}{k}}, \quad \frac{T_3}{T_{4s}} = \left(\frac{P_3}{P_4}\right)^{\frac{k-1}{k}} = r_p^{\frac{k-1}{k}}$

2. 組件等熵效率（Isentropic Efficiency）：

• 壓縮機等熵效率（耗功設備，實際功大於等熵功）： $\eta_C = \frac{w_s}{w_a} = \frac{h_{2s} - h_1}{h_2 - h_1} = \frac{T_{2s} - T_1}{T_2 - T_1}$
• 渦輪機等熵效率（產功設備，實際功小於等熵功）： $\eta_T = \frac{w_a}{w_s} = \frac{h_3 - h_4}{h_3 - h_{4s}} = \frac{T_3 - T_4}{T_3 - T_{4s}}$

3. 循環性能指標：

• 壓縮機消耗功：$w_C = C_{po}(T_2 - T_1)$
• 渦輪機輸出功：$w_T = C_{po}(T_3 - T_4)$
• 循環淨輸出功：$w_{\mathrm{net}} = w_T - w_C$
• 燃燒室輸入熱量：$q_{\mathrm{in}} = C_{po}(T_3 - T_2)$
• 循環熱效率：$\eta_{\mathrm{th}} = \frac{w_{\mathrm{net}}}{q_{\mathrm{in}}}$

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解題方法

題目給定條件：

• 最低溫度（壓縮機入口）：$T_1 = 300\ \mathrm{K}$
• 最高溫度（渦輪機入口）：$T_3 = 1300\ \mathrm{K}$
• 壓力比：$r_p = 10$
• 壓縮機等熵效率：$\eta_C = 0.83$
• 渦輪機等熵效率：$\eta_T = 0.87$
• 空氣常數：$C_{po} = 1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，$k = 1.4$

步驟一：計算等熵溫壓因子

$\frac{k-1}{k} = \frac{1.4 - 1}{1.4} = \frac{0.4}{1.4} = \frac{2}{7} \approx 0.2857$ $r_p^{\frac{k-1}{k}} = 10^{\frac{2}{7}} \approx 1.9307$

步驟二：分析壓縮機過程（狀態 $1 \to 2$）

1. 計算理想等熵出口溫度 $T_{2s}$： $T_{2s} = T_1 \cdot r_p^{\frac{k-1}{k}} = 300 \times 1.9307 = 579.21\ \mathrm{K}$
2. 利用壓縮機效率 $\eta_C = 0.83$ 計算實際出口溫度 $T_2$： $T_2 - T_1 = \frac{T_{2s} - T_1}{\eta_C} = \frac{579.21 - 300}{0.83} = \frac{279.21}{0.83} \approx 336.40\ \mathrm{K}$ $T_2 = 300 + 336.40 = 636.40\ \mathrm{K}$
3. 計算壓縮機單位質量消耗功 $w_C$： $w_C = C_{po}(T_2 - T_1) = 1.005 \times 336.40 \approx 338.08\ \mathrm{kJ/kg}$

核心觀念

本題屬於熱工學（工程熱力學）中「燃燒化學」與「濕空氣性質」的綜合應用題，核心考核以下觀念與定律：

1. 完全燃燒化學計量比（Stoichiometric Ratio / Theoretical Air）：

• 燃料中可燃元素（$\mathrm{C}$、$\mathrm{H}$）完全氧化生成 $\mathrm{CO}_2$ 與 $\mathrm{H}_2\mathrm{O}$ 所需之理論氧氣量。
• 計算自空氣中汲取的理論氧氣量時，必須扣除燃料自身所含的游離氧（$\mathrm{O}_2$）。

2. 濕空氣性質與道爾頓分壓定律（Dalton's Law of Partial Pressures）：

• 相對濕度定義：$\phi = \dfrac{P_v}{P_{\mathrm{sat}}(T)}$，其中 $P_v$ 為水蒸氣分壓，$P_{\mathrm{sat}}$ 為同溫度下的飽和蒸氣壓。
• 濕空氣為乾空氣與水蒸氣之混合物，總壓等於分壓之和：$P_{\mathrm{total}} = P_a + P_v$。
• 理想氣體混合物中，各成分之分壓比等於其莫耳分率：$P_i = y_i \cdot P_{\mathrm{total}} = \dfrac{n_i}{n_{\mathrm{total}}} P_{\mathrm{total}}$。

3. 燃燒產物之質量／莫耳守恆平衡：

• 燃燒產物中的水蒸氣來源包含兩部分：「可燃物燃燒生成的反應生成水」與「進口潮濕空氣所夾帶的水蒸氣」。
• 燃燒產物中的惰性氣體（$\mathrm{N}_2$、$\mathrm{CO}_2$）包含空氣帶入者與燃料本身攜帶者。

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解題方法

步驟一：選定計算基準（Basis）與燃料莫耳數

選取 $100\ \mathrm{mol}$ 之天然瓦斯作為計算基準：

• 甲烷 $\mathrm{CH}_4$：$72\ \mathrm{mol}$
• 氫氣 $\mathrm{H}_2$：$9\ \mathrm{mol}$
• 氮氣 $\mathrm{N}_2$：$14\ \mathrm{mol}$
• 氧氣 $\mathrm{O}_2$：$2\ \mathrm{mol}$
• 二氧化碳 $\mathrm{CO}_2$：$3\ \mathrm{mol}$

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步驟二：計算完全燃燒所需之理論氧氣量（$n_{\mathrm{O}_2,\mathrm{air}}$）

可燃成分之氧化反應式如下：

1. 甲烷燃燒： $\mathrm{CH}_4 + 2\mathrm{O}_2 \rightarrow \mathrm{CO}_2 + 2\mathrm{H}_2\mathrm{O}$

• 需氧量：$72 \times 2 = 144\ \mathrm{mol}\ \mathrm{O}_2$
• 生成物：$72\ \mathrm{mol}\ \mathrm{CO}_2$、$144\ \mathrm{mol}\ \mathrm{H}_2\mathrm{O}$

2. 氫氣燃燒： $\mathrm{H}_2 + 0.5\mathrm{O}_2 \rightarrow \mathrm{H}_2\mathrm{O}$

• 需氧量：$9 \times 0.5 = 4.5\ \mathrm{mol}\ \mathrm{O}_2$
• 生成物：$9\ \mathrm{mol}\ \mathrm{H}_2\mathrm{O}$

可燃成分所需的總理論氧氣量為： $n_{\mathrm{O}_2,\mathrm{req}} = 144 + 4.5 = 148.5\ \mathrm{mol}$

燃料自身已含有 $2\ \mathrm{mol}\ \mathrm{O}_2$，故需由外界空氣供應的理論氧氣量為： $n_{\mathrm{O}_2,\mathrm{air}} = 148.5 - 2 = 146.5\ \mathrm{mol}$

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步驟三：分析進口濕空氣組成與水分含量

進口空氣條件：$T = 20\,^\circ\mathrm{C}$，$P = 1\ \mathrm{atm} = 101.325\ \mathrm{kPa}$，相對濕度 $\phi = 80\%$。 已知 $20\,^\circ\mathrm{C}$ 時飽和蒸氣壓 $P_{\mathrm{sat}} = 2.339\ \mathrm{kPa}$：

1. 空氣中水蒸氣分壓： $P_v = \phi \cdot P_{\mathrm{sat}} = 0.80 \times 2.339\ \mathrm{kPa} = 1.8712\ \mathrm{kPa}$
2. 乾空氣分壓： $P_a = P - P_v = 101.325 - 1.8712 = 99.4538\ \mathrm{kPa}$
3. 乾空氣與水蒸氣之莫耳比： 乾空氣標準組成取 $21\%\ \mathrm{O}_2$、$79\%\ \mathrm{N}_2$（莫耳比 $\mathrm{N}_2 : \mathrm{O}_2 = 3.76 : 1$）。 每 $1\ \mathrm{mol}\ \mathrm{O}_2$ 伴隨之乾空氣莫耳數為 $1 + 3.76 = 4.76\ \mathrm{mol}$。 因此，供應 $146.5\ \mathrm{mol}\ \mathrm{O}_2$ 所需之乾空氣莫耳數為： $n_{\mathrm{dry\ air}} = 146.5 \times 4.76 = 697.34\ \mathrm{mol}$ 其中伴隨的氮氣為： $n_{\mathrm{N}_2,\mathrm{air}} = 146.5 \times 3.76 = 550.84\ \mathrm{mol}$
4. 濕空氣夾帶的水蒸氣莫耳數： 由道爾頓分壓定律，莫耳數比等於分壓比：