108 關務特考三等 機械工程 自動控制 考古題詳解

核心觀念

本題主要測驗控制工程中「時域響應分析」、「拉氏反轉換」以及「終值定理適用條件」三大核心課題：

1. 輸入訊號之拉氏轉換：單位斜坡函數（unit ramp function）$r(t) = t \cdot u(t)$，其拉氏轉換為 $R(s) = \frac{1}{s^2}$。
2. 分子零點的微分效應：轉移函數分子帶有微分項 $s$（零點位於原點），與斜坡輸入相乘時，在頻域上會消去一個極點 $s$，使輸出結構等效於標準二階系統的「單位步階響應」。
3. 二階系統特性分類：

• 欠阻尼系統（Underdamped, $0 < \zeta < 1$）：具有共軛複數極點（實部為負），暫態具有振盪衰減特性。
• 無阻尼／臨界穩定系統（Undamped / Marginally stable, $\zeta = 0$）：極點落於虛軸，時域包含持續等幅振盪。

4. 終值定理（Final Value Theorem, FVT）之嚴格限制： $\lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{s \to 0} s Y(s)$ 該定理成立的充分必要條件為：$s Y(s)$ 的所有極點必須「嚴格落在開左半平面（Open Left-Half Plane, OLHP）」。若在虛軸或右半平面存在極點，則不可使用終值定理。

解題方法

(一) 求兩系統之時間響應 $y_1(t)$、$y_2(t)$ 並繪製響應圖

單位斜坡輸入之拉氏轉換為： $R(s) = \mathcal{L}\{t \cdot u(t)\} = \frac{1}{s^2}$

1. 系統一之輸出響應 $y_1(t)$ 推導

系統一的輸出頻域表達式為： $Y_1(s) = T_1(s) R(s) = \frac{9s}{s^2 + 2s + 9} \cdot \frac{1}{s^2} = \frac{9}{s(s^2 + 2s + 9)}$

採用部分分式展開法（Partial Fraction Expansion）： $\frac{9}{s(s^2 + 2s + 9)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 2s + 9}$

兩邊同乘 $s(s^2 + 2s + 9)$： $9 = A(s^2 + 2s + 9) + (Bs + C)s = (A + B)s^2 + (2A + C)s + 9A$

比較等式兩端同次項係數：

• 常數項：$9A = 9 \implies A = 1$
• $s^2$ 項：$A + B = 0 \implies B = -A = -1$
• $s^1$ 項：$2A + C = 0 \implies C = -2A = -2$

將係數代回並將分母配方： $Y_1(s) = \frac{1}{s} - \frac{s + 2}{(s + 1)^2 + 8} = \frac{1}{s} - \frac{(s + 1) + 1}{(s + 1)^2 + (2\sqrt{2})^2}$ $Y_1(s) = \frac{1}{s} - \frac{s + 1}{(s + 1)^2 + (2\sqrt{2})^2} - \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{(s + 1)^2 + (2\sqrt{2})^2}$

取拉氏反轉換（利用第一位移定理 $\mathcal{L}^{-1}\{F(s+a)\} = e^{-at}f(t)$）： $y_1(t) = \left[ 1 - e^{-t} \cos(2\sqrt{2}t) - \frac{\sqrt{2}}{4} e^{-t} \sin(2\sqrt{2}t) \right] u(t)$

亦可合併為單一正弦／餘弦形式： $y_1(t) = \left[ 1 - \frac{3\sqrt{2}}{4} e^{-t} \cos\left(2\sqrt{2}t - \phi\right) \right] u(t),\quad \phi = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) \approx 19.47^\circ$

2. 系統二之輸出響應 $y_2(t)$ 推導

系統二的輸出頻域表達式為： $Y_2(s) = T_2(s) R(s) = \frac{9s}{s^2 + 9} \cdot \frac{1}{s^2} = \frac{9}{s(s^2 + 9)}$

進行部分分式展開： $\frac{9}{s(s^2 + 9)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 9}$

兩邊同乘 $s(s^2 + 9)$： $9 = A(s^2 + 9) + (Bs + C)s = (A + B)s^2 + Cs + 9A$

比較兩端係數：

• 常數項：$9A = 9 \implies A = 1$
• $s^2$ 項：$A + B = 0 \implies B = -1$
• $s^1$ 項：$C = 0$

因此： $Y_2(s) = \frac{1}{s} - \frac{s}{s^2 + 3^2}$

取拉氏反轉換可得： $y_2(t) = \left[ 1 - \cos(3t) \right] u(t)$

3. 輸出響應特徵與繪圖分析

考卷作圖時，必須標出「起始值」、「初斜率」、「峰值（或振幅區間）」及「收斂趨勢」等關鍵幾何特徵：

• $y_1(t)$ 的特徵（欠阻尼響應，$\zeta = \frac{1}{3}$，$\omega_n = 3\text{ rad/s}$）：

• 起始值：$y_1(0) = 1 - 1 = 0$；初斜率：$\dot{y}_1(0) = 0$。

• 峰值時間：$t_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1.11\text{ s}$。

• 最大超越量（Max Overshoot）：$y_1(t_p) = 1 + e^{-\frac{\pi}{2\sqrt{2}}} \approx 1.33$。

• 穩態趨勢：伴隨包絡線 $1 \pm \frac{3\sqrt{2}}{4}e^{-t}$ 逐漸衰減，最終收斂至穩態值 $1$。

• $y_2(t)$ 的特徵（無阻尼持續振盪，$\zeta = 0$，$\omega_n = 3\text{ rad/s}$）：

核心觀念

本題考查正增益根軌跡、漸近線、複數極點的離開角度，以及利用 Routh–Hurwitz 判據求閉迴路穩定範圍。方塊圖為單位負回授，因此閉迴路特徵方程為 $1+G(s)H(s)=0$。

（一）根軌跡圖

開迴路轉移函數為

極點、零點與漸近線

由 $s^2+4s+5=0$ 得開迴路極點

開迴路沒有有限零點，因此共有三條根軌跡分支，皆由極點出發並趨向無限遠。漸近線交會於實數軸的位置為

漸近線角度為

所以角度為 $60^\circ、180^\circ、300^\circ$。

複數極點的離開角度

以上方極點 $p=-2+j$ 為例，由該極點指向另外兩個極點的角度分別為

沒有零點，故離開角度為

因此下方極點的離開角度為 $-82.875^\circ$（或 $277.125^\circ$）。

根軌跡與虛軸交點

特徵方程為

展開得

令 $s=j\omega$，分離實部與虛部：

非零虛軸交點滿足 $\omega^2=45$，代回實部得 $K=580$。因此交點為

根軌跡示意圖

圖形為示意，非按比例繪製。複數極點分支由離開角度 $82.875^\circ$ 與 $-82.875^\circ$ 出發，分別穿越虛軸，再趨向 $60^\circ$ 與 $300^\circ$ 漸近線；$-10$ 極點的分支沿實軸向左趨向 $180^\circ$ 漸近線。

核心觀念

本題評量頻域分析中波德圖（Bode plot）漸近線繪製法，主要涵蓋以下四項核心觀念與公式：

1. 波德標準形式（Bode Standard Form / Time-Constant Form）： 繪製波德圖前，必須先將轉移函數改寫為常數項為 $1$ 的標準因式形式： $G(s)H(s) = \frac{K}{s^N \left(1 + \frac{2\zeta}{\omega_n}s + \frac{s^2}{\omega_n^2}\right)}$ 其中 $K$ 為波德增益（Bode Gain），$\omega_n$ 為無阻尼自然頻率（轉角頻率／折點頻率 Corner Frequency），$\zeta$ 為阻尼比（Damping Ratio）。
2. 各組成因子的分貝值（Magnitude in dB）漸近線特徵：

• 增益常數 $K$：分貝值為 $20\log_{10}|K|$，全頻段斜率為 $0\text{ dB/dec}$。
• 原點極點 $\frac{1}{s}$：在 $\omega = 1\text{ rad/s}$ 處通過 $0\text{ dB}$，全頻段斜率為 $-20\text{ dB/dec}$。
• 二階複數極點 $\frac{1}{1 + \frac{2\zeta}{\omega_n}s + \frac{s^2}{\omega_n^2}}$：
• 當 $\omega < \omega_n$ 時，漸近線為 $0\text{ dB}$（斜率 $0\text{ dB/dec}$）。
• 當 $\omega > \omega_n$ 時，漸近線斜率為 $-40\text{ dB/dec}$。
• 折點頻率位於 $\omega = \omega_n$。

3. 相位（Phase Angle）漸近線特徵（標準十年頻寬近似法）：

• 原點極點 $\frac{1}{s}$：全頻段相位恆為 $-90^\circ$。
• 二階複數極點：
• 當 $\omega \le 0.1\omega_n$ 時，相位漸近線為 $0^\circ$。
• 當 $0.1\omega_n \le \omega \le 10\omega_n$ 時，相位以 $-90^\circ/\text{dec}$ 之斜率線性下降，於 $\omega = \omega_n$ 處恰為 $-90^\circ$。
• 當 $\omega \ge 10\omega_n$ 時，相位漸近線為 $-180^\circ$。

解題方法

步驟一：改寫為波德標準形式並分解因子

將分母的二階項提出常數項 $16$： $GH(s) = \frac{16}{s(s^2 + 2s + 16)} = \frac{16}{s \cdot 16\left(1 + \frac{2}{16}s + \frac{s^2}{16}\right)} = \frac{1}{s\left[1 + 2(0.25)\left(\frac{s}{4}\right) + \left(\frac{s}{4}\right)^2\right]}$

比對標準式：

• 系統增益常數：$K = 1 \implies 20\log_{10}(1) = 0\text{ dB}$
• 原點極點：$1$ 個（即 $\frac{1}{s}$）
• 二階極點對：
• 自然頻率（轉角頻率）：$\omega_n = 4\text{ rad/s}$
• 阻尼比：$2\zeta\omega_n = 2 \implies \zeta = \frac{2}{2 \times 4} = 0.25$

步驟二：幅度漸近線（Magnitude Asymptote）推導

令 $s = j\omega$，整體分貝值為各因子分貝值相加：

1. 區間一：$0 < \omega \le 4\text{ rad/s}$

• 僅原點極點 $\frac{1}{j\omega}$ 具備斜率貢獻，二階極點在此區間漸近線為 $0\text{ dB}$。
• 漸近線斜率：$-20\text{ dB/dec}$。
• 基準點：在 $\omega = 1\text{ rad/s}$ 處，幅值為 $20\log_{10}(1) - 20\log_{10}(1) = 0\text{ dB}$。
• 轉角點值：在 $\omega = 4\text{ rad/s}$ 處，幅值漸近線為： $|GH(j4)|_{\text{dB, asymp}} = 0 - 20\log_{10}(4) \approx -20 \times 0.602 = -12.04\text{ dB}$

2. 區間二：$\omega \ge 4\text{ rad/s}$

• 原點極點貢獻 $-20\text{ dB/dec}$，二階極點額外貢獻 $-40\text{ dB/dec}$。
• 漸近線斜率：$-20 + (-40) = -60\text{ dB/dec}$。
• 代表點值：在 $\omega = 40\text{ rad/s}$（距折點高一個十倍頻 decade）處： $|GH(j40)|_{\text{dB, asymp}} = -12.04\text{ dB} - 60\text{ dB} = -72.04\text{ dB}$

步驟三：相位漸近線（Phase Asymptote）推導

相位角 $\angle GH(j\omega) = -90^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{2\zeta \frac{\omega}{\omega_n}}{1 - \left(\frac{\omega}{\omega_n}\right)^2}\right)$。採用控制工程國家考試標準「十年頻寬漸近線近似法」（二階極點轉折範圍為 $0.1\omega_n$ 至 $10\omega_n$）：

• 二階極點轉角頻率為 $\omega_n = 4\text{ rad/s}$，故轉折起點為 $0.1\omega_n = 0.4\text{ rad/s}$，轉折終點為 $10\omega_n = 40\text{ rad/s}$。

分段疊加相位漸近線如下：

1. $\omega \le 0.4\text{ rad/s}$：

• 原點極點貢獻 $-90^\circ$，二階極點貢獻 $0^\circ$。
• 漸近相位：$-90^\circ$（斜率 $0^\circ/\text{dec}$）。

2. $0.4\text{ rad/s} \le \omega \le 40\text{ rad/s}$：

• 原點極點維持 $-90^\circ$，二階極點以 $-90^\circ/\text{dec}$ 速率下降。
• 漸近相位斜率：$-90^\circ/\text{dec}$。
• 關鍵點：
• $\omega = 0.4\text{ rad/s}$：$-90^\circ$
• $\omega = 4\text{ rad/s}$（折點處）：$-90^\circ - 90^\circ = -180^\circ$
• $\omega = 40\text{ rad/s}$：$-180^\circ - 90^\circ = -270^\circ$

3. $\omega \ge 40\text{ rad/s}$：

• 原點極點貢獻 $-90^\circ$，二階極點貢獻 $-180^\circ$。

核心觀念

本題旨在考查控制工程中時域系統鑑別（Time-Domain System Identification）​的基本實驗方法。針對一階線性非時變（LTI）系統：

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{K}{s+a}$

其涉及之關鍵學理定義與公式如下：

1. 標準一階系統型式： 將轉移函數改寫為標準一階形式： $G(s) = \frac{K/a}{\frac{1}{a}s + 1} = \frac{K_p}{\tau s + 1}$ 其中：

• 直流增益（DC Gain）：$K_p = \frac{K}{a}$
• 時間常數（Time Constant）：$\tau = \frac{1}{a}$

2. 步階響應（Step Response）時域分析： 在時域實驗鑑別中，以步階輸入（Step Input）​最容易在物理上實現且具備高訊噪比（SNR）。當輸入一大小為 $A$ 之步階信號 $u(t) = A \cdot u_s(t)$（其拉氏轉換為 $U(s) = \frac{A}{s}$）時，系統輸出響應之拉氏轉換為： $Y(s) = G(s) U(s) = \frac{K}{s+a} \cdot \frac{A}{s} = \frac{AK}{a} \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s+a} \right)$ 經拉氏反轉換可得時域輸出響應 $y(t)$（假設系統初始條件為零，即 $y(0) = 0$）： $y(t) = \frac{AK}{a} \left(1 - e^{-at}\right) = y_{ss} \left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad t \ge 0$ 其中穩態輸出值（由終值定理或令 $t \to \infty$）： $y_{ss} = \lim_{t \to \infty} y(t) = \frac{AK}{a}$

解題方法

在時域上進行系統鑑別，可依下列標準實驗步驟進行：

步驟一：實驗量測與數據記錄

1. 確保待測系統處於靜止平衡狀態，即初始狀態 $y(0) = 0$。
2. 於 $t = 0$ 時，對系統施加一已知振幅 $A$ 的步階輸入 $u(t) = A \cdot u_s(t)$。
3. 利用感測器與資料擷取卡（DAQ）記錄系統輸出響應 $y(t)$ 隨時間變化的波形，直至系統進入穩態（通常等待時間大於 $5\tau$）。

步驟二：求取參數 $a$（系統時間常數鑑別）

鑑別 $a$ 可採用以下兩種經典方式之一：

• 方式一：$63.2\%$ 時間常數法（工程最常用且直覺）

1. 從響應波形讀取系統穩態值 $y_{ss}$。
2. 計算輸出達到穩態值 $63.2\%$ 的幅值： $y(\tau) = y_{ss} (1 - e^{-1}) \approx 0.632\, y_{ss}$
3. 在時間軸上讀取輸出值由 $0$ 上升至 $0.632\, y_{ss}$ 所需的時間，此時間即為時間常數 $\tau$： $\tau = t_{63.2\%}$
4. 依時間常數定義求出極點參數 $a$： $a = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{t_{63.2\%}}$

核心觀念

本題考根軌跡的角度條件與幅值條件，以及積分控制器、超前補償器對閉迴路極點與穩態誤差的影響。

根軌跡上的點 $s_A$ 必須滿足：

其中 $z_i$、$p_i$ 分別為開迴路零點與極點。第一張圖以比例控制器調整增益，使 $A$ 點符合角度條件；加入積分器後，開迴路多出一個原點極點，角度條件改變，因此原來的 $A$ 點通常不再位於根軌跡上。

解題方法

令受控體的三個實軸極點為 $-p_1,-p_2,-p_3$，其中 $p_i>0$。比例控制時，題圖中的 $A$ 點符合：

加入積分器 $1/s$ 後，原點極點對 $A$ 點增加相位落後 $\theta_I=\angle(A-0)$，角度條件成為：

因此，單獨加入積分器會使根軌跡改變，閉迴路極點無法維持在 $A$ 點。

接著加入一個相位超前補償器，使新增零點與新增極點對 $A$ 點提供所需的淨相位超前。可令補償器為：

其零點在 $-z$、極點在 $-p_c$；此配置使零點較靠近原點、極點較靠左，可在 $A$ 點提供相位超前。依第二張圖的幾何關係選擇 $z$ 與 $p_c$，使：