108 關務特考三等 機械工程 熱工學 考古題詳解

核心觀念

本題屬於熱力學中反向卡諾循環（逆卡諾循環，Reversed Carnot Cycle）​與穩態穩流能量方程式（Steady-Flow Energy Equation, SFEE）​的綜合應用題。命題重點在於考核考生對冷凍空調系統性能係數（COP）的定義、極限效率推導，以及開式系統熱平衡計算的掌握程度：

1. 卡諾冷凍機性能係數（$\mathrm{COP}_{\mathrm{R, Carnot}}$）： 卡諾冷凍機工作於低溫熱庫 $T_{\mathrm{L}}$ 與高溫熱庫 $T_{\mathrm{H}}$ 之間，其理論最高性能係數由絕對溫度決定： $\mathrm{COP}_{\mathrm{R, Carnot}} = \frac{Q_{\mathrm{L}}}{W_{\mathrm{in}}} = \frac{T_{\mathrm{L}}}{T_{\mathrm{H}} - T_{\mathrm{L}}}$ 注意：式中溫度必須採用絕對溫度（$\mathrm{K}$）。

2. 實際空調性能係數（$\mathrm{COP}$）： 題目給定該空調系統之效率達到卡諾冷凍機的八成（即第二定律效率或相對效率 $\eta_{\mathrm{II}} = 0.8$）： $\mathrm{COP} = 0.8 \times \mathrm{COP}_{\mathrm{R, Carnot}}$

3. 冷凍吸熱率（冷凍能力 $\dot{Q}_{\mathrm{L}}$）與輸入功率（$\dot{W}_{\mathrm{in}}$）關係： $\dot{Q}_{\mathrm{L}} = \mathrm{COP} \times \dot{W}_{\mathrm{in}}$

4. 空氣冷卻過程之能量平衡（開式穩流系統）： 忽略動能與位能變化，空氣流經蒸發器（冷卻盤管）放出的顯熱即為空調之製冷吸熱量： $\dot{Q}_{\mathrm{L}} = \dot{m}_{\mathrm{air}} \cdot c_p \cdot (T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ 其中：

• $\dot{m}_{\mathrm{air}}$：空氣質量流率（$\mathrm{kg/s}$）。
• $c_p$：定壓空氣比熱，標準狀態下常溫取 $c_p \approx 1.005\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$。
• $T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}$：空氣進出口溫差。

解題方法

步驟一：設定基準溫度並轉換為絕對溫度

空調之低溫熱庫為送風溫度 $T_{\mathrm{L}} = 10^\circ\mathrm{C}$，高溫熱庫為室外環境溫度 $T_{\mathrm{H}} = 45^\circ\mathrm{C}$：

• $T_{\mathrm{L}} = 10 + 273.15 = 283.15\,\mathrm{K}$
• $T_{\mathrm{H}} = 45 + 273.15 = 318.15\,\mathrm{K}$
• 高低溫差 $\Delta T = T_{\mathrm{H}} - T_{\mathrm{L}} = 45 - 10 = 35\,\mathrm{K}$

步驟二：計算理想卡諾冷凍機之性能係數

$\mathrm{COP}_{\mathrm{R, Carnot}} = \frac{T_{\mathrm{L}}}{T_{\mathrm{H}} - T_{\mathrm{L}}} = \frac{283.15\,\mathrm{K}}{35\,\mathrm{K}} \approx 8.090$

步驟三：計算實際空調之性能係數與吸熱率

依題意，該空調效率達到卡諾單元的 80%： $\mathrm{COP} = 0.8 \times \mathrm{COP}_{\mathrm{R, Carnot}} = 0.8 \times 8.090 = 6.472$

已知輸入至空調系統之功率 $\dot{W}_{\mathrm{in}} = 3\,\mathrm{kW}$，則其提供之冷卻吸熱率（冷凍能力）為： $\dot{Q}_{\mathrm{L}} = \mathrm{COP} \times \dot{W}_{\mathrm{in}} = 6.472 \times 3\,\mathrm{kW} = 19.416\,\mathrm{kW} = 19.416\,\mathrm{kJ/s}$

步驟四：計算冷空氣質量流率

設空氣常溫常壓下之定壓比熱 $c_p = 1.005\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$。 空氣通過冷氣盤管由 $45^\circ\mathrm{C}$ 冷卻至 $10^\circ\mathrm{C}$，其溫差為： $\Delta T_{\mathrm{air}} = 45 - 10 = 35^\circ\mathrm{C} = 35\,\mathrm{K}$

根據能量守恆： $\dot{Q}_{\mathrm{L}} = \dot{m}_{\mathrm{air}} \cdot c_p \cdot \Delta T_{\mathrm{air}}$

核心觀念

本題用壓縮機等熵效率求壓縮後溫度，再以穩流熵平衡比較「壓縮機＋冷卻器」整體的熵產生。不可逆性（火用毀滅）為

其中 $T_0$ 是周圍環境溫度。題目未明列 $T_0$；以下採用進氣溫度 $40^\circ\mathrm C$ 作為環境參考溫度。

解題方法

空氣視為定比熱理想氣體，取 $c_p=1.004\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$、$k=1.4$。入口溫度 $T_1=313.15\ \mathrm K$，壓力比為 $p_2/p_1=2$。等熵壓縮出口溫度為

壓縮機等熵效率定義為

所以 YHC 型與舊型壓縮機出口溫度分別為

冷卻器使空氣降溫 $60\ \mathrm K$，因此

以每公斤空氣為基準，穩流熵平衡給出

核心觀念

本題評量朗肯循環（Rankine Cycle）的熱力學第一定律與第二定律綜合分析能力。解題需運用以下觀念與公式：

1. 穩態流動能量方程式（SFEE）：

• 渦輪機比輸出功：$w_t = h_1 - h_2$
• 理想液壓泵比輸入功：$w_p = v_3 (P_4 - P_3) = h_4 - h_3$
• 鍋爐比熱加入量：$q_{in} = h_1 - h_4$
• 循環淨比功：$w_{net} = w_t - w_p$
• 循環熱效率：$\eta_{th} = \dfrac{w_{net}}{q_{in}}$

2. 熱力學第二定律可行性檢驗（宣稱真實性驗證）：

• 絕熱渦輪機之熵增原理：$s_2 \ge s_1$（不可逆過程必定產生熵，$s_{gen} \ge 0$）。
• 渦輪機等熵效率：$\eta_t = \dfrac{h_1 - h_2}{h_1 - h_{2s}} \le 100\%$。
• 卡諾熱效率上限：$\eta_{Carnot} = 1 - \dfrac{T_L}{T_H}$。

解題方法

步驟一：標定朗肯循環各節點熱力狀態

• 狀態 1（渦輪機入口／鍋爐出口）： $P_1 = 5\,\mathrm{MPa} = 5000\,\mathrm{kPa}, \quad T_1 = 600^\circ\mathrm{C}$ $h_1 = 3800\,\mathrm{kJ/kg}, \quad s_1 = 7.0\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

• 狀態 2（渦輪機出口／冷凝器入口）： 題目給定出口狀態為 $200\,\mathrm{kPa}$、$150^\circ\mathrm{C}$ 之飽和蒸汽（乾度 $x_2 = 1.0$）： $P_2 = 200\,\mathrm{kPa}, \quad T_2 = 150^\circ\mathrm{C}$ $h_2 = h_g = 2600\,\mathrm{kJ/kg}, \quad s_2 = s_g = 7.5\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

• 狀態 3（冷凝器出口／泵入口）： 題目指明冷凝器為理想元件（定壓冷凝），出口為飽和液體（$x_3 = 0$）： $P_3 = P_2 = 200\,\mathrm{kPa}, \quad T_3 = 150^\circ\mathrm{C}$ $h_3 = h_f = 400\,\mathrm{kJ/kg}, \quad v_3 = v_f = 0.0015\,\mathrm{m^3/kg}, \quad s_3 = s_f = 1.5\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

• 狀態 4（泵出口／鍋爐入口）： 泵為理想可逆等熵絕熱元件，工作流體為不可壓縮液體： $w_p = v_3 (P_4 - P_3) = 0.0015\,\mathrm{m^3/kg} \times (5000 - 200)\,\mathrm{kPa} = 7.2\,\mathrm{kJ/kg}$ $h_4 = h_3 + w_p = 400 + 7.2 = 407.2\,\mathrm{kJ/kg}$

步驟二：計算循環能量轉換與循環熱效率

1. 渦輪機輸出功（$w_t$）： $w_t = h_1 - h_2 = 3800 - 2600 = 1200\,\mathrm{kJ/kg}$

2. 循環淨輸出功（$w_{net}$）： $w_{net} = w_t - w_p = 1200 - 7.2 = 1192.8\,\mathrm{kJ/kg}$

3. 鍋爐加熱量（$q_{in}$）： $q_{in} = h_1 - h_4 = 3800 - 407.2 = 3392.8\,\mathrm{kJ/kg}$

4. 循環熱效率（$\eta_{th}$）： $\eta_{th} = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{1192.8}{3392.8} \approx 0.3516 = 35.16\%$

（註：若忽略泵功，以 $q_{in} \approx h_1 - h_3 = 3400\,\mathrm{kJ/kg}$ 計算，$\eta_{th} \approx \dfrac{1200}{3400} \approx 35.29\%$，兩者均顯著大於 $30\%$。）

步驟三：熱力學定律可行性驗證（檢驗宣稱之真實性）

核心觀念

本題考空氣逆布雷頓冷凍循環的性能計算。冷凍 COP 定義為冷凍負荷除以淨輸入功：

其中 $W_c$ 是壓縮機功，$W_e$ 是膨脹器輸出的功。壓縮機與膨脹器的等熵效率分別為：

依題意取空氣為理想氣體，且 $k=1.4$。題目說壓縮機與膨脹器等熵效率相同，令兩者皆為 $\eta$。

解題方法

狀態變化依序為：$1\to2$ 壓縮、$2\to3$ 放熱、$3\to4$ 經熱交換器、$4\to5$ 膨脹、$5\to6$ 吸收冷凍負荷、$6\to1$ 經熱交換器。兩部機械的壓力比為 $2.0\,\mathrm{MPa}/100\,\mathrm{kPa}=20$。

先將溫度換成絕對溫度：

等熵過程的出口溫度由理想氣體關係求得：

核心觀念

本題考查並流式熱交換器（Parallel-flow Heat Exchanger）的傳熱極限與開式系統之熱力學第一定律（能量守恆）。

1. 並流式熱交換器的傳熱極限： 在並流配置中，熱流體與冷流體同向流動。熱流體溫度沿程下降，冷流體溫度沿程上升，由於推動熱傳的溫差為 $\Delta T = T_h - T_c$，在理想無外界熱損失的狀況下，兩流體間溫差隨管長增加而逐漸縮小。當熱交換長度極長（本題給予 $10000\,\mathrm{m}$，即等效傳熱單元數 $\mathrm{NTU} = \frac{UA}{C_{\min}} \to \infty$）時，兩流體在出口處將達到熱平衡，出口溫度必趨於一致： $T_{h,out} = T_{c,out} = T_{out}$

2. 能量守恆方程式（熱平衡）： 假設熱交換器外殼與外界完全絕熱，系統無做功且忽略動能與位能變化，熱流體放出的熱率必等於冷流體吸收的熱率： $\dot{Q} = \dot{m}_h c_{p,h} (T_{h,in} - T_{h,out}) = \dot{m}_c c_{p,c} (T_{c,out} - T_{c,in})$

解題方法

步驟一：基本假設

1. 外壁絕熱：管線與廠區外界環境無熱交換（$\dot{Q}_{loss} = 0$）。
2. 定比熱理想氣體：兩管線流體均為空氣，視為常比熱理想氣體，故 $c_{p,h} \approx c_{p,c} = c_p$。
3. 無窮長熱交換極限：管長達 $10000\,\mathrm{m}$，熱傳面積 $A \to \infty$，傳熱效率達到該流動型式的理論上限，兩管流體在出口達到共同平衡溫度 $T_{out}$。

步驟二：建立控制容積之能量平衡方程式

設第一條管線為熱流體（$h$），第二條管線為冷流體（$c$）：

• 熱流體質量流率 $\dot{m}_h = 0.5\,\mathrm{kg/s}$，入口溫度 $T_{h,in} = 250^\circ\mathrm{C}$
• 冷流體質量流率 $\dot{m}_c = 2.5\,\mathrm{kg/s}$，入口溫度 $T_{c,in} = 25^\circ\mathrm{C}$

由熱平衡關係式： $\dot{m}_h c_p (T_{h,in} - T_{out}) = \dot{m}_c c_p (T_{out} - T_{c,in})$

兩邊消去相同之定壓比熱 $c_p$： $\dot{m}_h (T_{h,in} - T_{out}) = \dot{m}_c (T_{out} - T_{c,in})$