109 關務特考三等 機械工程 熱工學 考古題詳解

核心觀念

本題考查空氣標準狄塞爾循環（Air-Standard Diesel Cycle）的四個理想熱力過程，以及利用第一定律與定比熱理想氣體關係推導循環熱效率。

空氣標準狄塞爾循環由下列過程組成：

1. $1\to2$ 等熵壓縮：活塞壓縮空氣，$q_{12}=0$。
2. $2\to3$ 定壓吸熱：燃料燃燒以定壓方式理想化，$P_2=P_3$。
3. $3\to4$ 等熵膨脹：高溫高壓氣體膨脹作功，$q_{34}=0$。
4. $4\to1$ 定容放熱：排熱過程以定容方式理想化，$v_4=v_1$。

定義：

• 壓縮比：氣缸最大容積與最小容積之比 $r=\frac{v_1}{v_2}$
• 停熱比（亦稱截斷比，cutoff ratio）：定壓吸熱末端與起點的比容比 $r_c=\frac{v_3}{v_2}$
• 空氣比熱比： $k=\frac{c_p}{c_v},\qquad R=c_p-c_v$

本題採用冷空氣標準假設，將空氣視為比熱固定的理想氣體。

解題方法與推導

循環熱效率定義為淨功與吸熱量之比：

$$\eta_{\mathrm{th}} =\frac{W_{\mathrm{net}}}{Q_{\mathrm{in}}} =1-\frac{Q_{\mathrm{out}}}{Q_{\mathrm{in}}}$$

以單位質量為基準，定壓過程 $2\to3$ 吸熱：

$$q_{\mathrm{in}}=c_p(T_3-T_2)$$

定容過程 $4\to1$ 放熱：

$$q_{\mathrm{out}}=c_v(T_4-T_1)$$

因此

$$\eta_{\mathrm{th}} =1-\frac{c_v(T_4-T_1)}{c_p(T_3-T_2)} =1-\frac{1}{k}\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}$$

接著將各狀態溫度比改寫成 $r$、$r_c$ 與 $k$。

等熵壓縮 $1\to2$

理想氣體等熵關係為 $Tv^{k-1}=\text{常數}$，所以

$$\frac{T_2}{T_1} =\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{k-1} =r^{k-1}$$

定壓吸熱 $2\to3$

定壓下 $T/v=\text{常數}$，因此

$$\frac{T_3}{T_2} =\frac{v_3}{v_2} =r_c$$

故 $T_3=r_cT_2=r_c r^{k-1}T_1$。

等熵膨脹 $3\to4$

由等熵關係，

$$\frac{T_4}{T_3} =\left(\frac{v_3}{v_4}\right)^{k-1}$$

核心觀念

本題考查再生式朗肯循環的理想化極限，以及開放式飼水加熱器如何利用汽輪機抽汽預熱飼水。

朗肯循環的基本組件為鍋爐、汽輪機、冷凝器及泵。再生的作法是從汽輪機中途抽出部分蒸汽，將其熱量用來加熱進入鍋爐的飼水，減少鍋爐所需的外部熱量，並提高循環熱效率。

必須區分兩種情況：只有在理想化的連續再生極限下，循環熱效率才等於卡諾循環效率。單一或有限級飼水加熱器的再生式朗肯循環，其熱效率通常低於同一最高、最低溫度間的卡諾循環。

循環熱效率定義為

$$\eta_{\mathrm{th}} =\frac{W_{\mathrm{net}}}{Q_{\mathrm{in}}} =1-\frac{Q_{\mathrm{out}}}{Q_{\mathrm{in}}}$$

可逆卡諾循環在高溫熱源溫度 $T_H$ 與低溫熱源溫度 $T_L$ 間運轉，其效率為

$$\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_L}{T_H}$$

其中溫度須使用絕對溫度。

解題方法：理想再生式朗肯循環

理想再生式朗肯循環設想汽輪機各級均有抽汽，並以無限多個理想飼水加熱過程，將飼水逐步加熱至鍋爐壓力下的飽和液體狀態。這等同於把鍋爐內的液態水加熱過程，透過內部再生熱量理想化地完成；外界供熱只發生於最高溫度 $T_H$，冷凝器排熱只發生於最低溫度 $T_L$。

因此，循環對外吸熱、放熱皆可視為等溫過程。對可逆循環而言，熵平衡給出

$$\frac{Q_{\mathrm{in}}}{T_H} = \frac{Q_{\mathrm{out}}}{T_L}$$

所以

$$\frac{Q_{\mathrm{out}}}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{T_L}{T_H}$$

代入熱效率定義：

$$\eta_{\mathrm{th}} =1-\frac{Q_{\mathrm{out}}}{Q_{\mathrm{in}}} =1-\frac{T_L}{T_H} =\eta_{\mathrm{Carnot}}$$

理想循環的 $T-s$ 圖可概念化如下：

 T
 ↑
 T_H │ 3 ───────── 4
 │ ╱ ╲
 │ ╱ ╲
 │ ╱ ╲
 T_L │ 2 ───────────────── 1
 └────────────────────────→ s

$1 \to 2$ 為低溫等溫排熱；$2 \to 3$ 為理想化的等熵壓縮及連續再生加熱；$3 \to 4$ 為高溫等溫吸熱；$4 \to 1$ 為等熵膨脹。此圖用來說明理想連續再生的極限，並非單一抽汽級數的實際循環圖。

理想化的系統示意如下：

 ┌──────────────┐
 ┌──→│ 鍋爐 │──→┐
 │ └──────────────┘ │
 │ ↓
 理想連續再生 汽輪機
 │ │
 │ ┌──────────────┐ │
 └───│ 冷凝器 │←──┘
 └──────┬───────┘
 │
 └──→ 泵 ──→ 飼水

圖中「理想連續再生」代表汽輪機各級抽汽向飼水提供熱量，使飼水受熱過程趨近完全再生；其概念不等於一個實際單一組件。

開放式飼水加熱器與實際可運作循環

開放式飼水加熱器（Open Feedwater Heater, OFWH）是讓抽出的汽輪機蒸汽與泵送後的飼水在同一容器內直接接觸、混合的加熱器。它沒有隔開蒸汽與飼水的傳熱壁面，因此兩股流體必須處於相同壓力；混合後通常形成該壓力下的飽和液體，或接近飽和液體的飼水。

要使循環可實際運作，需以兩台泵處理不同壓力：

1. 冷凝器出口的液體先由第一台泵升至抽汽壓力。
2. 飼水進入開放式加熱器，與汽輪機抽汽混合。
3. 混合後的液體由第二台泵升至鍋爐壓力。
4. 鍋爐加熱蒸汽，再送入汽輪機膨脹；部分蒸汽在中途抽出，送回開放式加熱器，其餘蒸汽繼續膨脹至冷凝器。

核心觀念

本題考查理想氣體在定壓膨脹時，密閉系統與穩態穩流系統的能量傳遞差異，以及理想氣體的熵變。

採用單位質量表示，令狀態 1 到狀態 2 的壓力皆為 $P$，且膨脹時 $T_2>T_1$、$v_2>v_1$。理想氣體狀態方程與比熱關係為

$$Pv=RT,\qquad C_{po}-C_{vo}=R.$$

密閉系統的邊界功為 $\int P\,dv$；穩態穩流系統的軸功則由穩流能量方程決定。兩者使用的功定義不同，不能把密閉系統的邊界功直接當成穩流軸功。

解題方法與推導

密閉系統（Closed System）

定壓過程的單位質量邊界功為

$$w_b=\int_1^2 P\,dv=P(v_2-v_1).$$

由 $Pv=RT$ 且壓力不變，

$$P(v_2-v_1)=R(T_2-T_1),$$

所以

$$\boxed{w_b=R(T_2-T_1)}.$$

忽略動能、位能變化，且採用「系統吸熱為正、系統對外作功為正」的符號，密閉系統第一定律為

$$q-w_b=u_2-u_1.$$

理想氣體內能變化為

$$u_2-u_1=C_{vo}(T_2-T_1).$$

因此

$$\begin{aligned} q &=C_{vo}(T_2-T_1)+R(T_2-T_1)\\ &=(C_{vo}+R)(T_2-T_1)\\ &=\boxed{C_{po}(T_2-T_1)}. \end{aligned}$$

若系統質量為 $m$，總邊界功為 $W_b=mR(T_2-T_1)$，總熱量為 $Q=mC_{po}(T_2-T_1)$。

穩態穩流系統（Steady-State Steady-Flow System）

穩流能量方程在忽略動能、位能變化時為

$$q-w_s=h_2-h_1,$$

其中 $w_s$ 是單位質量的軸功。理想氣體焓變為

$$h_2-h_1=C_{po}(T_2-T_1),$$

故

$$\boxed{q-w_s=C_{po}(T_2-T_1)}.$$

若題目所稱定壓膨脹是穩流設備內的可逆定壓過程，技術功（軸功）可寫為

$$w_s=-\int_1^2 v\,dP.$$

由於 $dP=0$，

$$\boxed{w_s=0}.$$

因此穩流熱傳為

$$\boxed{q=C_{po}(T_2-T_1)}.$$

定壓膨脹時的比容增加，代表流體的流動功 $Pv$ 增加；在穩流分析中，這已包含於焓 $h=u+Pv$，不能再把它當成軸功。若穩流過程不可逆，僅憑「定壓」不能單獨決定熱傳量；上式的熱傳結果採用 $w_s=0$，且無其他功輸出的條件。

熵變

理想氣體的熵變關係式為

$$ds=C_{po}\frac{dT}{T}-R\frac{dP}{P}.$$

定壓時 $dP=0$，因此

$$\Delta s=\int_1^2 C_{po}\frac{dT}{T} =C_{po}\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right).$$

核心觀念

本題考查級聯冷凍系統的組成、兩個冷凍循環的能量平衡，以及整體性能係數（COP）。級聯系統把兩個不同冷媒、不同工作溫度範圍的蒸氣壓縮冷凍循環串接：下循環處理低溫冷凍負載，上循環把下循環排出的熱量送至環境。兩循環之間以級聯熱交換器交換熱量。

以下假設各循環為穩態運轉、壓縮過程近似絕熱，且級聯熱交換器無熱損失、忽略動能與位能變化。

系統示意圖

 上循環（高溫級）
 ┌──────────────────────────┐
 │ ▼
 ┌──────────┐ 2H ┌──────────┐
 1H ─▶│ 壓縮機 H │───────▶│ 冷凝器 H │──▶ 排熱 QH
 └──────────┘ └──────────┘
 ▲
 │ 4H 3H │
 ┌──────────┐◀───────────────────┘
 │ 膨脹閥 H │
 └──────────┘
 │
 ▼
 ┌────────────────────┐
 │ 級聯熱交換器 │
 │ 上循環蒸發器：吸熱 │
 │ 下循環冷凝器：放熱 │
 └────────────────────┘
 ▲
 │ 2L 3L │
 ┌──────────┐ ┌──────────┐
 │ 壓縮機 L │◀───────│ 蒸發器 L │◀── 冷凍負載 QL
 └──────────┘ └──────────┘
 │ 1L ▲
 ▼ │
 ┌──────────┐ │
 │ 冷凝器 L │──▶ 級聯熱交換器 │
 └──────────┘ │
 ▲ │
 └──────── 膨脹閥 L ◀────┘

為使循環連接關係更清楚，可依狀態點逐一讀取：

• 下循環：$1_L \to 2_L$ 經壓縮機、$2_L \to 3_L$ 經級聯熱交換器的冷凝側、$3_L \to 4_L$ 經膨脹閥、$4_L \to 1_L$ 經低溫蒸發器。
• 上循環：$1_H \to 2_H$ 經壓縮機、$2_H \to 3_H$ 經環境冷凝器、$3_H \to 4_H$ 經膨脹閥、$4_H \to 1_H$ 經級聯熱交換器的蒸發側。

$T-s$ 圖

下圖為兩循環的示意性 $T-s$ 圖；級聯熱交換器內，下循環冷凝溫度須高於上循環蒸發溫度，才能形成熱傳的溫差。

 T
 ↑
 │ ● 2H
 │ ╱│
 │ ● 3H ────────────────╱ │
 │ │ │
 │ │ ● 1H
 │ │ ● 4H
 │ │ └────── 上循環蒸發
 │ │ （級聯熱交換器）
 │ │
 │ ● 2L
 │ ╱│
 │ ● 3L ───╱ │
 │ │ ● 1L
 │ │ ● 4L
 │ │ └──────── 低溫蒸發器
 └──────────────────────────────────▶ s

圖中 $1 \to 2$ 為壓縮、$2 \to 3$ 為冷凝、$3 \to 4$ 為節流膨脹、$4 \to 1$ 為蒸發吸熱。節流過程近似等焓，因此 $h_3=h_4$；壓縮機入口至出口的熵變則取決於實際壓縮是否可逆，理想循環以等熵壓縮表示。

解題方法與 COP 推導

以整個級聯系統為控制體，冷凍效果來自下循環蒸發器吸收的熱量，輸入功為兩台壓縮機功率之和。因此整體 COP 定義為

$$\mathrm{COP}_{\mathrm{cascade}} =\frac{\dot Q_L}{\dot W_L+\dot W_H}.$$